2104510620

4

1. Przestrzenie wektorowe

STWIERDZENIE 1.6. (S) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

Dowód: Niech v,w € (5), tzn. v = A^Łvi +... + \ⁿv_n i w = p^lw\ + .. + pⁿw_n gdzie Vi, Wi € S i A*, p^l € K. Dla dowolnych \,peK mamy

\v + pw = (AA¹)^ H----+ (AAⁿ)v_n + {ppi)wi H-----h {pp^m)vj_m G S

Uwagi:

a)    Jeżeli V D W D S i W jest podprzestrzenią wektorową to (S) C W.

b)    (S) jest najmniejszą podprzestrzenią wektorową zawierającą S.

Przykład: S = {l,x, x + x²,x}. (S) = W2.

Inne przykłady będą podane później.

1.2. Liniowa niezależność. Baza.

DEFINICJA 1.7. Przestrzeń wektorową V nazywamy skończenie wymiarową, jeżeli istnieje skończony zbiór wektorów S = {i>i, V2, • ■ ■ , Vk} C V taki, że (S) = V.

Przykłady:

(1)    V = Kⁿ i S = {ei,... , e_n} gdzie ej = (5ii,..., 6_ni).

(2)    Przestrzeń wielomianów stopnia ^2iS'={l,x, x²}

(3)    Przestrzeń funkcji Map(M, M) nie jest skończenie wymiarowa (jest nieskończenie wymiarowa). Również przestrzeń wektorowa wszystkich wielomianów nie jest wymiaru skończonego.

DEFINICJA 1.8. Układ wektorów (ciąg wektorów - jeśli uporządkowany) {vi,v₂,... ,v_k},Vi E V,

nazywamy linowo niezależnym, jeżeli zachodzi z równości A^ui • • • -f- X^v_k = 0 wynika, że liczby A i są równe zero:

A¹ = A² = • • • = A^fe = 0.

Jeżeli układ wektorów nie jest liniowo niezależny, to mówimy, że jest liniowo zależny.