9773562918

Pierścienie grupowe - wykład 2.

Przypomnijmy, że -algebra A jest półprosta, gdy jej lewe ^4-moduły przypominają przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozkład na sumę modułów prostych. W tych rozkładach występuje tylko skończenie wiele różnych modułów prostych: są to moduły występujące w skończonym rozkładzie -4-modułu regularnego A. Istnieje ładna charakteryzacja półprostych /f-algebr: są to skończone sumy proste algebr macierzy M_nj (Di). gdzie Di są /ć-algebrami z dzieleniem (ciała nieprzemienne).

W jaki sposób pojawią się K-algebry z dzieleniem £)*?

(2.3) Lemat Schura. Jeśli V jest A-modułem prostym, to pierścień End^(P), składający się ze wszystkich A-homomorfizmów modułu V w siebie, jest /^-algebrą z dzieleniem.

Dowód. Przypomnijmy, że jeśli <jt: V —¥ V jest homomorfizmem lewych A-modulów, to ker(</>) oraz <j>(V) są A-podmodulami V. Załóżmy, że <t> ± 0. Wówczas ker(<j>) V, skąd ker(^) = 0, więc <t> jest monomorfizmem. Z drugiej strony <!>(Y) ± 0, więc ij>(V) = V i </> jest także “na”. Wobec tego każdy niezerowy element (j> € End^(P) jest odwracalny. □

Dla dowolnej algebry R niech R^opp oznacza algebrę przeciwną, tzn. przestrzeń liniową R wyposażoną w nowe

(2.4)    Lemat. Istnieje izomorfizm K-algebr End^(>l)^opp « A.

Dowód. Zauważmy, że odwzorowanie /: End/i(A)^opp —> A dane wzorem f(<p) = <p(\) jest /^-liniowe. Ponadto dla p,ip 6 End_/i(A)^opp mamy

f(v *i>) = f{i> o<p) = (tpo y>)(l) = i/>(<p( 1) • 1) = v?(l) • V>(1) = f(<p) • /(V>),

więc / jest homomorfizmem /C-algebr. Ponieważ <p(\) € A wyznacza jednoznacznie p, przekształcenie / jest izomorfizmem. □

(2.5)    Lemat. Niech W = Vi © • • ■ ® V_n będzie sumą parami izomorficznych A-modułów prostych Vj. Jeśli D = End/i(Vi), to istnieje izomorfizm Af-algebr End/i(W)^opp M„(D^opp).

Dowód. Wybierzmy izomorfizmy A-modułów 0;: V) ~ >Vi dla i ^ 2. Ponadto niech ii będzie włożeniem V) na składnik prosty W, zaś ir< - rzutem W na ten składnik.

Homomorfizmowi <p 6 End^(W) przypiszemy macierz 4>(<p) := [fijk] € M_n(D^opp), gdzie

Wit-e Emuat) = d.

Wykażemy, że $ jest izomorfizmem -algebr. Jest jasne, że ^<t> jest monomorfizmem /^-liniowym. Ponadto, dla dowolnych ip, ip € End,t(W)^opp mamy 4>(t/> * <p) = <&(ip o ip) = ((tp o ip)ji\. przy czym

(<P°ip)jl = 0i o m o ip o ip o ij o Oj ¹ = Ot oirioipo^2(i_koir_k)oil>oi._jo0_j ¹ =

fc=i

^2(0, OTTlO<pOL_kO OJ¹) O (Ok O 7Tfc O Ip O Lj O OJ¹) = ^2 pkl    * <Pkl = ($(V0 ‘ $(<P))jl,

więc 4> jest monomorfizmem K=algebr. Z drugiej strony, dla dowolnej macierzy [Aj*,] możemy wskazać endomorfizm A taki, że <I>(A) = [Aj*,]: wystarczy określić A jako sumę złożeń