3148972988

1.2. Kołczany

Ciekawy jest związek między kołczanem algebry A i algebry przeciwnej A^op. Przypomnijmy, że jeśli A jest algebrą, to algebra przeciwna A^op do A jest to algebra określona na tej samej przestrzeni liniowej co A z działaniem * danym wzorem a*b := ba dla a,6 G A. Jeśli A ~ KQ/I, Q = (Qo,Qi), to wtedy A^op ~ KQ^op/I^op, gdzie Q^op := (Qo^P,Qi^P), przy czym Q\J^p = Q₀, zaś dla każdej strzałki a : x —» y w Q mamy strzałkę a^op : y —> x w Q^op. Ponadto element Yhi    należy do J^op wtedy i tylko wtedy, gdy

\^ai,ii'' ’ ^ai,i należy do I. Kołczan Q^op nazywamy kołczanem przeciwnym do Q.

Powyższe twierdzenie pozwala nam utożsamić moduły z reprezentacjami kołczanów. Niech (Q, /), gdzie Q = (Qo,Qi), będzie kołczanem ograniczonym. Reprezentacją kołczanu (Q, I) nazywać będziemy układ (14, V_a)_x£Q₀

a€Qi

skończenie wymiarowych przestrzeni /^-liniowych V_x, x G Qo> oraz przekształceń i^-liniowych V_a : 14(a) —* 14(a), ck G Qi, takich, że zachodzi równość    “'Van — 0 dla każdego elementu Yli ^i^ai,h '''^a*, i ideału

/ takiego, że e(ai,/_i) = e(aj_ii_j) i s(aj,i) = s(aj_ti) dla wszystkich indeksów i i j. Jeśli V = (V_x, V_a) i W — (W_x,W_a) są dwiema reprezentacjami kołczanu (Q, /), to morfizm f : V —* W reprezentacji zadany jest przez układ (fx)xeQ₀ przekształceń Jć-liniowych takich, że f_x : V_x —> W_x, x G Qq, oraz dla każdej strzałki a G Q\ mamy równość /_e(a)14 = W_af_s(_Q). Kategorię wszystkich reprezentacji kołczanu (Q, I) oznaczać będziemy przez rep(Q, I). Jeśli A := KQ/I i M jest A-modułem, to możemy z nim związać reprezentację (M_x, M_a) określoną wzorami

M_x := (x\x)M, M_av := av,

dla x G Qo, a G Qi, v G M_s(_a). Podobnie, każdej reprezentacji (14, 14) € rep(Q, /) można przyporządkować A-moduł V zdefiniowany na przestrzeni liniowej ®_x€q_o 14, w którym mnożenie przez elementy postaci (rr|:r), x G Qo, polega na wyliczaniu rc-tej współrzędnej w powyższym rozkładzie na sumę prostą, mnożenie przez strzałki jest indukowane przez odwzorowania 14, qGQi, zaś mnożenie przez dowolny element algebry A jest naturalnym rozszerzeniem tego mnożenia. Powyższe wzory, wraz z analogicznymi wzorami dla morfizmów, zadają równoważność kategorii mod A i rep(Q, /).

Opiszemy teraz kilka podstawowych klas A-modułów, gdzie A = KQ/I, Q = (Qo,Qi)- Niech x G Qq. Definiujemy moduły P_x := A(x\x) i I_x := D((ar|:r)i4). Wtedy moduły P_y, y G Qo, tworzą pełny układ parami nie-izomorficznych nierozkładalnych projektywnych Amodułów, zaś moduły I_y, y G Qo, pełnią tę samą rolę wśród nierozkładalnych A modułów injektyw-nych. Ponadto, jeśli S_x := P_x/ rad P_x = soc I_x, to moduły S_y, y G Qo, tworzą