C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1
1 6 .
1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A
Z a d a n i e 1
W y k o r z y s t u j c m e t o d p r z e m i e s z c z e D z n a l e z w y k r e s m o m e n t w z g i n a j c y c h d l a r a m y z r y s . 1 6 . 1 .
2
q
3
E J = c o n s t .
P
2
4
4
[ m ]
R y s . 1 6 . 1 . R a m a s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a
D o r o z w i z a n i a z a d a n i a m e t o d p r z e m i e s z c z e D p r z y j m u j e m y u k Ba d p o d s t a w o w y z z a b l o k o w a n y m i
p r z e m i e s z c z e n i a m i w z B w
4
0
2
1
q
z 1
3
z 3
P
2
E J = c o n s t . z 2
2
3
4
4
[ m ]
R y s . 1 6 . 2 . U k Ba d p o d s t a w o w y
o r a z z w i z a n y z n i m u k Ba d r w n a D k a n o n i c z n y c h
r 1 1 z 1 r 1 2 z 2 r 1 3 z 3 r 1 P = 0
r 2 1 z 1 r 2 2 z 2 r 2 3 z 3 r 2 P = 0
( 1 6 . 1 )
{
r 3 1 z 1 r 3 2 z 2 r 3 3 z 3 r 3 P = 0
D o w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k w r i r p o t r z e b n e n a m b d w y k r e s y m o m e n t w w s t a n a c h j e d n o s t k o w y c h :
i k i P
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2
E J
z 1 = 1
r 1 1
4
1
2
E J
E J
E J
5
2
5
r 3 1
r 2 1
R y s . 1 6 . 3 . W y k r e s m o m e n t w w u k Ba d z i e p o d s t a w o w y m w y w o Ba n y o b r o t e m z = 1
1
2
r 1 2 5 E J
4
E J
2
5
E J
5
r 3 2
r 2 2
2 E J
4
E J
z 2 = 1
5
E J
R y s . 1 6 . 4 . W y k r e s m o m e n t w w u k Ba d z i e p o d s t a w o w y m w y w o Ba n y o b r o t e m z = 1
2
W s t a n i e z = 1 t r z e b a n a j p i e r w z n a l e z k t y o b r o t u c i c i w p r t w . W t y m c e l u t w o r z y m y Ba Dc u c h
3
k i n e m a t y c z n y .
4
0
2
1
2 4
0 1
1 2 3
z 3 = 1
2
2 3 2
3
4
4
[ m ]
R y s . 1 6 . 5 . K t y o b r o t u c i c i w p r t w w y w o Ba n e j e d n o s t k o w y m p r z e s u w e m z = 1
3
Z r w n a D Ba Dc u c h a w y z n a c z a m y w a r t o [c i k t w o b r o t u c i c i w p r t w :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3
1
3 2 3 2 "2 = 1 3 2 =
2
4 2 - 4 2 "5 = 1 4 2 = - 1
5
0 1 2 0 1 "0 - 1 2 "3 = 1 1 2 = - 1
3
1
0 1 2 3 0 1 "4 1 2 "4 2 3 "0 = 0 0 1 =
3
K o r z y s t a j c z w y z n a c z o n y c h k t w o b r o t u c i c i w p r t w o b l i c z a m y w a r t o [c i p r z y w z Bo w y c h m o m e n t w
z g i n a j c y c h , p o w s t a By c h o d j e d n o s t k o w e g o p r z e s u w u p o k i e r u n k u z
3
2
z 3 z 3
M = M = E J " - 3 "1 = - 1 E J
0 1 1 0
[ ]
4 3 2
2 2
z 3 z 3
M = M = E J " - 3 " - 1 = E J
1 2 2 1
[ ]
5 3 5
2
z 3 z 3
M = M = E J " - 3 "1 = - 3 E J
2 3 3 2
[ ]
2 2 2
2 6
z 3 z 3
M = M = E J " - 3 " - 1 = E J
2 4 4 2
[ ]
5 5 2 5
i n a n o s i m y j e n a w y k r e s :
6
2
r 1 3 2 5 E J
0 , 5 E J E J
5
6
E J
0 , 5 E J
2 5
z 3 = 1
r 3 3
2
E J
5
r 2 3
1 , 5 E J
1 , 5 E J
R y s . 1 6 . 6 . W y k r e s m o m e n t w w u k Ba d z i e p o d s t a w o w y m w y w o Ba n y p r z e s u w e m z = 1
3
N a p o d s t a w i e p o w y |s z y c h w y k r e s w , z r w n o w a g i w z B w r a m y , m o |e m y w y z n a c z y r e a k c j e p o k i e r u n k a c h
z m i e n n y c h z i z :
1 2
4 9
r 1 1 = E J E J = E J ( 1 6 . 2 )
5 5
4 4 1 8
r 2 2 = E J E J 2 E J = E J ( 1 6 . 3 )
5 5 5
2
r 1 2 = r 2 1 = E J ( 1 6 . 4 )
5
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 4
2 1 1
r 1 3 = E J - E J = - E J ( 1 6 . 5 )
5 2 1 0
2 6 3
r 2 3 = E J E J - E J = - 4 3 E J ( 1 6 . 6 )
5 2 5 2 5 0
K o r z y s t a j c z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j , w y z n a c z a m y w a r t o [c i p o z o s t a By c h w s p Bc z y n n i k w m a c i e r z y
s z t y w n o [c i ( r e a k c j e p o k i e r u n k u z ) :
3
1 2 2 3 3 6 6
r 3 3 " - 1 E J - E J "1 E J E J " - 1 - E J - E J "1 E J E J " - 1 = 0
1
2 2 3 5 5 3 2 2 2 2 5 2 5 5
5 4 9
r 3 3 = E J ( 1 6 . 7 )
2 5 0
1 1 4 2 1
r 3 1 " E J E J " E J E J " - = 0
1
2 3 5 5 3
1
r 3 1 = - E J ( 1 6 . 8 )
1 0
4 2 4
r 3 2 " 2 E J E J " - 1 E J E J " - 1 2 E J E J "1 = 0
1
5 5 3 5 5 5 2
4 3
r 3 2 = - E J ( 1 6 . 9 )
5 0
N a s t p n i e w y z n a c z a m y r e a k c j e w y w o Ba n e o b c i |e n i e m z e w n t r z n y m .
2 5
q
1 2
W = q l
2 5
r 1 P
q
1 2
r 3 P
P
r 2 P
R y s . 1 6 . 7 . W y k r e s m o m e n t w w u k Ba d z i e p o d s t a w o w y m o d o b c i |e n i a z e w n t r z n e g o
Z r w n o w a g i w z B w 1 i 2 o t r z y m a m y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w :
2 5
r 1 P = - "q
( 1 6 . 1 0 )
1 2
2 5
r 2 P = "q
( 1 6 . 1 1 )
1 2
Z r w n a D Ba Dc u c h a k i n e m a t y c z n e g o w y z n a c z a m y w i e l k o [c i p r z e m i e s z c z e D p o d s i B P i s i B W w y p a d k o w z
o b c i |e n i a c i g Be g o . W y k o r z y s t u j e m y w a r t o [c i k t w w y z n a c z o n e d l a z = 1 .
3
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 5
4
0
2
1
W
2 4
0 1 1 2
3
z 3 = 1
P 2
2 3 2
3
4
4
[ m ]
R y s . 1 6 . 8 . P r z e m i e s z c z e n i a p o d s i Ba m i s k u p i o n y m i w y w o Ba n e j e d n o s t k o w y m p r z e s u w e m z = 1
3
0 1 2 0 1 "0 - 1 2 "3 = - P P = - 1
5
0 1 W 0 1 "4 1 2 "2 , 0 = W "c o s W =
6
Z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j w y z n a c z a m y w a r t o [ w s p Bc z y n n i k a r :
3 P
2 5 "q 2 5 "q " - 1 P "P q "l "W = 0
r 3 P " -
1
1 2 1 2 3
2 5 "q
r 3 P = P - ( 1 6 . 1 2 )
6
P o w y z n a c z e n i u w a r t o [c i w s z y s t k i c h w s p Bc z y n n i k w w s t a w i a m y j e d o u k Ba d u r w n a D k a n o n i c z n y c h ( 1 6 . 1 ) .
9 1
"E J "z 1 2 "E J "z 2 - "E J "z 3 - 2 5 "q = 0
5 5 1 0 1 2
2 "E J "z 1 8 "E J "z 2 - 4 3 "E J "z 3 2 5 "q = 0
1
5 5 5 0 1 2
1
{
- "E J "z 1 - 4 3 "E J "z 2 5 4 9 "E J "z 3 P - 2 5 "q = 0
1 0 5 0 2 5 0 6
P r z y j m i j m y , |e d z i a Ba j c a s i Ba s k u p i o n a P = 5 k N i o b c i |e n i e c i g Be q = 8 k N / m 2 i d a l s z e o b l i c z e n i a
w y k o n a m y n a w a r t o [c i a c h l i c z b o w y c h o b c i |e n i a . U k Ba d r w n a D k a n o n i c z n y c h p o p o d z i e l e n i u p r z e z E J ,
p r z y j m i e w w c z a s p o s t a :
1 , 8 "z 1 0 , 4 "z 2 - 0 , 1 "z 3 = 1 6 , 6 6 7
E J
0 , 4 "z 1 3 , 6 "z 2 - 0 , 8 6 "z 3 = - 1 6 , 6 6 7 ( 1 6 . 1 3 )
E J
{
- 0 , 1 "z 1 - 0 , 8 6 "z 2 2 , 1 9 6 "z 3 = 2 8 , 3 3 3
E J
P o r o z w i z a n i u u k Ba d u r w n a D ( 1 6 . 1 3 ) o t r z y m a m y :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 6
E J z 1 = 1 0 , 5 7 9 6
E J z 2 = - 2 , 8 7 7 0
( 1 6 . 1 4 )
{
E J z 3 = 1 2 , 2 5 7 3
T e r a z , k o r z y s t a j c z w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h , m o |e m y w y z n a c z y r z e c z y w i s t e w a r t o [c i p r z y w z Bo w y c h
m o m e n t w z g i n a j c y c h .
2 "
M = 2 "0 1 0 , 5 7 9 6 - 3 "1 "1 2 , 2 5 7 3 = - 0 , 8 3 9 k N m
0 1
[ ]
4 3
2 "
M = 0 2 "1 0 , 5 7 9 6 - 3 "1 "1 2 , 2 5 7 3 = 4 , 4 5 1 k N m
1 0
[ ]
4 3
2 " 2 5 "8 = - 4 , 4 5 1 k N m
M = 2 "1 0 , 5 7 9 6 - 2 , 8 7 7 0 - 3 " - 1 "1 2 , 2 5 7 3 -
1 2
[ ]
5 3 1 2
2 " 2 5 "8 = 2 3 , 5 0 0 k N m
M = 1 0 , 5 7 9 6 2 "- 2 , 8 7 7 0 - 3 " - 1 "1 2 , 2 5 7 3
2 1
[ ]
5 3 1 2
2 "
M = 2 "- 2 , 8 7 7 0 0 - 3 "1 "1 2 , 2 5 7 3 = - 2 4 , 1 4 0 k N m
2 3
[ ]
2 2
2 "
M = 2 "0 - 2 , 8 7 7 0 - 3 "1 "1 2 , 2 5 7 3 = - 2 1 , 2 6 3 k N m
3 2
[ ]
2 2
2 "
M = 2 "- 2 , 8 7 7 0 0 - 3 " - 1 "1 2 , 2 5 7 3 = 0 , 6 4 0 k N m
2 4
[ ]
5 5
2 "
M = 2 "0 - 2 , 8 7 7 0 - 3 " - 1 "1 2 , 2 5 7 3 = 1 , 7 9 1 k N m
4 2
[ ]
5 5
R z e c z y w i s t y w y k r e s m o m e n t w b d z i e w y g l d a B n a s t p u j c o :
1 , 7 9 1 4
4 , 4 5 1
0 , 8 3 9
1
2 3 , 5 0 0
0
0 , 6 4 0
2 4 , 1 4 0
2
M P ( n ) [ k N m ]
3
2 1 , 2 6 3
R y s . 1 6 . 9 . W y k r e s m o m e n t w z g i n a j c y c h w u k Ba d z i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y m
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 7
Z a d a n i e 2
W y z n a c z y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w r i r d l a r a m y o b c i |o n e j r w n o m i e r n i e r o z Bo |o n t e m p e r a t u r t
i k i T 0
( r y s . 1 6 . 1 0 ) .
1
2
4
t 0
3
0
[ m ]
6 3
3
R y s . 1 6 . 1 0 . R a m a o b c i |o n a t e r m i c z n i e
P o n i e w a | p o d p o r a [l i z g o w a w w zl e 3 n i e j e s t p o d k t e m p r o s t y m d o o s i p r t a , n i e m o |e m y
w y k o r z y s t a w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h d l a p r t a z p o d p o r [l i z g o w . R a m a w y m a g a d o d a t k o w e g o
z a b l o k o w a n i a p r z e s u w u w t y m w zl e .
D o w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k w r m a c i e r z y s z t y w n o [c i , o r a z w s p Bc z y n n i k w r w y w o Ba n y c h d z i a Ba n i e m
i k i T
t e m p e r a t u r y t , p r z y j m u j e m y u k Ba d p o d s t a w o w y r a m z z a b l o k o w a n y m i p r z e m i e s z c z e n i a m i ( r y s . 1 6 . 1 1 ) .
0
z 1
z 3
1 2
4
t 0
z 2
0 3
[ m ]
6 3
3
R y s . 1 6 . 1 1 . U k Ba d p o d s t a w o w y
W c e l u w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k w r t w o r z y m y w y k r e s y m o m e n t w w p o s z c z e g l n y c h s t a n a c h
i k
j e d n o s t k o w y c h . N a j p i e r w w y w o Ba n y o b r o t e m z = 1 :
1
z 1 = 1
4
E J
r 1 1
r 3 1 5
1 2
1
E J
2
r 2 1
0 3
2
E J
5
R y s . 1 6 . 1 2 . S t a n z = 1
1
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 8
D o w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k w z w i z a n y c h z p r z e s u w a m i p o s Bu | n a m Ba Dc u c h y k i n e m a t y c z n e z a p i s a n e
o d d z i e l n i e d l a z i z . W u k Ba d z i e z z a b l o k o w a n y m p r z e s u w e m z d o k o n u j e m y p r z e m i e s z c z e n i a z = 1 .
2 3 3 2
2
1
1 2
2 3
4
z 2 = 1
0
3
[ m ]
6 3
3
R y s . 1 6 . 1 3 . K t y o b r o t u c i c i w p r t w w y w o Ba n e j e d n o s t k o w y m p r z e s u w e m z = 1
2
Z r w n a D Ba Dc u c h a w y z n a c z a m y w a r t o [c i k t w o b r o t u c i c i w p r t w :
0 1 0 1 "4 = 0 0 1 = 0
Z a u w a |m y , |e j e |e l i w z e B 1 m a u n i e r u c h o m i o n y p r z e s u w p o z i o m y , r w n a n i e Ba Dc u c h a w p o z i o m i e m o |e m y
r o z p o c z o d t e g o w z Ba :
1 2 3 1 2 "0 - 2 3 "4 = 1 2 3 = - 1
4
N a t o m i a s t p r z e m i e s z c z e n i e p i o n o w e w w zl e 1 j e s t n i e z n a n e , d l a t e g o :
1
0 1 2 3 0 1 "3 1 2 "6 2 3 "3 = 0 1 2 =
8
N a s t p n i e m o |e m y o b l i c z y w a r t o [c i m o m e n t w p r z y w z Bo w y c h p o d s t a w i a j c o t r z y m a n e w i e l k o [c i d o
w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h :
3 1 1
z 2
M = E J " - = - E J
1 2
6 8 1 6
3 1 3
z 2
M = E J " - - = E J
3 2
[ ]
5 4 2 0
z 2 z 2 z 2 z 2
M = M = M = M = 0
2 3 2 1 1 0 0 1
O b l i c z o n e w a r t o [c i n a n o s i m y n a w y k r e s ( r y s . 1 6 . 1 4 ) . W t e n s p o s b o t r z y m a l i [m y w y k r e s w u k Ba d z i e
p o d s t a w o w y m o d p i e r w s z e g o p r z e s u w u ( z = 1 ) .
1
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 9
1
E J
r 1 2
1 6
r 3 2
1
2
3
E J
2 0
r 2 2
z 2 = 1
3
0
R y s . 1 6 . 1 4 . S t a n z = 1
2
A n a l o g i c z n i e t w o r z y m y Ba Dc u c h k i n e m a t y c z n y o d p r z e s u w u z = 1 ( p r z e s u w z j e s t z a b l o k o w a n y ) .
3 2
z 3 = 1
1
1 2 2
2 3 4
0 1
0 3
[ m ]
6 3
3
R y s . 1 6 . 1 5 . K t y o b r o t u c i c i w p r t w w y w o Ba n e j e d n o s t k o w y m p r z e s u w e m z = 1
3
Z r w n a D Ba Dc u c h a w y z n a c z a m y w a r t o [c i k t w o b r o t u c i c i w p r t w :
1
0 1 0 1 "4 = 1 0 1 =
4
T y m r a z e m u n i e r u c h o m i o n y j e s t w z e B 3 .
1
0 1 2 3 0 1 "4 1 2 "0 - 2 3 "4 = 0 2 3 =
4
1
0 1 2 3 0 1 "3 1 2 "6 2 3 "3 = 0 1 2 = -
4
N a s t p n i e m o |e m y o b l i c z y w a r t o [c i m o m e n t w p r z y w z Bo w y c h o d j e d n o s t k o w e g o p r z e s u w u :
2 3
z 3 z 3
M = M = E J "- 3 "1 = - E J
0 1 1 0
5 4 1 0
1 1 1
z 3
M = E J " - - = E J
1 2
[ ]
2 4 8
3 1 3
z 3
M = E J " - = - E J
3 2
5 4 2 0
z 2 z 2
M = M = 0
2 3 2 1
O b l i c z o n e w a r t o [c i t w o r z w y k r e s m o m e n t w z g i n a j c y c h w s t a n i e z = 1 .
3
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 0
r 1 3
r 3 3
1
z 3 = 1
3
2
1
E J
E J
2 0
8
3
E J 3
E J
1 0
r 2 3
3
1 0
0
R y s . 1 6 . 1 6 . S t a n z = 1
3
T e r a z w y z n a c z a m y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w r :
i k
" r e a k c j e z w i z a n e z o b r o t e m z w y z n a c z a m y z r w n o w a g i w z Ba
1
4 1 1 3
r 1 1 = E J E J = E J ( 1 6 . 1 5 )
5 2 1 0
1
r 1 2 = - E J
( 1 6 . 1 6 )
1 6
1 3 7
r 1 3 = E J - E J = - E J ( 1 6 . 1 7 )
8 1 0 4 0
" r e a k c j e z w i z a n e z p r z e s u w e m z o b l i c z a m y z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j w y k o r z y s t u j c k t y z
3
r y s u n k u 1 6 . 1 5 :
3 3 1 1 3
r 3 3 " - E J - E J "1 E J " - - E J "1 = 0
1
1 0 1 0 4 8 4 2 0 4
7
r 3 3 = E J
( 1 6 . 1 8 )
3 2
" r e a k c j e z w i z a n e z p r z e s u w e m z u z y s k u j e m y t a k |e z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j , a l e p o p o d s t a w i e n i u
2
k t w z w i z a n y c h z t y m k i e r u n k i e m ( r y s . 1 6 . 1 3 ) :
4 1 1
r 3 1 " 2 E J E J "1 E J " - = 0
1
5 5 4 2 4
7
r 3 1 = - E J ( 1 6 . 1 9 )
4 0
1 3
r 3 2 " 1 E J " - E J "1 = 0
1 -
1 6 4 2 0 4
1 7
r 3 2 = - E J ( 1 6 . 2 0 )
3 2 0
4 1
r 2 1 " 2 E J E J "0 E J "1 = 0
1
5 5 2 8
1
r 2 1 = - E J
( 1 6 . 2 1 )
1 6
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 1
3 1
r 2 2 " 1 E J "1 E J " - = 0
1 -
1 6 8 2 0 4
2 9
r 2 2 = E J ( 1 6 . 2 2 )
6 4 0
3 3 1 3
r 2 3 " - E J - E J "0 E J "1 - E J " - 1 = 0
1
1 0 1 0 8 8 2 0 4
1 7
r 2 3 = - E J
( 1 6 . 2 3 )
3 2 0
W d a l s z e j k o l e j n o [c i w y z n a c z a m y w s p Bc z y n n i k i r , k t r e s r e a k c j a m i p o w s t a j c y m i w u k Ba d z i e
i T
p o d s t a w o w y m , o g r z a n y m r w n o m i e r n i e t e m p e r a t u r t ( r y s . 1 6 . 1 7 ) . W t y m c e l u n a l e |y s t w o r z y w y k r e s
0
m o m e n t w w k o n s t r u k c j i o d k s z t a Bc o n e j n a s k u t e k d z i a Ba n i a t e m p e r a t u r y .
r 1 T
r 3 T
1 2
4
t 0
3
0
r 2 T
[ m ]
6 3
3
R y s . 1 6 . 1 7 . S t a n T ( r w n o m i e r n e o g r z a n i e t e m p e r a t u r t )
0
W c e l u w y z n a c z e n i a k t w o b r o t w c i c i w p r t w , w y w o Ba n y c h d z i a Ba n i e m t e m p e r a t u r y t , t w o r z y m y Ba Dc u c h
0
k i n e m a t y c z n y , u w z g l d n i a j c y w y d Bu |e n i a p r t w n a w s k u t e k r w n o m i e r n e g o o g r z a n i a k o n s t r u k c j i :
0 1 t "4 t "t 0 "3 = 0 t = - 0 , 7 5 t t 0
0 1 0 1
1 2 3 0 t "0 t "t 0 "6 - t "4 t "t 0 "3 = 0 t = 2 , 2 5 t t 0
1 2 2 3 2 3
0 1 2 3 t "3 - t "t 0 "4 t "6 t "t 0 "0 t "3 t "t 0 "4 = 0 t = - 0 , 7 5 t t 0
0 1 1 2 2 3 1 2
D y s p o n u j c k t a m i t m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [c i m o m e n t w z g i n a j c y c h :
i k
2
t t 0
0
M = M = E J " - 0 , 7 5 t t 0 E J t t 0
[ - 3 " ] = 0 , 9
0 1 1 0
5
1
t
0
M = E J " - 0 , 7 5 t t 0
[ -
] = 0 , 3 7 5 E J t t 0
1 2
2
1
t 0
M = E J " - 2 , 2 5 t t 0 = - 1 , 1 2 5 E J t t 0
3 2
2
a n a s t p n i e n a r y s o w a i c h w y k r e s . J e s t t o w y k r e s m o m e n t w w u k Ba d z i e p o d s t a w o w y m o d t e m p e r a t u r y t
0
( r y s . 1 6 . 1 8 ) .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 2
0 , 9 E J t t 0
r 1 T
r 3 T 1
2
0 , 3 7 5 E J t t 0
r 2 T 3
0
0 , 9 E J t t 0
1 , 1 2 5 E J t t 0
R y s . 1 6 . 1 8 . W y k r e s m o m e n t w o d r w n o m i e r n e g o o g r z a n i a w u k Ba d z i e p o d s t a w o w y m
T e r a z m o |e m y w y z n a c z y r e a k c j e p o w s t a Be p r z y r w n o m i e r n y m o g r z a n i u r a m y w u k Ba d z i e p o d s t a w o w y m :
" z r w n o w a g i w z Ba
r 1 T = 0 , 9 0 , 3 7 5 E J t t 0 = 1 , 2 7 5 E J t t 0 ( 1 6 . 2 4 )
" z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j r e a k c j e p o k i e r u n k u p r z e s u w u 2 i 3 , b i o r c o d p o w i e d n i e g r u p y k t w
( r y s . 1 6 . 1 3 i r y s . 1 6 . 1 5 ) :
1
r 2 T " 0 , 9 E J t t 0 0 , 9 E J t t 0 "0 0 , 3 7 5 E J t t 0 "1 - 1 , 1 2 5 E J t t 0 " - = 0
1
8 4
2 1
r 2 T = - E J t t 0 ( 1 6 . 2 5 )
6 4
1
r 3 T " 0 , 9 E J t t 0 0 , 9 E J t t 0 "1 0 , 3 7 5 E J t t 0 " - - 1 , 1 2 5 E J t t 0 "1 = 0
1
4 4 4
3
r 3 T = - E J t t 0 ( 1 6 . 2 6 )
4 0
W a r t o [c i ( 1 6 . 1 5 ) d o ( 1 6 . 2 6 ) s p o s z u k i w a n y m i w z a d a n i u w i e l k o [c i a m i . A b y w y z n a c z y w y k r e s m o m e n t w
w u k Ba d z i e r z e c z y w i s t y m ( n i e w y z n a c z a l n y m ) n a l e |a Bo b y r o z w i z a u k Ba d r w n a D k a n o n i c z n y c h .
Z a d a n i e 3
D l a b e l k i o z a d a n y c h p a r a m e t r a c h ( r y s . 1 6 . 1 9 ) w y z n a c z y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w r i r .
i k i P
q
2 J
J
3 3 3 [ m ]
R y s . 1 6 . 1 9 . B e l k a s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a o z m i e n n e j s z t y w n o [c i
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 3
P r z y j m u j e m y u k Ba d p o d s t a w o w y m e t o d y p r z e m i e s z c z e D. P o Bc z e n i e r |n y c h s z t y w n o [c i t r a k t u j e m y j a k o
d o d a t k o w y w z e B w e w n t r z n y , k t r e g o s w o b o d p r z e m i e s z c z e D m u s i m y z a b l o k o w a . U k Ba d j e s t z a t e m
t r z y k r o t n i e g e o m e t r y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y .
q
z 1 z 2
J
2 J
1 2
3
0
z 3
3 3 3 [ m ]
R y s . 1 6 . 2 0 . U k Ba d p o d s t a w o w y
W p i e r w s z e j k o l e j n o [c i w y z n a c z y m y w s p Bc z y n n i k i m a c i e r z y s z t y w n o [c i r . O b l i c z a m y w y k r e s y m o m e n t w
i k
w p o s z c z e g l n y c h s t a n a c h j e d n o s t k o w y c h :
4
E J
8
z 2 = 1
3 E J
z 1 = 1 4
4 3 E J
0 0
r 2 1 E J r 2 2
3
r 1 1 r 1 2
3
J J
2 J 1 2 J
1 2 2
2
3 3
E J
3
4
r 3 1 r 3 2
E J 8
8
E J
3
E J
3
3
R y s . 1 6 . 2 1 . S t a n z = 1 R y s . 1 6 . 2 2 . S t a n z = 1
1 2
D o n a r y s o w a n i a w y k r e s u m o m e n t w z w i z a n y c h z p r z e s u w e m , p o d o b n i e j a k w p o p r z e d n i c h p r z y k Ba d a c h ,
p o s Bu |y m y s i Ba Dc u c h e m k i n e m a t y c z n y m ( r y s . 1 6 . 2 3 ) .
3
0
0
2 3
2 3
2 J
2 J
1
1
J
J
1 2 2
1 2 2
0 1
0 1
z 3 = 1
z 3 = 1
3 3 3 [ m ]
3 3 3 [ m ]
R y s . 1 6 . 2 3 . K t y o b r o t u c i c i w p r t w w y w o Ba n e j e d n o s t k o w y m p r z e s u w e m z = 1
3
Z r w n a D Ba Dc u c h a o b l i c z a m y w a r t o [c i k t w o b r o t u c i c i w p r t w :
1
0 1 0 1 "3 = 1 0 1 =
3
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 4
0 1 2 0 1 "3 1 2 "3 = 0 1 2 = - 1
3
3 2 - 2 3 "3 = 0 2 3 = 0
i n a i c h p o d s t a w i e w y z n a c z a m y w a r t o [c i p r z y w z Bo w y c h m o m e n t w z g i n a j c y c h p o w s t a By c h o d
j e d n o s t k o w e g o p r z e s u w u :
2 2
z 3 z 3
M = M = E J " - 3 "1 = - E J
0 1 1 0
3 3 3
2 "2 4
z 3 z 3
M = M = E J " - 3 " - 1 = E J
1 2 2 1
[ ]
3 3 3
z 3 z 3
M = M = 0
2 3 3 2
N a k o n i e c r y s u j e m y w y k r e s m o m e n t w w y w o Ba n y c h j e d n o s t k o w y m p r z e s u w e m z = 1 :
3
2
4
E J
r 1 3
r 2 3 3 E J
3
1
J
2 J
2
3
0
2
E J r 3 3 4
3
E J
3
z 3 = 1
R y s . 1 6 . 2 4 . S t a n z = 1
3
Z p o w y |s z y c h w y k r e s w , z a p i s u j c r w n a n i a r w n o w a g i w w z Ba c h , m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [c i
w s p Bc z y n n i k w :
4 8 1 2
r 1 1 = E J E J = E J ( 1 6 . 2 7 )
3 3 3
8 8
r 2 2 = E J E J = 1 6 E J ( 1 6 . 2 8 )
3 3 3
4
r 1 2 = r 2 1 = E J ( 1 6 . 2 9 )
3
4 2 2
r 1 3 = E J - E J = E J ( 1 6 . 3 0 )
3 3 3
4
r 2 3 = E J ( 1 6 . 3 1 )
3
P o z o s t a Be w s p Bc z y n n i k i w y z n a c z y m y w y k o r z y s t u j c r w n a n i e p r a c y w i r t u a l n e j :
2 2 4 4
r 3 3 " - E J - E J "1 E J E J " - 1 = 0
1
3 3 3 3 3 3
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 5
4
r 3 3 = E J ( 1 6 . 3 2 )
3
4 8 4
r 3 1 " 2 E J E J "1 E J E J " - 1 = 0
1
3 3 3 3 3 3
2
r 3 1 = E J
( 1 6 . 3 3 )
3
8 8 4
r 3 2 " 4 E J E J " - 1 E J E J "0 = 0
1
3 3 3 3 3
4
r 3 2 = E J ( 1 6 . 3 4 )
3
W s p Bc z y n n i k i r z n a j d z i e m y t w o r z c w y k r e s m o m e n t w o d o b c i |e n i a z e w n t r z n e g o w u k Ba d z i e
i P
p o d s t a w o w y m :
W
3 3
r 1 P r 2 P 4 q 4 q
1
J 2 J
2
3
0
r 3 P
R y s . 1 6 . 2 5 . S t a n P
Z r w n o w a g i w z B w 1 i 2 o t r z y m a m y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w r i r :
1 P 2 P
r 1 P = 0
( 1 6 . 3 5 )
3
r 2 P = - q ( 1 6 . 3 6 )
4
A b y w y z n a c z y o s t a t n i z e w s p Bc z y n n i k w , p o t r z e b n a n a m b d z i e w a r t o [ p r z e m i e s z c z e n i a p o d s i B
w y p a d k o w z o b c i |e n i a c i g Be g o W = q l ( w [r o d k u r o z p i t o [c i p r z s Ba 2 - 3 ) . W y k o r z y s t a m y w t y m c e l u
r w n a n i e Ba Dc u c h a k i n e m a t y c z n e g o , z a p i s a n e g o o d w z Ba 2 d o p u n k t u p r z y Bo |e n i a w y p a d k o w e j :
2 W 2 3 "1 , 5 = W W = 0
W a r t o [ w s p Bc z y n n i k a r w y z n a c z a m y z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j :
3 P
3 3
r 3 P " - q q "0 3 q "0 = 0
1
4 4
r 3 P = 0
( 1 6 . 3 7 )
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 6
Z a d a n i e 4
K o r z y s t a j c z m o |l i w y c h u p r o s z c z e D r o z w i z a r a m z r y s . 1 6 . 2 6 .
E J = c o n s t .
3
P P
4
[ m ]
4 4 3
3
R y s . 1 6 . 2 6 . R a m a s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a
S c h e m a t j e s t a n t y s y m e t r y c z n y . D l a p o r w n a n i a , r o z w i z u j c z a d a n r a m b e z z a s t o s o w a n i a u p r o s z c z e D
S K N = 4 , n a t o m i a s t w y k o r z y s t u j c a n t y s y m e t r i S K N t a k i e g o u k Ba d u r e d u k u j e s i o j e d e n s t o p i e D i w y n o s i
S K N = 3 . P r z y j m i j m y z a t e m u k Ba d p o d s t a w o w y m e t o d y p r z e m i e s z c z e D ( r y s . 1 6 . 2 7 ) o g r a n i c z o n y d o p o Bo w y
r a m y i z a s t o s u j m y a n t y s y m e t r i r o z w i z a n i a . P r t y n a o s i s y m e t r i i m a j s z t y w n o [ z m n i e j s z o n o p o Bo w .
4
z 2
z 1
3
z 3
P
1 2
4
E J
0
2
3
[ m ]
4
3
R y s . 1 6 . 2 7 . U k Ba d p o d s t a w o w y
Z w i z a n y z u k Ba d e m p o d s t a w o w y m , u k Ba d r w n a D k a n o n i c z n y c h o g r a n i c z a s i d o t r z e c h r w n a D:
r 1 1 z 1 r 1 2 z 2 r 1 3 z 3 r 1 P = 0
r 2 1 z 1 r 2 2 z 2 r 2 3 z 3 r 2 P = 0
( 1 6 . 3 8 )
{
r 3 1 z 1 r 3 2 z 2 r 3 3 z 3 r 3 P = 0
W c e l u w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k w r t w o r z y m y w y k r e s y m o m e n t w w p o s z c z e g l n y c h s t a n a c h
i k
j e d n o s t k o w y c h :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 7
1
4
E J
4
r 1 1
3
r 2 1
4
1
E J r 1 2 E J r 2 2
E J
5
2
r 3 1
r 3 2
1
1 2
1
E J 2
2
E J 3 2
E J E J
0 8 3
3
2 0
3
E J
5
R y s . 1 6 . 2 9 . S t a n z = 1
R y s . 1 6 . 2 8 . S t a n z = 1 2
1
A b y w y z n a c z y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w z w i z a n y c h z p r z e s u w e m p o k i e r u n k u t r z e c i m , t w o r z y m y Ba Dc u c h
k i n e m a t y c z n y .
4
2 4
3
1 2
z 3 = 1
1
2
0 1
4
2 3
0
3
[ m ]
4
3
N a r z u c a j c j e d n o s t k o w y p r z e s u w p o k i e r u n k u t r z e c i m , z a p i s u j e m y r w n a n i a Ba Dc u c h a k i n e m a t y c z n e g o .
0 1 2 0 1 "4 1 2 "0 = - 1 0 1 = - 1
4
3
0 1 2 3 0 1 "3 1 2 "4 2 3 "0 = 0 1 2 =
1 6
0 1 2 3 0 1 "4 1 2 "0 - 2 3 "4 = 0 2 3 = - 1
4
1
0 1 2 4 0 1 "4 1 2 "0 2 4 "3 = 0 2 4 =
3
D y s p o n u j c k t a m i o b r o t u c i c i w p r t w , w y z n a c z a m y w a r t o [c i p r z y w z Bo w y c h m o m e n t w z g i n a j c y c h :
2 1 3
z 3 z 3
M = M = E J " - 3 " - = E J
0 1 1 0
[ ]
5 4 1 0
2 3 9
z 3 z 3
M = M = E J " - 3 " = - E J
1 2 2 1
4 1 6 3 2
2 E J
z 3 z 3
M = M = " - 3 "1 = - 1 E J
2 4 4 2
3 2 3 3
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 8
3 E J 3
z 3
M = " - - 1 = E J
2 3
[ ]
4 2 4 3 2
z 3
M = 0
3 2
i r y s u j e m y w y k r e s m o m e n t w w y w o Ba n y c h j e d n o s t k o w y m p r z e s u w e m z = 1
3
4
1
E J
9
3
E J
3 2
1
r 2 3
E J
3
1
3
r 3 3
E J
1 0
2
9
r 1 3 3
E J
3 2
E J
3 2
0
3
3
E J
1 0
R y s . 1 6 . 3 0 . S t a n z = 1
3
N a p o d s t a w i e w y k r e s w j e d n o s t k o w y c h ( r y s . 1 6 . 2 8 , r y s . 1 6 . 2 9 , r y s . 1 6 . 3 0 ) m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [c i
w s p Bc z y n n i k w r :
i k
" z r w n o w a g i w w z Ba c h
4 9
r 1 1 = E J E J = E J ( 1 6 . 3 9 )
5 5
2 3 4 9
r 2 2 = E J E J E J = E J ( 1 6 . 4 0 )
3 8 2 4
1
r 1 2 = r 2 1 = E J
( 1 6 . 4 1 )
2
3 9 3
r 1 3 = E J - E J = E J ( 1 6 . 4 2 )
1 0 3 2 1 6 0
9 1 3 2 5
r 2 3 = - E J - E J E J = - E J
( 1 6 . 4 3 )
3 2 3 3 2 4 8
" z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j
3 1 9 9 3 E J E J 1 3 1
r 3 3 " 3 E J E J " - - E J - E J " - - " E J " - = 0
1
1 0 1 0 4 3 2 3 2 1 6 3 3 3 3 2 4
5 7 7 3
r 3 3 = E J ( 1 6 . 4 4 )
1 1 5 2 0
4 1 1 3
r 3 1 " 2 E J E J " - E J E J " = 0
1
5 5 4 2 1 6
3
r 3 1 = E J ( 1 6 . 4 5 )
1 6 0
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 1 9
3 1 2 1 3 1
r 3 2 " 1 E J E J " E J E J " E J " - = 0
1
2 1 6 3 3 3 8 4
2 5
r 3 2 = - E J ( 1 6 . 4 6 )
4 8
W d a l s z e j k o l e j n o [c i w y z n a c z a m y s k Ba d n i k i w e k t o r a w y r a z w w o l n y c h , z a l e |n e o d o b c i |e n i a z e w n t r z n e g o ,
w n a s z y m p r z y p a d k u o d s i By s k u p i o n e j P .
4
r 1 P r 2 P
r 3 P
P
1
2
0
3
R y s . 1 6 . 3 1 . S t a n P
W p r o s t z w y k r e s u ( r y s . 1 6 . 3 1 ) o d c z y t u j e m y :
r 1 P = 0
( 1 6 . 4 7 )
r 2 P = 0
( 1 6 . 4 8 )
N a s t p n i e z Ba Dc u c h a k i n e m a t y c z n e g o w y z n a c z a m y w i e l k o [ p r z e m i e s z c z e n i a p o k i e r u n k u d z i a Ba n i a s i By P :
0 1 0 1 "4 = P P = - 1
Z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j w y z n a c z a m y w a r t o [ w s p Bc z y n n i k a r :
3 P
r 3 P "
1 P "P = 0
r 3 P = P
( 1 6 . 4 9 )
P o w y z n a c z e n i u w s p Bc z y n n i k w r i r , w s t a w i a m y j e d o u k Ba d u r w n a D k a n o n i c z n y c h i w y z n a c z a m y
i k i P
w a r t o [c i r z e c z y w i s t y c h p r z e m i e s z c z e D:
9 3
"E J "z 1 1 "E J "z 2 "E J "z 3 0 = 0
5 2 1 6 0
1
"E J "z 1 4 9 "E J "z 2 - 2 5 "E J "z 3 0 = 0 ( 1 6 . 5 0 )
2 2 4 4 8
3 5 7 7 3
{
"E J "z 1 - 2 5 "E J "z 2 "E J "z 3 P = 0
1 6 0 4 8 1 1 5 2 0
Z a k Ba d a j c , |e r a m a w y k o n a n a j e s t z e s t a l o w y c h k s z t a Bt o w n i k w I 2 2 0 , k t r y c h s z t y w n o [ w y n o s i
E J = 6 4 2 6 k N m 2 , n a t o m i a s t d z i a Ba j c a s i Ba s k u p i o n a P = 5 0 k N , m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [c i s z u k a n y c h
p r z e m i e s z c z e D.
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 0
1 1 5 6 6 , 8 "z 1 3 2 1 3 "z 2 1 2 0 , 4 8 7 5 "z 3 = 0
3 2 1 3 "z 1 1 3 1 1 9 , 7 5 "z 2 - 3 3 4 6 , 8 7 5 "z 3 = 0
( 1 6 . 5 1 )
{
1 2 0 , 4 8 7 5 "z 1 - 3 3 4 6 , 8 7 5 "z 2 3 2 2 0 , 2 5 "z 3 = - 5 0
P o r o z w i z a n i u p o w y |s z e g o u k Ba d u r w n a D o t r z y m u j e m y :
z 1 = 0 , 0 0 1 9 0 9 [ r a d ]
z 2 = - 0 , 0 0 6 0 5 1 [ r a d ]
( 1 6 . 5 2 )
{
z 3 = - 0 , 0 2 1 8 8 7 [ m ]
Z n a j c w a r t o [c i p r z e m i e s z c z e D w z B w , w y k o r z y s t u j c w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e , m o |e m y w y z n a c z y
r z e c z y w i s t e w a r t o [c i p r z y w z Bo w y c h m o m e n t w z g i n a j c y c h .
2
M = E J " 2 "0 0 , 0 0 1 9 0 9 - 3 " - - 0 , 0 2 1 8 8 7 = - 3 7 , 2 9 k N m
0 1
[ ]
5 4
2
M = E J " 0 2 "0 , 0 0 1 9 0 9 - 3 " - - 0 , 0 2 1 8 8 7 = - 3 2 , 3 8 k N m
1 0
[ ]
5 4
2 3
M = E J " 2 "0 , 0 0 1 9 0 9 - 0 , 0 0 6 0 5 1 - 3 " - 0 , 0 2 1 8 8 7 = 3 2 , 3 8 k N m
1 2
[ ]
4 1 6
2 3
M = E J " 0 , 0 0 1 9 0 9 2 "- 0 , 0 0 6 0 5 1 - 3 " - 0 , 0 2 1 8 8 7 = 6 , 8 1 k N m
2 1
[ ]
4 1 6
3 E J
M = " - 0 , 0 0 6 0 5 1 - - - 0 , 0 2 1 8 8 7 = - 2 7 , 7 7 k N m
2 3
[ ]
4 2 4
M = 0
3 2
2 E J
M = " 2 "- 0 , 0 0 6 0 5 1 0 - 3 "- 0 , 0 2 1 8 8 7 = 2 0 , 9 6 k N m
2 4
[ ]
3 2 3
2 E J
M = " - 0 , 0 0 6 0 5 1 2 "0 - 3 "- 0 , 0 2 1 8 8 7 = 3 3 , 9 2 k N m
4 2
[ ]
3 2 3
J a k o , |e r o z w i z u j c r a m s k o r z y s t a l i [m y z u p r o s z c z e n i a , r o z w i z a l i [m y p o Bo w r a m y , c a Bk o w i t y
w y k r e s m o m e n t w b d z i e a n t y s y m e t r y c z n y w z g l d e m o s i s y m e t r i i u k Ba d u ( r y s . 1 6 . 3 2 ) .
6 7 , 8 4
3 2 , 3 8
4 1 , 9 2
6 , 8 1
5 5 , 5 4
3 2 , 3 8
[ k N m ]
3 7 , 2 9
3 7 , 2 9
R y s . 1 6 . 3 2 . W y k r e s m o m e n t w z g i n a j c y c h w u k Ba d z i e n i e w y z n a c z a l n y m
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 1
Z a d a n i e 5
D l a b e l e k o z a d a n e j g e o m e t r i i i o b c i |e n i u ( r y s . 1 6 . 3 3 a ) i b ) ) w y z n a c z y l i n i e w p By w u k t a o b r o t u p r z e k r o j u
p r z y p o d p o r z e [r o d k o w e j .
M
a )
E J = c o n s t .
x
4
4
[ m ]
b )
P
E J = c o n s t .
x
4
4
[ m ]
R y s . 1 6 . 3 3 . B e l k i o b c i |o n e p o r u s z a j c y m i s i a ) m o m e n t e m , b ) s i B
a ) W y z n a c z y m y l i n i w p By w u k t a o b r o t u p r z y p o d p o r z e 1 o d p o r u s z a j c e g o s i m o m e n t u s k u p i o n e g o .
P r z y j m u j e m y u k Ba d p o d s t a w o w y :
z 1
M
0 1 2
x
4 4
[ m ]
R y s . 1 6 . 3 4 . U k Ba d p o d s t a w o w y
o r a z w a r u n k i z a p e w n i a j c e z g o d n o [ s t a t y c z n z u k Ba d e m p o c z t k o w y m . P o n i e w a | b e l k a t a j e s t j e d n o k r o t n i e
k i n e m a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a ( S K N = 1 ) , b d z i e t o t y l k o j e d n o r w n a n i e :
r 1 = r 1 1 "z 1 x r 1 P x = 0
( 1 6 . 5 3 )
D o w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k a r p o t r z e b n y n a m b d z i e w y k r e s m o m e n t w w s t a n i e z = 1 :
1 1 1
3
E J
4
r 1 1
0 2
1
3
E J
4
R y s . 1 6 . 3 5 . S t a n z = 1
1
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 2
Z a p i s u j c r w n a n i e r w n o w a g i m o m e n t w w w zl e 1 o t r z y m a m y w a r t o [ r :
1 1
3 3 3
r 1 1 = E J E J = E J ( 1 6 . 5 4 )
4 4 2
D o w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k a r ( x ) p o t r z e b n y n a m b d z i e w y k r e s m o m e n t w o d o b c i |e n i a z e w n t r z n e g o .
1 P
P o n i e w a | t u t a j o b c i |e n i e m z e w n t r z n y m j e s t p o r u s z a j c y s i m o m e n t , s t a n P r o z d z i e l i m y n a d w a p r z y p a d k i :
" x "0 , 4 - m o m e n t M p o r u s z a s i p o p r z [l e 0 - 1 :
r 1 P ( x )
M
2
0 1
x
4 4
[ m ]
R y s . 1 6 . 3 6 . S t a n P ( x "0 , 4 )
A b y z n a l e z w y k r e s m o m e n t w n a p r z [l e 0 - 1 w y k o r z y s t a m y m e t o d s i B. Z a n i e w i a d o m X p r z y j m i e m y
1
p i o n o w r e a k c j w p o d p o r z e 0 .
r 1 P ( x )
M
1
0
X 1 ( x )
x
4
[ m ]
Z a u w a |m y , |e r e a k c j a r ( x ) j e s t w t y m p r z y p a d k u m o m e n t e m w u t w i e r d z e n i u w w zl e 1 , z a t e m w y z n a c z y m y
1 P
j z a p i s u j c r w n a n i e s u m y m o m e n t w w z g l d e m w z Ba 1 :
M : r 1 P x = - M - X x "4 ( 1 6 . 5 5 )
"
1 1
N i e w i a d o m X ( x ) w y z n a c z y m y z r w n a n i a :
1
1 1 "X x 1 P x = 0
( 1 6 . 5 6 )
1
D o o b l i c z e n i a w s p Bc z y n n i k w i ( x ) p o s Bu | n a m w y k r e s y w p o s z c z e g l n y c h s t a n a c h :
1 1 1 P
x
M
M 1 M P ( x )
M
x
( x )
X
4 - x
x
1
4
R y s . 1 6 . 3 7 . S t a n X = 1
1 R y s . 1 6 . 3 8 . S t a n P
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 3
K o r z y s t a j c z t w i e r d z e n i a W e r e s z c z a g i n a - M o h r a m o |e m y n a p i s a :
M M
1 1 "4 "4 "2 "4 = 6 4 " 1
1 1
1 1 = d x = " ( 1 6 . 5 7 )
+"
E J E J 2 3 3 E J
M M x
1 1 "x " 1 "4 " 1 1 "4 1 "x =
1 P
1 P x = d x = " 4 - x "M 4 - x "M = " 4 - x "M "
+"
[ ]
[ ]
E J E J 2 2 E J 2 2
( 1 6 . 5 8 )
2
1
= "M " 8 - x
E J 2
a n a s t p n i e o b l i c z y n i e w i a d o m X ( x ) :
1
1 x 2 - 8
"M "
1 P E J 2
3
( 1 6 . 5 9 )
X x = - = = "M "x 2 - 1 6
1
1 1 6 4 " 1 1 2 8
3 E J
P o d s t a w i a j c w a r t o [ n a d l i c z b o w e j r e a k c j i X ( x ) d o r w n a n i a ( 1 6 . 5 5 ) m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [ r ( x ) :
1 1 P
3 M 3
- M
r 1 P x = - 4 " "M " x 2 - 1 6 = " 1 - "x 2 ( 1 6 . 6 0 )
1 2 8 2 1 6
O t r z y m a n e w s p Bc z y n n i k i ( 1 6 . 5 4 i 1 6 . 6 0 ) p o d s t a w i a m y d o r w n a n i a k a n o n i c z n e g o ( 1 6 . 5 3 ) i w y z n a c z y m y
l i n i w p By w u k t a o b r o t u p r z y p o d p o r z e 1 o d m o m e n t u z g i n a j c e g o z n a j d u j c e g o s i n a p r z [l e 0 - 1 .
M 3
" 1 - "x 2
r 1 P x 2 1 6
( 1 6 . 6 1 )
z 1 x = - = -
r 1 1 3
E J
2
p o u p r o s z c z e n i u :
M 3 M
l w 0 - 1 M = z 1 x = " "x 2 - 1 = " 3 "x 2 - 1 6
( 1 6 . 6 2 )
3 "E J 1 6 4 8 "E J
" x "4 , 8 - m o m e n t M p o r u s z a s i p o p r z [l e 1 - 2 :
r 1 P ( x )
M
0 2
1
x
4 4
[ m ]
R y s . 1 6 . 4 0 . S t a n P ( x "4 , 8 )
P o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o , d o d a l s z y c h o b l i c z e D w y k o r z y s t a m y m e t o d s i B i t w i e r d z e n i e W e r e s z c z a g i n a - M o h r a ,
z t r |n i c , |e t e r a z u t w i e r d z e n i e j e s t n a l e w y m k o Dc u p r t a , a p r z e g u b n a p r a w y m :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 4
r 1 P ( x )
M
2
1
X ( x )
1
x
4
[ m ]
R e a k c j a r ( x ) j e s t m o m e n t e m w u t w i e r d z e n i u w w zl e 1 , z a t e m w y z n a c z y m y j z a p i s u j c r w n a n i e s u m y
1 P
m o m e n t w w z g l d e m w z Ba 1 :
M : r 1 P x = - M X x "4 ( 1 6 . 6 3 )
"
1 1
N i e w i a d o m X ( x ) w y z n a c z y m y z r w n a n i a ( 1 6 . 5 6 ) . D o o b l i c z e n i a w s p Bc z y n n i k w i ( x ) p o s Bu | n a m
1 1 1 1 P
w y k r e s y w p o s z c z e g l n y c h s t a n a c h :
a ) x 4 - x b )
M
M
M 1
M P ( x )
( x )
X
1
x
4 - x
4
R y s . 1 6 . 4 1 . S t a n a ) X = 1 , b ) P
1
K o r z y s t a j c z t w i e r d z e n i a W e r e s z c z a g i n a - M o h r a m o |e m y o b l i c z y w s p Bc z y n n i k i
M M
1 1 "4 "4 "2 "4 = 6 4 " 1
1 1
1 1 = d x = " ( 1 6 . 6 4 )
+"
E J E J 2 3 3 E J
M M x
1 1 "4 1 " = 1
1 P
1 P x = d x = " - x "M " 4 - x "M "x 2 - 8 x
( 1 6 . 6 5 )
+"
[ ]
E J E J 2 2 E J 2
a n a s t p n i e w y z n a c z y n i e w i a d o m X ( x ) :
1
1
"M "x 2 - 8 x
1 P x
E J 2 3
X x = - = - = "M " 8 x - x 2 ( 1 6 . 6 6 )
1
1 1 6 4 " 1 1 2 8
3 E J
P o d s t a w i a j c w a r t o [ n a d l i c z b o w e j r e a k c j i X ( x ) d o r w n a n i a ( 1 6 . 6 3 ) m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [ r ( x ) :
1 1 P
3 3 "x - 3
r 1 P x = "M "8 x - x 2 - M = M " "x 2 - 1 ( 1 6 . 6 7 )
3 2 4 3 2
Z n a j c w s p Bc z y n n i k i r w n a n i a k a n o n i c z n e g o ( 1 6 . 5 3 ) w y z n a c z a m y l i n i w p By w u k t a o b r o t u p r z y p o d p o r z e 1
o d m o m e n t u z g i n a j c e g o z n a j d u j c e g o s i n a p r z [l e 1 - 2 .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 5
3 "x - 3
M " "x 2 - 1
r 1 P x 4 3 2
( 1 6 . 6 8 )
z 1 x = - = -
r 1 1 3
E J
2
i d a l e j
2 "M 3 3 "x 1 M
l w 1 - 2 M = z 1 x = " "x 2 - = " 3 "x 2 - 2 4 "x 3 2 ( 1 6 . 6 9 )
3 "E J 3 2 4 4 8 "E J
N a p o d s t a w i e r w n a D ( 1 6 . 6 2 ) i ( 1 6 . 6 9 ) m o |e m y n a r y s o w a l i n i w p By w u k t a o b r o t u p r z e k r o j u p r z y p o d p o r z e
[r o d k o w e j . Z a u w a |m y , |e z e w z g l d u n a a n t y s y m e t r i o b c i |e n i a ( m o m e n t M d z i a Ba n a o b u p r z s Ba c h z
r |n y m i z n a k a m i ) i a n t y s y m e t r i w y n i k u ( k t ) , w e f e k c i e o t r z y m u j e m y w y n i k s y m e t r y c z n y , w i d o c z n y n a
w y k r e s i e .
- 1 6 - 1 3 - 1 3 - 1 6
- 4 - 4
1 1
1 1
3 2
M
m n o |n i k
4 8 E J
R y s . 1 6 . 4 2 . L i n i a w p By w u L W ( M )
1
b ) T e n p r z y k Ba d r |n i s i o d p o p r z e d n i e g o j e d y n i e r o d z a j e m o b c i |e n i a , a j a k w i e m y u k Ba d p o d s t a w o w y i
m a c i e r z s z t y w n o [c i n i e z a l e | o d o b c i |e n i a , d l a t e g o t u t a j p o s Bu |y m y s i t y m s a m y m u k Ba d e m p o d s t a w o w y m i
m a c i e r z s z t y w n o [c i . R |n y b d z i e j e d y n i e s t a n P i j e m u p r z y j r z y m y s i d o k Ba d n i e j .
P o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o p o d z i e l i m y b e l k n a d w i e c z [c i i r o z p a t r z y m y j e o s o b n o :
" x "0 , 4 - s i Ba p o r u s z a s i p o p r z [l e 0 - 1 :
r 1 P ( x )
P
2
0 1
x
4 4
[ m ]
R y s . 1 6 . 4 3 . S t a n P ( x "0 , 4 )
A b y z n a l e z w y k r e s m o m e n t w n a p r z [l e 0 - 1 w y k o r z y s t a m y m e t o d s i B. Z a n i e w i a d o m X ( x ) p r z y j m i e m y
1
p i o n o w r e a k c j w p o d p o r z e 0 .
r 1 P ( x )
P
1
0
( x )
X 1
x
4
[ m ]
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 6
R e a k c j a r ( x ) j e s t w t y m p r z y p a d k u r w n i e | m o m e n t e m w u t w i e r d z e n i u w w zl e 1 , z a t e m w y z n a c z y m y j
1 P
z a p i s u j c r w n a n i e s u m y m o m e n t w w z g l d e m w z Ba 1 :
M : r 1 P x = P "4 - x - X x "4 ( 1 6 . 7 0 )
"
1 1
N i e w i a d o m X ( x ) w y z n a c z y m y z r w n a n i a k a n o n i c z n e g o ( 1 6 . 5 6 ) . D o o b l i c z e n i a w s p Bc z y n n i k w i ( x )
1 1 1 1 P
p o s Bu | n a m w y k r e s y w p o s z c z e g l n y c h s t a n a c h :
x
P ( 4 - x )
P
M 1
M P ( x )
x
( x )
X
x 4 - x
1
4
R y s . 1 6 . 4 4 . S t a n X = 1
1
R y s . 1 6 . 4 5 . S t a n P
K o r z y s t a j c z t w i e r d z e n i a W e r e s z c z a g i n a - M o h r a m o |e m y n a p i s a :
M M
1 1 "4 "4 "2 "4 = 6 4 " 1
1 1
1 1 = d x = " ( 1 6 . 7 1 )
+"
E J E J 2 3 3 E J
M M x
1 2 "4 1 "x = P x 3 2 4 "x - 6 4
1 P
1 P x = d x = " - 1 "4 - x "P "4 - x " " - ( 1 6 . 7 2 )
+"
[ ]
[ ]
E J E J 2 3 3 3 "E J 2
a n a s t p n i e o b l i c z y n i e w i a d o m X ( x ) z r w n a n i a ( 1 6 . 5 6 ) .
1
P x 3 2 4 "x - 6 4
" -
[ ]
1 P x 3 "E J 2
P x 3
( 1 6 . 7 3 )
X x = - = - = " - 2 4 "x 6 4
1
[ ]
1 1 6 4 " 1 6 4 2
3 E J
Z n a j c w a r t o [ n a d l i c z b o w e j r e a k c j i X ( x ) m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [ r ( x ) z r w n a n i a ( 1 6 . 7 0 ) :
1 1 P
P x 3 1 x 3
r 1 P x = P "4 - x - 4 " " - 2 4 "x 6 4 = P 4 - x - " - 2 4 "x 6 4 ( 1 6 . 7 4 )
[ ]
[ ]
6 4 2 1 6 2
L i n i w p By w u k t a o b r o t u p r z y p o d p o r z e 1 o d s i By s k u p i o n e j z n a j d u j c e j s i n a p r z [l e 0 - 1 w y z n a c z a m y z
w z o r u ( 1 6 . 5 3 ) .
1 x 3
P 4 - x - " - 2 4 "x 6 4
[ ]
1 6 2
r 1 P x
( 1 6 . 7 5 )
z 1 x = - = -
r 1 1 3
E J
2
P 1 P
l w 0 - 1 P = z 1 x = " "x 3 - x = " x 3 - 1 6 "x ( 1 6 . 7 6 )
3 "E J 1 6 4 8 "E J
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 7
" x "4 , 8 - s i Ba p o r u s z a s i p o p r z [l e 1 - 2 :
r 1 P ( x )
P
2
0 1
x
4
4
[ m ]
R y s . 1 6 . 4 6 . S t a n P ( x "4 , 8 )
P o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o , d o d a l s z y c h o b l i c z e D w y k o r z y s t a m y m e t o d s i B i t w i e r d z e n i e W e r e s z c z a g i n a - M o h r a ,
z t r |n i c , |e t e r a z u t w i e r d z e n i e j e s t n a l e w y m k o Dc u p r t a , a p r z e g u b n a p r a w y m :
r 1 P ( x )
P
2
1
( x )
X
1
x
4
[ m ]
R e a k c j a r ( x ) j e s t w t y m p r z y p a d k u m o m e n t e m w u t w i e r d z e n i u w w zl e 1 , z a t e m w y z n a c z y m y j z a p i s u j c
1 P
r w n a n i e s u m y m o m e n t w w z g l d e m w z Ba 1 :
M : r 1 P x = - P "x X x "4 ( 1 6 . 7 7 )
"
1 1
N i e w i a d o m X ( x ) w y z n a c z y m y z r w n a n i a ( 1 6 . 5 6 ) , k t r e g o w s p Bc z y n n i k i i ( x ) o b l i c z y m y n a
1 1 1 1 P
p o d s t a w i e w y k r e s w m o m e n t w w p o s z c z e g l n y c h s t a n a c h :
x 4 - x
P
P x
M 1
M P ( x )
x
4 - x
4 ( x )
X
1
R y s . 1 6 . 4 7 . S t a n X = 1 R y s . 1 6 . 4 8 . S t a n P
1
K o r z y s t a j c z t w i e r d z e n i a W e r e s z c z a g i n a - M o h r a m o |e m y n a p i s a :
M M
1 1 "4 "4 "2 "4 = 6 4 " 1
1 1
1 1 = d x = " ( 1 6 . 7 8 )
+"
E J E J 2 3 3 E J
M M x
1 2 "4 1 " = P x 3 - 6 x 2
1 P
1 P x = d x = " - 1 "x "P "x " 4 - x " ( 1 6 . 7 9 )
+"
[ ]
[ ]
E J E J 2 3 3 3 "E J 2
a n a s t p n i e o b l i c z y n i e w i a d o m X ( x ) z r w n a n i a k a n o n i c z n e g o ( 1 6 . 5 6 ) .
1
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 8
P x 3 - 6 "x 2
"
[ ]
1 P x 3 "E J 2
P x 3
( 1 6 . 8 0 )
X x = - = - = " 6 x 2 -
1
[ ]
1 1 6 4 " 1 6 4 2
3 E J
Z n a j c w a r t o [ n a d l i c z b o w e j r e a k c j i X ( x ) m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [ r ( x ) z r w n a n i a ( 1 6 . 7 7 ) :
1 1 P
P x 3 3 "x x 3
2
r 1 P x = - P "x 4 " " 6 x 2 - = P " - - x ( 1 6 . 8 1 )
[ ] [ ]
6 4 2 8 3 2
L i n i w p By w u k t a o b r o t u p r z y p o d p o r z e 1 o d s i By s k u p i o n e j z n a j d u j c e j s i n a p r z [l e 1 - 2 w y z n a c z a m y z
w z o r u ( 1 6 . 5 3 ) .
3 "x x 3
2
P " - - x
[ ]
r 1 P x 8 3 2
( 1 6 . 8 2 )
z 1 x = - = -
r 1 1 3
E J
2
I d a l e j
2 "P x 3 3 "x P
2
l w 1 - 2 P = z 1 x = " - x = "[ x 3 - 1 2 "x 2 3 2 "x ] ( 1 6 . 8 3 )
[ ]
3 "E J 3 2 8 4 8 "E J
N a p o d s t a w i e r w n a D ( 1 6 . 7 6 ) i ( 1 6 . 8 3 ) m o |e m y n a r y s o w a l i n i w p By w u k t a o b r o t u p r z e k r o j u p r z y p o d p o r z e
[r o d k o w e j . T y m r a z e m , z e w z g l d u n a s y m e t r y c z n e o b c i |e n i e i a n t y s y m e t r y c z n y w y n i k ( k t ) , o t r z y m a m y
o s t a t e c z n i e w y k r e s a n t y s y m e t r y c z n y .
- 8 P
- 7
- 5 m n o |n i k
1 6 E J
5
7
8
R y s . 1 6 . 4 9 . L i n i a w p By w u L W ( P )
1
Z a d a n i e 6
W y z n a c z y w a r t o [c i m o m e n t w p r z y w z Bo w y c h M i M d l a b e l k i s p r |y [c i e p o d p a r t e j w y w o Ba n y c h o b r o t e m
i k k i
p o d p o r y w w zl e i ( r y s . 1 6 . 5 0 ) .
i
i k
E J
1 2
l
R y s . 1 6 . 5 0 . B e l k a s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a s p r |y [c i e p o d p a r t a
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 2 9
Z a d a n i e r o z w i |e m y k o r z y s t a j c z z a s a d y s u p e r p o z y c j i .
M = M ' M ' ' i ' , k ' ( 1 6 . 8 4 )
i k i k i k
M = M ' M ' ' i ' , k ' ( 1 6 . 8 5 )
k i k i k i
M o m e n t y M ' i M ' w y z n a c z o n e s d l a b e l k i o p o d p o r a c h n i e p o d a t n y c h i w y n o s z :
i k k i
E J
M ' = "i ( 1 6 . 8 6 )
i k
l
E J
M ' = " - i ( 1 6 . 8 7 )
k i
l
W y z n a c z a j c w a r t o [c i d o d a t k o w y c h m o m e n t w s p o w o d o w a n y c h o b e c n o [c i p o d p r s p r |y s t y c h , n a l e |y
u w z g l d n i k t y o b r o t u ' i ' p o d p r p o d a t n y c h
i k
E J
M ' ' = " i ' - k '
( 1 6 . 8 8 )
i k
l
E J
M ' ' = " - i ' k ' ( 1 6 . 8 9 )
k i
l
i
k t r e s z a l e |n e o d w a r t o [c i m o m e n t w w z Bo w y c h i s z t y w n o [c i p o d p r :
M
i k
i ' = -
( 1 6 . 9 0 )
1
M
k i
k ' = -
( 1 6 . 9 1 )
2
P o z s u m o w a n i u ( 1 6 . 8 6 ) i ( 1 6 . 8 8 ) o r a z ( 1 6 . 8 7 ) i ( 1 6 . 8 9 ) , z g o d n i e z z a s a d s u p e r p o z y c j i , o t r z y m a m y :
E J E J
M = "i " i ' - k ' ( 1 6 . 9 2 )
i k
l l
E J E J
M = " - i " - i ' k ' ( 1 6 . 9 3 )
k i
l l
{e b y w y z n a c z y z a l e |n o [ p o m i d z y M i M d o d a j e m y d o s i e b i e r w n a n i a ( 1 6 . 9 2 ) i ( 1 6 . 9 3 )
i k k i
E J E J E J
M M = "i " i ' - k ' " " ' k ' = 0
- i E J
- i
i k k i
l l l l
M = - M ( 1 6 . 9 4 )
i k k i
P o w r m y t e r a z d o z a l e |n o [c i n a M ( 1 6 . 9 2 ) , g d z i e z a ' i ' w s t a w i a m y ( 1 6 . 9 0 ) i ( 1 6 . 9 1 )
i k i k
M M
E J E J
i k k i
M = "i " -
( 1 6 . 9 5 )
i k
l l 1 2
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 0
N a s t p n i e d o k o n u j e m y p o d s t a w i e n i a
1 l
K 1 ' =
E J
2 l
K ' =
2
E J
k t r e p r o w a d z i d o n a s t p u j c e j p o s t a c i w z o r u n a M
i k
M M
E J
i k k i
M = "i -
i k
l K 1 K
2
P o p r z e k s z t a Bc e n i a c h o r a z p o d s t a w i e n i u z a l e |n o [c i ( 1 6 . 9 4 )
M M
E J
i k k i
M - = "i
i k
K 1 K l
2
1 1 E J
M 1 = "i
i k
K 1 K l
2
K 1 K 2 K 1 K
E J
2
M = "i
i k
K 1 K l
2
o t r z y m u j e m y o g l n y w z r
K 1 K
E J
2
M = i
( 1 6 . 9 6 )
i k
l K 1 K K 1 K
2 2
N a p o d s t a w i e ( 1 6 . 9 4 ) m o |e m y z a p i s a
K 1 K
E J
2
M = - M = - i
( 1 6 . 9 7 )
k i i k
l K 1 K K 1 K
2 2
J e |e l i p r z y j m i e m y z a Bo |e n i a , |e
i = 1
K 1 = K = K
2
d o s t a j e m y s z c z e g l n e , p r o s t s z e p o s t a c i e w z o r w ( 1 6 . 9 6 ) i ( 1 6 . 9 7 )
E J K
M =
i k
l K 2
E J K
M = -
k i
l K 2
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 1
Z a d a n i e 7
W y z n a c z y w a r t o [ s i By k r y t y c z n e j P = P o r a z w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a b e l k i o b c i |o n e j s i Ba m i
k r
[c i s k a j c y m i ( r y s . 1 6 . 5 1 ) .
i k
E J
P P
l
R y s . 1 6 . 5 1 . B e l k a s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a
D l a w y z n a c z e n i a s i By k r y t y c z n e j z a p i s z m y n a j p i e r w w a r u n k i b r z e g o w e o b e j m u j c e p r z e m i e s z c z e n i a i s i By
( w a r u n k i k i n e m a t y c z n e i s t a t y c z n e ) .
w x = 0 = 0
w x = l = 0
( 1 6 . 9 8 )
x = 0 = i '
M x = l = 0
W a r u n k i t e s z e r o w e p o z a w a r u n k i e m n a k t o b r o t u p o d p o r y i ( ' ) , j e s t r |n y o d z e r a z u w a g i n a p o d a t n o [c i
i
p o d p o r y
M
i k
i ' = - ( 1 6 . 9 9 )
P r z y p o m n i j m y p o s t a c i e z n a n y c h j u | r w n a D ( 9 . 5 ) , ( 9 . 6 ) i ( 9 . 7 ) , s p e Bn i a j c y c h r w n a n i e r |n i c z k o w e
w x = C 0 C 1 "x C 2 "s i n x C 3 "c o s x
( 1 6 . 1 0 0 )
d w x
x = = C 1 "C 2 "c o s x - "C 3 "s i n x ( 1 6 . 1 0 1 )
d x
2
d w
M x = - E J = E J 2 "C 2 "s i n x 2 "C 3 "c o s x ( 1 6 . 1 0 2 )
[ ]
d x 2
N a p o d s t a w i e z a l e |n o [c i ( 1 6 . 1 0 2 ) m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [ p r z y w z Bo w e g o m o m e n t u M ,
i k
M = M x = 0 = E J 2 "C 2 "s i n 0 2 "C 3 "c o s 0
[ ]
i k
M = M x = 0 = E J 2 "C 3
i k
k t r n a s t p n i e p o d s t a w i a m y d o ( 1 6 . 9 9 )
E J 2 "C 3
( 1 6 . 1 0 3 )
i ' = -
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 2
T e r a z m o |e m y u t w o r z y u k Ba d r w n a D o p i s u j c y w a r u n k i b r z e g o w e
C 0 C 1 "0 C 2 "s i n 0 C 3 "c o s 0 = 0 ! C 0 C 3 = 0
C 0 C 1 "l C 2 "s i n l C 3 "c o s l = 0
E J 2 "C 3
E J 2
C 1 "C 2 "c o s 0 - "C 3 "s i n 0 = - ! C 1 "C 2 "C 3 = 0
{
E J 2 "C 2 "s i n l 2 "C 3 "c o s l = 0
[ ]
Z a u w a |m y , |e j e s t t o u k Ba d r w n a D j e d n o r o d n y c h . Z a t e m n i e t r y w i a l n e r o z w i z a n i e w y s t p u j e j e d y n i e , g d y
w y z n a c z n i k t e g o u k Ba d u j e s t r w n y z e r u . Z a n i m j e d n a k z a p i s z e m y t e n w y z n a c z n i k , d l a u p r o s z e n i a o b l i c z e D
z m n i e j s z y m y l i c z b n i e w i a d o m y c h d o d w c h . Z p i e r w s z e g o r w n a n i a o t r z y m u j e m y z a l e |n o [:
C 0 = - C 3
i w p r o w a d z a m y j d o p o z o s t a By c h t r z e c h r w n a D
- C 3 C 1 "l C 2 "s i n l C 3 "c o s l = 0
E J 2 "C 3
C 1 "C 2 = 0
{
C 2 "s i n l C 3 "c o s l = 0
P r z e k s z t a Bc a j c o s t a t n i e r w n a n i a o t r z y m u j e m y
C 3 = - C 2 "t g l
c o p o p o d s t a w i e n i u d o p o z o s t a By c h d w c h r w n a D
C 2 "t g l C 1 "l C 2 "s i n l - C 2 "t g l "c o s l = 0
E J 2
C 1 "C 2 - C 2 "t g l = 0
{
d o p r o w a d z i Bo d o u k Ba d u
C 1 "l C 2 "s i n l - s i n l t g l = 0
E J 2
C 1 C 2 - t g l = 0
{
R o z w i z a n i e u z y s k a m y p o p r z y r w n a n i u w y z n a c z n i k a d o z e r a
l t g l
d e t #"W #"= d e t
E J 2 = 0
1 - t g l
#" #"
P o r o z w i n i c i u d o s t a l i [m y r w n a n i e , w k t r y m j e d y n n i e w i a d o m j e s t
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 3
E J 2
- t g l l - t g l = 0 ( 1 6 . 1 0 4 )
J a k p a m i t a m y , w z r o p i s u j c y w s p Bc z y n n i k m a p o s t a
N
=
E J
N a j e g o p o d s t a w i e m o |e m y w y z n a c z y s i B k r y t y c z n :
( 1 6 . 1 0 5 )
P k r = N = 2 E J
W a r t o [ n a l e |a Bo b y w y z n a c z y z r w n a n i a ( 1 6 . 1 0 4 ) . N i e s t e t y u z y s k a n i e a n a l i t y c z n e j p o s t a c i r o z w i z a n i a
t e g o r w n a n i a j e s t n i e m o |l i w e , p o n i e w a | r w n a n i e t o j e s t p r z e s t p n e . P r z y b l i |o n e r o z w i z a n i e o t r z y m a m y
s t o s u j c m e t o d y n u m e r y c z n e .
P r z e j d zm y t e r a z d o w y z n a c z e n i a w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h d l a t e j b e l k i . N a l e |y r o z w i z a u k Ba d
n i e j e d n o r o d n y c h r w n a D. Z a d a n i e p o l e g a n a z n a l e z i e n i u r e l a c j i p o m i d z y w z Bo w y m i p r z e m i e s z c z e n i a m i , a
s i Ba m i p r z y w z Bo w y m i . W y z n a c z a s i j e z w a r u n k w b r z e g o w y c h . W t y m p r z y p a d k u t r z y z c z t e r e c h
w a r u n k w s n i e z e r o w e :
w x = 0 = v i
w x = l = v k
( 1 6 . 1 0 6 )
x = 0 = i i '
M x = l = 0
A n a l o g i c z n i e d o p o p r z e d n i e g o p r z y p a d k u w w a r u n k u n a k t o b r o t u p o d p o r y i n a l e |y u w z g l d n i j e s z c z e
d o d a t k o w y o b r t p o d p o r y ' , k t r y w y n i k a z j e j p o d a t n e g o z a m o c o w a n i a .
i
M
i k
i ' = -
T a k j a k p o p r z e d n i o w y z n a c z y l i [m y w a r t o [ M i '
i k i
M = M x = 0 = E J 2 "C 3
i k
E J 2 "C 3
i ' = -
T w o r z y m y u k Ba d r w n a D,
C 0 C 1 "0 C 2 "s i n 0 C 3 "c o s 0 = v i
C 0 C 1 "l C 2 "s i n l C 3 "c o s l = v k
E J 2 "C 3
( 1 6 . 1 0 7 )
C 1 "C 2 "c o s 0 - "C 3 "s i n 0 = i
{
E J 2 "C 2 "s i n l 2 "C 3 "c o s l = 0
[ ]
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 4
C 0 C 3 = v i
C 0 C 1 "l C 2 "s i n l C 3 "c o s l = v k
E J 2 "C 3
C 1 "C 2 = i -
{
C 2 "s i n l C 3 "c o s l = 0
z k t r e g o d a l e j w y z n a c z a s i w a r t o [c i s t a By c h C , C , C , C . Z n a j c t e w a r t o [c i m o |n a z n a l e z w z o r y
0 1 2 3
t r a n s f o r m a c y j n e :
M = E J 2 "C 3 ( 1 6 . 1 0 8 )
i k
M = 0
( 1 6 . 1 0 9 )
k i
T = T = - N "C 1
( 1 6 . 1 1 0 )
i k k i
Z a d a n i e 8
O b l i c z y c z s t o [ k o Bo w d r g a D w Ba s n y c h d l a r a m y z r y s . 1 6 . 5 2 :
m 1 = m
3
m = 2 m E J
2
4 4
[ m ]
R y s . 1 6 . 5 2 . Z a d a n a r a m a
M e t o d a p i e r w s z a r o z w i z a n i e z u |y c i e m w s p Bc z y n n i k w p o d a t n o [c i
i k
W z a g a d n i e n i u o b l i c z a n i a c z s t o [c i d r g a D w Ba s n y c h , u k Ba d w d y s k r e t n y c h o w i e l u s t o p n i a c h s w o b o d y ,
w k t r y m k o r z y s t a m y z e w s p Bc z y n n i k w p o d a t n o [c i , p o s Bu g u j e m y s i n a s t p u j c y m r w n a n i e m :
n
w i t = - m t ' i j ( 1 6 . 1 1 1 )
"
j j
j = 1
g d z i e :
w ( t ) t o p r z e m i e s z c z e n i e p u n k t u i ,
i
m t
i l o c z y n j e s t s i B b e z w Ba d n o [c i d z i a Ba j c p o k i e r u n k u j ,
j j
' o z n a c z a p r z e m i e s z c z e n i e p o k i e r u n k u i w y w o Ba n e j e d n o s t k o w s i B p o k i e r u n k u j .
i j
A n a l i z o w a n y u k Ba d m a j e d e n s t o p i e D s w o b o d y d y n a m i c z n e j ( i = 1 , j = 1 ) .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 5
m
2 m
w 1
w 1 t = A s i n t
R o z w i z a n i e r w n a n i a r |n i c z k o w e g o ( 1 6 . 1 1 1 ) p r z e w i d u j e m y w p o s t a c i f u n k c j i ,
k t r e j d r u g a p o c h o d n a w y n o s i : 1 t = - A 2 s i n t . Z a t e m r w n a n i e ( 1 6 . 1 1 1 ) p r z y j m i e p o s t a :
A s i n t = - [ - 2 m m A 2 s i n t ' 1 1 ( 1 6 . 1 1 2 )
]
P o p r z e k s z t a Bc e n i a c h o t r z y m u j e m y :
1
= ( 1 6 . 1 1 3 )
2 m m "' 1 1
W i d a z a t e m , |e a b y w y z n a c z y c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h p r z y z a d a n y c h m a s a c h , m u s i m y z n a l e z
p r z e m i e s z c z e n i e p o k i e r u n k u d z i a Ba n i a s i By b e z w Ba d n o [c i o d j e d n o s t k o w e g o o b c i |e n i a .
P = 1
1 1 '
W t y m c e l u r o z w i |m y r a m m e t o d s i B p r z y j m u j c u k Ba d p o d s t a w o w y j a k n a r y s . 1 6 . 5 3 .
X 2
X 3
X
1
R y s . 1 6 . 5 3 . U k Ba d p o d s t a w o w y
W a r u n k i k i n e m a t y c z n e j z g o d n o [c i u k Ba d u p o d s t a w o w e g o m e t o d y s i B z r z e c z y w i s t k o n s t r u k c j z a p e w n i u k Ba d
r w n a D k a n o n i c z n y c h :
1 1 "X 1 2 "X 1 3 "X 1 P = 0
1 2 3
2 1 "X 2 2 "X 2 3 "X 2 P = 0
( 1 6 . 1 1 4 )
1 2 3
{
3 1 "X 3 2 "X 3 3 "X 3 P = 0
1 2 3
k t r e g o w s p Bc z y n n i k i o b l i c z y m y n a p o d s t a w i e w y k r e s w j e d n o s t k o w y c h .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 6
W y k r e s m o m e n t w o d d z i a Ba n i a s i By X = 1 :
1
4
4
X
1
8
4
R y s . 1 6 . 5 4 . S t a n X = 1
1
W y k r e s m o m e n t w o d d z i a Ba n i a s i By X = 1 :
2
3
3
3
X
2
R y s . 1 6 . 5 5 . S t a n X = 1
2
W y k r e s m o m e n t w o d d z i a Ba n i a s i By X = 1 :
3
1
1
X 3
1
R y s . 1 6 . 5 6 . S t a n X = 1
3
W s p Bc z y n n i k i u k Ba d u r w n a D k a n o n i c z n y c h m e t o d y s i B s n a s t p u j c e :
1 1 "4 "4 "2 "4 4 "3 "4 4 " 1
1 1 = 2 "4 "4 2 "8 "8 2 "4 "8 = 6 5 6 "
[ ]
E J 2 3 6 3 E J
1 1 "8 1 "4 = - 9 0 " 1
1 2 = - 1 "3 "3 "4 - 4 "3 "
[ ]
E J 2 2 2 E J
1 1 "4 "4 "1 1 "3 "4 1 "4 " 1 "8 1 "4 = 4 4 " 1
1 3 =
[ ]
E J 2 2 2 E J
1 1 "3 "3 "2 "3 3 "4 "3 = 4 5 " 1
2 2 =
[ ]
E J 2 3 E J
1 1 "3 "3 "- 1 3 "4 "- 1 = - 3 3 " 1
2 3 =
[ ]
E J 2 2 E J
1 1
3 3 = [ 1 "4 "1 1 "3 "1 1 "4 "1 ] = 1 1 "
E J E J
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 7
S t a n P :
4
P = 1
R y s . 1 6 . 5 7 . S t a n P
W y r a z y w o l n e u k Ba d u r w n a D w y n o s z :
1 2 "8 1 "4 = - 1 6 0 " 1
1 P = - 1 "4 "4 "
[ ]
E J 2 3 3 3 E J
1 1 "4 "4 "3 = 2 4 " 1
2 P =
[ ]
E J 2 E J
1 1
3 P = - 1 "4 "4 "1 = - 8 "
[ ]
E J 2 E J
P o w y z n a c z e n i u w s p Bc z y n n i k w u k Ba d u r w n a D k a n o n i c z n y c h w y z n a c z a m y w a r t o [c i n a d l i c z b o w y c h r e a k c j i .
P o r o z w i z a n i u u k Ba d u r w n a D
6 5 6
"X - 9 0 "X 4 4 "X - 1 6 0 = 0
1 2 3
3 3
- 9 0 "X 4 5 "X - 3 3 "X 2 4 = 0
1 2 3
2
{
4 4 "X - 3 3 "X 1 1 "X - 8 = 0
1 2 3
2
o t r z y m a m y :
X = 0 , 5
1
X = 0 , 0
2
( 1 6 . 1 1 5 )
{
X = - 1 , 2 7 2 7 3 = 1 4
3
1 1
W y k r e s m o m e n t w z g i n a j c y c h w z a d a n e j r a m i e n i e w y z n a c z a l n e j o d o b c i |e n i a P = 1 j e s t n a s t p u j c y :
1 4
1 1
8
1 1
1 4
1 1
8
1 1
R y s . 1 6 . 5 8 . W y k r e s m o m e n t w o d o b c i |e n i a j e d n o s t k o w e g o
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 8
W c e l u w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k a ' , ( c z y l i p r z e m i e s z c z e n i a w k i e r u n k u p i o n o w y m o d s i By
1 1
j e d y n k o w e j d z i a Ba j c e j w k i e r u n k u p i o n o w y m ) , d o k o n u j e m y c a Bk o w a n i a f u n k c j i c i g By c h o b r a z u j c y c h
p r z e b i e g m o m e n t w o d s t a n u P = 1 w u k Ba d z i e s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n y m ( w y k r e s n a r y s . 1 6 . 5 7 ) i p r z e b i e g
m o m e n t w o d o b c i |e n i a P = 1 w u k Ba d z i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y m ( w y k r e s n a r y s . 1 6 . 5 8 ) . C a Bk o w a n i e
d o k o n u j e m y w y k o r z y s t u j c t w i e r d z e n i e W e r e s z c z a g i n a M o h r a .
1 2 "1 4 1 " 8 1
' = 0 , 5 "4 "4 " - = "1 6 0
1 1
[ ]
E J 3 1 1 3 1 1 E J 3 3
P o d s t a w i a j c o t r z y m a n w a r t o [ d o r w n a n i a ( 1 6 . 1 1 3 ) o t r z y m u j e m y w a r t o [ c z s t o [c i k o Bo w e j d r g a D
w Ba s n y c h :
3 3 "E J 1 1 "E J E J
( 1 6 . 1 1 6 )
= = = 0 , 2 6 2 "
1 6 0 "3 m 1 6 0 "m m
M e t o d a d r u g a r o z w i z a n i e z u |y c i e m w s p Bc z y n n i k w s z t y w n o [c i r
i k
C z s t o [c i d r g a D w Ba s n y c h m o |n a o b l i c z y t a k |e z a p o m o c w s p Bc z y n n i k w s z t y w n o [c i . R o z w i z a n i e
o b i e m a m e t o d a m i z e s t a w i o n o c e l o w o , b y p o k a z a , |e w n i e k t r y c h z a d a n i a c h c z s t o [c i d r g a D u k Ba d w
s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y c h Ba t w i e j j e s t r o z w i z a s t o s u j c w s p Bc z y n n i k i s z t y w n o [c i .
R o z w i z a n i e z a d a n i a s f o r m u Bo w a n e g o p r z e z s z t y w n o [ r o z p o c z y n a m y o d p r z y j c i a u k Ba d u p o d s t a w o w e g o
m e t o d y p r z e m i e s z c z e D:
1
0 1 E J = c o n s t a n s
2 2
3
u 3
R y s . 1 6 . 5 9 . U k Ba d p o d s t a w o w y m e t o d y p r z e m i e s z c z e D
U k Ba d r w n a D k a n o n i c z n y c h m e t o d y p r z e m i e s z c z e D j e s t n a s t p u j c y :
r 1 1 "1 r 1 2 "2 r 1 3 "u 3 R 1 P = 0
r 2 1 "1 r 2 2 "2 r 2 3 "u 3 R 2 P = 0
( 1 6 . 1 1 7 )
{
r 3 1 "1 r 3 2 "2 r 3 3 "u 3 R 3 P = 0
W c e l u w y z n a c z e n i a w s p Bc z y n n i k w r n a l e |y z n a l e z w a r t o [c i m o m e n t w w p o s z c z e g l n y c h s t a n a c h
i j
j e d n o s t k o w y c h .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 3 9
s t a n 1 , = 1
1
E J
4
E J
0 , 5 E J 3
0
2
E J
3
R y s . 1 6 . 6 0 . S t a n = 1
1
N a p o d s t a w i e w y k r e s u m o m e n t w o d s t a n u p i e r w s z e g o m o |e m y z r w n o w a g i w z B w w y z n a c z y
w s p Bc z y n n i k i r i r , k t r e w y n o s z :
1 1 2 1
r 1 1
2
E J
3
r 2 1
E J
4
E J
3
R y s . 1 6 . 6 1 . W y z n a c z e n i e w s p Bc z y n n i k w z r w n o w a g i w z B w 1 i 2
2
r 1 1 = 7 E J r 2 1 = E J
3 3
s t a n 2 , = 1
2
0
2
E J
0 , 5 E J
4
3
E J
3
E J
R y s . 1 6 . 6 2 . S t a n = 1
2
N a p o d s t a w i e w y k r e s u m o m e n t w o d s t a n u d r u g i e g o z r w n o w a g i w z B w m o |e m y w y z n a c z y
w s p Bc z y n n i k i r i r , k t r e w y n o s z :
1 2 2 2
4
r 1 2
E J
3
r 2 2
E J
2
E J
3
R y s . 1 6 . 6 3 . W y z n a c z e n i e w s p Bc z y n n i k w z r w n o w a g i w z B w 1 i 2
2
r 1 2 = E J r 2 2 = 7 E J
3 3
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 4 0
s t a n 3 , u = 1 .
3
K t y o b r o t u c i c i w p r t w w y z n a c z o n e z o s t a By z Ba Dc u c h a k i n e m a t y c z n e g o i m a j n a s t p u j c e w a r t o [c i :
0 1 = 1 1 2 = 0 2 3 = - 1
4 4
3
- E J
8
3
3
E J
- E J 8
8
3
E J
u 3 = 1
8
R y s . 1 6 . 6 4 . S t a n u = 1
3
N a p o d s t a w i e w y k r e s u m o m e n t w o d s t a n u t r z e c i e g o z r w n o w a g i w z B w m o |e m y w y z n a c z y
w s p Bc z y n n i k i r = r i r = r , k t r e w y n o s z :
1 3 3 1 2 3 3 2
3
r 1 3 r 2 3
E J
8
3
E J
8
R y s . 1 6 . 6 5 . W y z n a c z e n i e w s p Bc z y n n i k w z r w n o w a g i w z B w 1 i 2
3
r 1 3 = - 3 E J r 2 3 = E J
8 8
W s p Bc z y n n i k r w y z n a c z y m y z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j :
3 3
3
r 3 3 "1 2 " - E J "1 2 "3 E J " - 1 = 0
8 4 8 4
3
r 3 3 = E J
8
P o z o s t a By d o w y z n a c z e n i a w y r a z y w o l n e u k Ba d u r w n a D k a n o n i c z n y c h m e t o d y p r z e m i e s z c z e D.
R 1 P
- 2 m u 3
R 2 P
- m u 3
R 3 P
R y s . 1 6 . 6 6 . S t a n P
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 4 1
N a l e |y j e d n a k z a u w a |y , |e j a k m a t o m i e j s c e w n a s z y m z a d a n i u , m a s a j e s t s k u p i o n a d o k Ba d n i e w p u n k c i e .
N i e m a z a t e m s i B b e z w Ba d n o [c i o d r u c h u o b r o t o w e g o ( J = 0 ) , a c o z a t y m i d z i e :
0
R 1 P = 1 ""J = 0
0
R 2 P = 2 ""J = 0
0
N i e z e r o w a n a t o m i a s t p o z o s t a j e w a r t o [ t r z e c i e j r e a k c j i :
R 3 P = 2 m m 3
P o d s t a w m y z a t e m u z y s k a n e w s p Bc z y n n i k i d o u k Ba d u r w n a D:
7
E J "1 2 E J "2 - 3 E J "u 3 = 0
3 3 8
2
E J "1 7 E J "2 3 E J "u 3 = 0 ( 1 6 . 1 1 8 )
3 3 8
{
- 3 E J "1 3 E J "2 3 E J "u 3 3 m u 3 = 0
8 8 8
J e |e l i d o d a m y d o s i e b i e d w a p i e r w s z e r w n a n i a z p o w y |s z e g o u k Ba d u r w n a D, t o o t r z y m a m y , |e
1 = - 2
( 1 6 . 1 1 9 )
J e [l i p o d s t a w i m y t o r w n a n i e d o d r u g i e g o r w n a n i a u k Ba d u , o t r z y m a m y z a l e |n o [ m i d z y a u :
2 3
9
2 = - "u 3 ( 1 6 . 1 2 0 )
4 0
P o d s t a w i a j c ( 1 6 . 1 1 9 i 1 6 . 1 2 0 ) d o r w n a n i a t r z e c i e g o u k Ba d u o t r z y m a m y :
9 3 3
- 3 E J " "u 3 - E J "9 "u 3 E J "u 3 3 m 3 = 0 ( 1 6 . 1 2 1 )
8 4 0 8 4 0 8
u 3 = A s i n t
P r z y j m u j c , |e o r a z 3 = - A 2 s i n t o t r z y m u j e m y :
6 6
E J "A s i n t - 3 m "A "2 s i n t = 0
3 2 0
3 3
E J - m "2 A s i n t = 0
1 6 0
O d r z u c a j c r o z w i z a n i e t r y w i a l n e ( A = 0 l u b = 0 ) m a m y
3 3
E J - 3 m "2 = 0
1 6 0
1 1 "E J E J
( 1 6 . 1 2 2 )
= = 0 , 2 6 2
1 6 0 "m m
J a k w i d a t a k a s a m w a r t o [ c z s t o [c i d r g a D w Ba s n y c h u z y s k a n o m n i e j s z y m n a k Ba d e m p r a c y
w y k o r z y s t u j c w s p Bc z y n n i k i s z t y w n o [c i .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 4 2
Z a d a n i e 9
D l a b e l k i o c i g By m r o z k Ba d z i e m a s y o b l i c z y c z s t o [ k o Bo w d r g a D w Ba s n y c h o r a z w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e
M , M , T , T .
i k k i i k k i
i
k
E J
l
R y s . 1 6 . 6 7 . B e l k a o c i g By m r o z k Ba d z i e m a s y
P r z e a n a l i z u j m y n a j p i e r w d r g a n i a w Ba s n e b e l k i . W u k Ba d z i e p r z e d s t a w i o n y m n a r y s . 1 6 . 6 7 k t y o b r o t u p o d p r ,
s i Ba p o p r z e c z n a p r z y p o d p o r z e i o r a z p r z e m i e s z c z e n i e p i o n o w e p o d p o r y k p o w i n n y b y r w n e z e r o :
T x = 0 = 0
W ' ' ' x = 0 = 0
x = 0 = 0
W ' x = 0 = 0
! ( 1 6 . 1 2 3 )
W x = l = 0 W x = l = 0
{ {
x = l = 0 W ' x = l = 0
P r z y j m u j c f u n k c j r o z w i z u j c w p o s t a c i w i e l o m i a n u o b l i c z a m y p o c h o d n e p o x :
W x = A "s i n x B "c o s x C "s i n h x D "c o s h x ( 1 6 . 1 2 4 )
W ' x = "A "c o s x - "B "s i n x "C "c o s h x "D "s i n h x ( 1 6 . 1 2 5 )
M
W ' ' x = - = - 2 "A "s i n x - 2 "B "c o s x 2 "C "s i n h x 2 "D "c o s h x
( 1 6 . 1 2 6 )
E J
T
W ' ' ' x = - = - 3 "A "c o s x 3 "B "s i n x 3 "C "c o s h x 3 "D "s i n h x ( 1 6 . 1 2 7 )
E J
N a t e j p o d s t a w i e r o z p i s u j e m y w a r u n k i b r z e g o w e ( 1 6 . 1 2 3 ) , o t r z y m u j c u k Ba d r w n a D j e d n o r o d n y c h
- 3 "A "c o s 0 3 "B "s i n 0 3 "C "c o s h 0 3 "D "s i n h 0 = 0
"A "c o s 0 - "B "s i n 0 "C "c o s h 0 "D "s i n h 0 = 0
A "s i n l B "c o s l C "s i n h l D "c o s h l = 0
{
"A "c o s l - "B "s i n l "C "c o s h l "D "s i n h l = 0
- A C = 0
A C = 0
A "s i n l B "c o s l C "s i n h l D "c o s h l = 0
{
A "c o s l - B "s i n l C "c o s h l D "s i n h l = 0
Z p i e r w s z y c h d w c h r w n a D w p r o s t w y n i k a , |e
A = C = 0
R o z w i z a n i e d w c h p o z o s t a By c h r w n a D j e d n o r o d n y c h
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 4 3
B "c o s l D "c o s h l = 0
{
- B "s i n l D "s i n h l = 0
j e s t n i e z e r o w e ( n i e t r y w i a l n e ) g d y w y z n a c z n i k m a c i e r z y w s p Bc z y n n i k w j e s t r w n y z e r o :
c o s l c o s h l
#"W #"=
( 1 6 . 1 2 8 )
#" #"
- s i n l s i n h l
d e t #"W #"= 0 ( 1 6 . 1 2 9 )
1 1
c o s l s i n h l s i n l c o s h l = 0 "
#"
c o s l c o s h l
t g h l t g l = 0 ( 1 6 . 1 3 0 )
Z p o w y |s z e g o r w n a n i a ( 1 6 . 1 3 0 ) p o w i n n i [m y w y l i c z y n i e s k o Dc z e n i e w i e l e p i e r w i a s t k w ( f u n k c j e
t r y g o n o m e t r y c z n e s o k r e s o w e ) . W f u n k c j i r o z w i z u j c e j ( 1 6 . 1 2 4 ) w s p Bc z y n n i k z a l e |y o d r o z k Ba d u m a s y
4 = 2 " ( 1 6 . 1 3 1 )
E J
P o p r z e k s z t a Bc e n i u m o |e m y w y z n a c z y w a r t o [
= 2 E J ( 1 6 . 1 3 2 )
P r z e j d zm y t e r a z d o w y z n a c z e n i a w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h . T a k j a k p o p r z e d n i o z a p i s u j e m y w a r u n k i
b r z e g o w e ( 1 6 . 1 3 3 ) . J e d n a k t y m r a z e m p o s z u k u j e m y w a r t o [c i s i B p r z y w z Bo w y c h w z a l e |n o [c i o d w z Bo w y c h
p r z e m i e s z c z e D. W o b e c t e g o p r z e m i e s z c z e n i a w z Bo w e m u s z b y o k r e [l o n e :
T x = 0 = 0 W ' ' ' x = 0 = 0
x = 0 = i W ' x = 0 = i
( 1 6 . 1 3 3 )
W x = l = v k ! W x = l = v k
{ {
x = l = k W ' x = l = k
- 3 "A "c o s x 3 "B "s i n x 3 "C "c o s h x 3 "D "s i n h x = 0
"A "c o s 0 - "B "s i n 0 "C "c o s h 0 "D "s i n h 0 = i
A "s i n l B "c o s l C "s i n h l D "c o s h l = v k
{
"A "c o s l - "B "s i n l "C "c o s h l "D "s i n h l = k
P o p o d s t a w i e n i u ( 1 6 . 1 2 4 ) , ( 1 6 . 1 2 5 ) i ( 1 6 . 1 2 7 ) o t r z y m u j e m y :
- A C = 0
A C = i
A "s i n l B "c o s l C "s i n h l D "c o s h l = v k
{
A "c o s l - B "s i n l C "c o s h l D "s i n h l = k
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 4 4
P o w y z n a c z e n i u s t a By c h A , B , C i D m o |e m y z a p i s a w z o r y n a s i By w e w n t r z n e w y k o r z y s t u j c e z a l e |n o [c i
r |n i c z k o w e ( 1 6 . 1 2 6 ) i ( 1 6 . 1 2 7 ) :
M = - E J W ' '
" M
T = = - E J W ' ' '
" x
c z y l i :
( 1 6 . 1 3 4 )
M = - E J - 2 "A "s i n x - 2 "B "c o s x 2 "C "s i n h x 2 "D "c o s h x
( 1 6 . 1 3 5 )
T = - E J - 3 "A "c o s x 3 "B "s i n x 3 "C "c o s h x 3 "D "s i n h x
O t r z y m u j e m y k o m p l e t w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h
( 1 6 . 1 3 6 )
M = M x = 0 = E J 2 B - D
i k
( 1 6 . 1 3 7 )
M = M x = l = E J 2 A "s i n l B "c o s l - C "s i n h l - D "c o s h l
k i
( 1 6 . 1 3 8 )
T = T x = 0 = E J 3 A - C = 0
i k
( 1 6 . 1 3 9 )
T = T x = l = E J 3 A "c o s l - B "s i n l - C "c o s h l - D "s i n h l
k i
Z a d a n i e 1 0
W y z n a c z y c z s t o [ k o Bo w d r g a D w Ba s n y c h d l a r a m y o c i g By m r o z k Ba d z i e m a s y ( r y s . 1 6 . 6 8 ) .
E J
1
2
E J
4
0
4
[ m ]
R y s . 1 6 . 6 8 . Z a d a n a r a m a
D o r o z w i z a n i a t e g o p r o b l e m u p o s Bu |y m y s i w z o r a m i t r a n s f o r m a c y j n y m i d o t y c z c y m i d r g a D p r t w o
c i g By m r o z k Ba d z i e m a s y . W z o r y t r a n s f o r m a c y j n e w i | s i By p r z y w z Bo w e z p r z e m i e s z c z e n i a m i .
W d a n y m z a d a n i u n a l e |y u w z g l d n i z a r w n o d r g a n i a p o p r z e c z n e j a k i p o d Bu |n e o b u p r t w . P u n k t e m
w i |c y m o b a p r t y j e s t w z e B 1 , k t r e g o r w n o w a g a m u s i z o s t a z a c h o w a n a :
1
N 1 2
T 1 2
M 1 2
T 1 0
M 1 0 N 1 0
R y s . 1 6 . 6 9 . R w n o w a g a w z Ba 1
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 4 5
D l a w z Ba n r 1 m u s i z a c h o d z i :
M = 0
Y = 0 ( 1 6 . 1 4 0 )
{
X = 0
P o r o z p i s a n i u :
M M = 0
1 0 1 2
- N - T = 0
( 1 6 . 1 4 1 )
1 0 1 2
{
- T N = 0
1 0 1 2
K o l e j n e w a r t o [c i s i B w e w n t r z n y c h o k r e [l a j w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e :
" d l a d r g a D p o p r z e c z n y c h :
v 0 v 1
E J
M = c "1 s "0 - r " t " ( 1 6 . 1 4 2 )
1 0
[ ]
4 4 4
v 2 v 1
E J
M = c ' ' "1 s ' ' "2 - r ' ' " t ' ' " ( 1 6 . 1 4 3 )
1 2
[ ]
4 4 4
v 0 v 1
E J
T = - t "1 r "0 - n " m " ( 1 6 . 1 4 4 )
1 0
[ ]
1 6 4 4
v 2 v 1
E J
T = - t ' ' "1 r ' ' "2 - n ' ' " m ' ' " ( 1 6 . 1 4 5 )
1 2
[ ]
1 6 4 4
" d l a d r g a D p o d Bu |n y c h :
E A
N = "u 0 - b "u 1 ( 1 6 . 1 4 6 )
[ a ]
1 0
4
E A
N = ( 1 6 . 1 4 7 )
[ - b ' "u 1 a ' "u 2 ]
1 2
4
P o u w z g l d n i e n i u w a r u n k w b r z e g o w y c h ( p o d p o r y 0 i 2 n i e p r z e m i e s z c z a j s i ) , c z y l i p r z y j c i u , |e :
= v = u = = v = u = 0 , z u k Ba d u ( 1 6 . 1 4 1 ) o t r z y m u j e m y :
0 0 0 2 2 2
v 1 E J v 1
E J
c "1 t " c ' ' "1 t ' ' " = 0
[ ] [ ]
4 4 4 4
v 1
- E A b "u 1 E J t ' ' "1 m ' ' " = 0 ( 1 6 . 1 4 8 )
[ ]
4 1 6 4
v 1
E J
{
t "1 m " - E A b ' ' u 1 = 0
[ ]
1 6 4 4
g d z i e :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 1 6 . Z A D A N I A - P O W T R K A 4 6
4 ""2
( 1 6 . 1 4 9 )
' = = "l = "4 =
E J
c o s h s i n - s i n h c o s
c ' ' = c = ( 1 6 . 1 5 0 )
1 - c o s h c o s
s i n s i n h
t ' ' = t = 2 ( 1 6 . 1 5 1 )
1 - c o s h c o s
s i n h c o s c o s h s i n
m ' ' = m = 3 ( 1 6 . 1 5 2 )
1 - c o s h c o s
2 2
( 1 6 . 1 5 3 )
' = = l " = 4 "
E A E A
b ' ' = b = c o t ( 1 6 . 1 5 4 )
N a l e |y z a u w a |y , |e w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w c , t , m , b s t a k i e s a m e d l a o b u p r t w , p o n i e w a | p r t y
t e m a j t a k s a m d Bu g o [, p r z e k r j i s z t y w n o [.
P o p r z e k s z t a Bc e n i a c h o t r z y m u j e m y u k Ba d r w n a D j e d n o r o d n y c h .
c "1 0 , 2 5 "t "v 1 = 0
4 "b "u 1 t "1 0 , 2 5 "m "v 1 = 0
( 1 6 . 1 5 5 )
{
- 4 b u 1 t "1 0 , 2 5 "m "v 1 = 0
W a r u n k i e m o t r z y m a n i a r o z w i z a n i a t e g o u k Ba d u r w n a D j e s t z e r o w a n i e s i w y z n a c z n i k a n a s t p u j c e j
m a c i e r z y :
0 c 0 , 2 5 t
A =
4 b t 0 , 2 5 m ( 1 6 . 1 5 6 )
[ ]
- 4 b t 0 , 2 5 m
P r z y r w n a n i e w y z n a c z n i k a m a c i e r z y A d o z e r a p r o w a d z i d o u z y s k a n i a r w n a n i a z a l e |n e g o o d c z s t o [c i d r g a D
w Ba s n y c h ( g d y | w i e l k o [c i o r a z s f u n k c j a m i ) . Z a t e m r o z w i z a n i e r w n a n i a d e t A = 0 d o p r o w a d z i d o
u z y s k a n i a w a r t o [c i s z u k a n y c h c z s t o [c i d r g a D w Ba s n y c h .
Z u w a g i n a r o z b u d o w a n p o s t a w s p Bc z y n n i k w b , c , m , t o b l i c z e n i a n a j l e p i e j p r z e p r o w a d z i w s p o s b
n u m e r y c z n y .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
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