6830719738

Dlaczego statystyka Fermiego-Diraca nie jest równoważna statystyce Boltzmanna?

Przypomnijmy, że -

W pełni klasycznym liczeniu funkcji podziału (tzn. przy założeniu rozróżnialności cząsteczek), otrzymujemy wynik ewidentnie błędny. Pomysł Boltzmanna polega na podzieleniu klasycznej funkcji podziału przez czynnik N\ (lub iloczyn silni w przypadku różnych rodzajów cząsteczek). Wynika to z faktu, że w N\ stanów w klasycznym podejściu wyraża w rzeczywistości jeden stan (bo cząsteczki są nierozróżnialne i zamiana ich miejscami nie zmienia stanu). Warunkiem stosowalności tego podejścia jest wiarygodność założenia, że każda cząsteczka znajduje się w innym stanie. Dla bozonów w niskich temperaturach jest to w oczywisty sposób nieprawdziwe, ale na pierwszy rzut oka można podejrzewać, że statystykę Boltzmanna można stosować do fermionów również w niskich temperaturach. Ze względu bowiem na zakaz Pauliego, powyższe założenie musimy być zawsze spełnione dla fermionów. Po co zatem statystyka Fermiego-Diraca?

Nietrudno się domyślić, że statystyka Boltzmanna wprowadza jeszcze inne, dodatkowe uproszczenia.

Sprawdźmy to na najprostszym przykładzie.

Mamy układ złożony z 2 cząsteczek tego samego rodzaju - A i B (N = 2), każda z nich może być w jednym z 3 stanów (1,2,3) (n = 3). To ostatnie założenie łatwo uogólnimy dla dowolnego n.

1. Podejście klasyczne (Boltzmanna).

Energia całkowita wszystkich możliwych stanów (jeszcze bez uwzględniania nierozróżnialności) będzie sumą energii obu cząsteczek:

Stan	A	B
1.	£ai	£bi
2.	£ai	£B2
3.	£ai	£B3
4.	£A2	£bi
5.	£A2	£B2
6.	£A2	£B3
7.	£A2	£bi
8.	£A2	£B2
9.	£A2	£B3

2 ₌ 'y *    _ g^_^(^Ai⁺fsi)    g~P{€A\⁺€m) _|_

g-fi(^A2⁺^B2 )    g~ft{£A?.^+ei)3 )

g~fl(^eA3⁺€ai)    ^+eS9.) g~P(^eAi )

Zauważmy jeszcze, że w przypadku N cząsteczek, w wykładnikach będzie N składników. Kolejne przekształcenia dają

1