2500336016

Wskazówka. Pomnożyć (n — 1)—szą kolumnę przez x_n i odjąć od ostatniej kolumny. Następnie pomnożyć (n — 2)— gą kolumnę przez x_n i odjąć od kolumny (n — 1)—szej itd. Wreszcie pierwszą kolumnę pomnożyć przez x_n i odjąć od drugiej. Rozwinąć tak przekształcony wyznacznik względem n—tego wiersza i zauważyć, że zadanie zredukowało się do zadania z wyznacznikiem Vandermonde’a stopnia n — 1.

Zadanie 1.12

([15], str. 36) Ciągiem Fibonacciego nazywa się ciąg d_n (n = 1,2,...), którego dwa pierwsze wyrazy d\ i d₂ są równe 1, a każdy następny wyraz jest równy sumie dwóch wyrazów go poprzedzających. Udowodnić, że (n + 1)—szy wyraz ciągu Fibanacciego dn+1 jest równy następującemu wyznacznikowi w_n stopnia n:

1	1	0	0		0	0	0
-1	1	1	0		0	0	0
0	-1	1	1		0	0	0
0	0	0	0		-1	1	1
0	0	0	0		0	-1	1

Wskazówka. Rozwinąć wyznacznik w_n względem ostatniej kolumny i udowodnić indukcyjnie, że wyznaczniki w_n spełniają związek rekurencyjny w_n = w_n-\ + w_n-₂, gdzie w₀ = 1.

Zadanie 1.13

Niech A € R"^xn i niech I będzie macierzą jednostkową stopnia n. Łatwo sprawdzić, że w(x) = det (A — xl) jest wielomianem stopnia n ze współczynnikiem (—l)ⁿ przy najwyższej potędze. Ten wielomian nazywa się wielomianem charakterystycznym macierzy A, a jego pierwiastki nazywają się wartościami własnymi macierzy A.

4 -1 -2 '		4 1 r
2 1 -2	,	2 4 1
1 -1 1		0 14

(a) Wyznaczyć pierwiastki wielomianu charakterystycznego dla macierzy (zob. [8], str. 155)

0	1	0	0 ...	0
0	0	1	0 ...	0
0	0	0	0 •••	1
— 0-0	-ai	-a2	-a3 ...	—an-i

Pokazać, że det (xl — A) = xⁿ + a_n-\xⁿ 1 + ... + a\x + ao-

(b) Niech

11