3475915936

15

-    równoległej do l.

14.    Dane są cztery punkty w przestrzeni: ^4(1,1,1), #(2,3,0), C(l,l,2), M(5,3,1). Napisz równania:

-    płaszczyzny 7r w której leżą A, B i C,

-    prostej prostopadłej do 7r przechodzącej przez M.

-    płaszczyzny ir' równoległej do 7r przechodzącej przez M,

-    sfery o środku w M stycznej do 7r.

Oblicz

-    cos o: i sin a, gdzie a jest kątem pomiędzy wektorami AB oraz

AC7,

-    objętość równoległościanu którego krawędziami są odcinki AB, AC i AM.

Równania płaszczyzn i prostych należy podać w postaci normalnej i parametrycznej.

15.    Wykaż, że dla dowolnej funkcji / : X -¥ Y, podzbiorów A\, A2 , Ai (i E I) zbioru X oraz B\, #2 i Bj (j E J) zbioru Y zachodzą związki:

(a)    JiCJ₂=> /[AJ c f[A₂]

(b) /U_i6JA_i] = U_6//[A_i]

(c)    /[aa^cfljaM

(d)    B₁cB₂^f-¹[B₁]cf~¹[B₂]

(e)    r¹V_iejB_i] = \J_jejf-¹lB_j]

(f)    /-¹[a-₆JĄ]=n,-_eJ/-¹[B_j]

(g)    /[Ai] - f[A₂] C /[Ai - A₂] (C można zastąpić przez = gdy / jest odwracalna).

16. Dla dowolnej funkcji f : X —>Y wykaż, że

(i)    / jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja g : Y —» X, taka że / o g = idy

(ii)    / jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja h : Y —> X, taka że ho f = idx

17. Niech f : A —¥ A, gdzie A jest zbiorem skończonym. Wykaż, że następujące zdania są równoważne:

(i)    / jest iniekcją.

(ii)    / jest suriekcją.