123168

Izomorfizm pierścieni

Niech (/?,+, ) i (S,+, •) będą pierścieniami. Będziemy mówić, że funkcja / jest homomorfizmem pierścienia P w S jeśli:

(i) /:«-5.

(ii)    Va, 6 € P /(a+ 6) = /(«) + /(&), f(ab) = f(a)f(b).

Izomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm. który jest bijekcją.

Mówimy, że pierścienie są izomorficzne jeśli istnieje izomorfizm przekształcający jeden pierścień na drugi.

Przykład Rozważmy pierścień P składający się z macierzy

oraz pierścień liczb zespolonych wtedy funkcja f : P —> C dana wzorem:

/:

« b -b a

*—► a + bi

jest izomorfizmem pierścieni.

Przykład Funkcja g : C —► C dana wzorem:

/(o + bi) = a + bi = a — bi

jest izomorfizmem pierścienia C na siebie.

Twierdzenie 5 Jeśli funkcja f : R —* S jest homomorfizmem pierścieni to:

(i)    /(On) = 0₅.

(ii)    /(—a) = —f(a) dla każdego a € R.

(iii)    Jeśli pierścienie R i S mają jedynki \r i 1 s oraz f jest izomorfizmem to /(Ir) = 1s.

Dowód

(i)    Ponieważ 0« = 0« + 0« to mamy:

/(0«)=/(0« + 0k) = /(0*) + /(0*)

a stąd odejmując obustronnie /(0«) otrzymujemy f(0n) = Os-

(ii)    Ponieważ 0« = a + (—a) to mamy:

Os = /(0„) = f(a + (-a)) = /(a) + /(-a) stąd odejmując stronami f(a) otrzymujemy: /(—«) = —/(a).

2