68768 s102 103

102

przy założeniu, że funkcja y jest ciągła w [a, b]. Mamy więc

= 7r / e~²^dx.

Jo

2\/x = t =>    4 x — t²,

V

Podstawmy a więc

Adx = 2 tdt.

Wprowadzając nowe granice całkowania

ti = 0, t₂ = 6,

oraz stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie, mamy

V =

= - [ te~ⁱdt.

2 Jo

Tę ostatnią całkę obliczymy stosując twierdzenie o całkowaniu przez części, więc

V = | f te~^łdt = <	u — t	7 II	[ = |	i <r*K l	6 r + /
2 Jo	V = 1,	T 1 II			O O

ⁱdt

+ t)

2. Dla funkcji zadanej parametrycznie

x = x(t), y = y(t),    t£[a,P],

objętość bryły powstałej przez jej obrót dookoła osi Ox dana jest wzorem

V = 7r f y²(t)\x'{t)\dt,

J rt

przy założeniu, że funkcje x,x', oraz y są ciągłe w [a, 0\. Ponieważ

x' = cost,

więc

V

= 7t    cos⁴ t cos tdt = 7r / (1 — sin² t)²

Jo    Jo

cos tdt.

Jest to całka funkcji trygonometrycznej i obliczymy ją przez podstawienie

sinf = u,

a więc

cos tdt — du.

Nowe granice całkowania są:

ui =0, it₂ = 1.

Zatem, stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie, mamy

Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu dookoła osi OX zadanych krzywych

,    7T    7T

1. y = cos a:, — < x < — 3 -    ~ 3

„    TT    TT

2- V = ctga:, - < x < -

€ [0, ay/3], a > 0

5. y =

3. y — ln x, 1 < x < e 1

Va² + :

4. y = e ^J:, 0 < x < 1

7. y = \/lnx, 1 < x <

6. y = (2x - l)², 0 < x < -

8. y = \fxe , 0 < x < 4 10. y = e~^x\/smx, 0 < x < tt

9. y — x" sin x, 0 < x <

11. y = \/arcsin x, 0 < x < -

12. y — arcsinx, x G [0,1] 1

14. y

\/x¹ — 3x + 2

1

13. y = 15. y = 17-2/ =

x2 _{+ 1}’ ^xe[⁰’¹J

xarctgx²

rrli-'

1

y/x² + 2x -i- 4

, x > 0

18. x = mmii'¹ t, y /mom'/, «,/i ■ (), t g[0,27t]