3813100780

4.4. Jednowymiarowa fala podłużna w pręcie

Niechaj wzdłuż jednorodnego pręta o długości L, powierzchni przekroju poprzecznego S i gęstości p — const (bo pręt z założenia jest jednorodny) rozchodzi się fala podłużna równolegle do osi poziomo ułożonego pręta.

Au

Jeden (lewy) koniec pręta umieszczono w początku układu odniesienia. Oś pręta jest równoległa do osi OX. Przesunięcie u(x,t) (równolegle do osi pręta i osi OX) fragmentu masy Am = pSAx pręta położonego wokół punktu o współrzędnej x zależy od czasu t oraz x (bo jest ono wywołane rozchodzeniem się fali podłużnej). Jeśli punkty pręta o współrzędnej x mają w chwili t wychylenia określone za pomocą u(x, t), to punkty pręta znajdujące się w położeniu x + Ax mają wychylenia u(x + Ax, t) 7^ u(x, t), przy czym u(pc + Aa:, t) ~ u(x, t) + Au. Oznacza to, że objętość fragmentu masy Am doznaje odkształcenia sprężystego, którego wartość

bezwzględna wynosi Au zas względne wydłużenie e jest równe e = ——. Zauważmy, że wartość

Aa:

e jest funkcją czasu oraz współrzędnej przestrzennej x, ponieważ od tych wielkości zależy Au. Dla dostatecznie małych wartości Aa: możemy przyjąć, że

du(x, t)

(36)

dx

e{x, t) =

Jak wiemy względna deformacja e(x, t) ^ 0 świadczy o tym, że w punkcie pręta o współrzędnej x działa naprężenie cr(a;, £), którego wartość jest związana z e(x,t) prawem Hooke’a

o•(!,*) = & =    (37)

gdzie £ jest modułem Younga materiału pręta.

du

Zauważmy w tym miejscu, że jeśli u(x, t) — uo cos(u>t — kx + «o) (zakładamy, że biegnąca fala podłużna ma postać monochromatycznej fali płaskiej, zwanej także falą sinusoidalna albo

kosinusoidalną), to £ = — = —kuo sin(wt — kx + Qo). Oznacza to, że w danej chwili czasu t względne odkształcenie e(x,t) oraz naprężenie cr(x, t) zależą od x. W punktach ośrodka, dla których wychylenia u(x, t) są ekstremalne mamy £o(x, i) = <7o(a:, f) = 0 (dlaczego?). Tam gdzie wychylenia u(x, t) są równe zeru obserwujemy maksymalne wartości bezwzlędne odkształceń ^max,min{x,t) i naprężeń <J_max,mi_n(x, t) (dlaczego?). Przy czym dodatnie (rozciąganie) i ujemne (ściskanie) wartości odkształceń emax oraz e_min występują na przemian. Świadczy to o tym, że poprzecna fala składa się z ciągu zgęszczeń i rozrzedzeń ośrodka w którym się rozchodzi.

Napiszemy obecnie równanie ruchu fragmentu Am pręta położonego w pobliżu punktu x poruszającego się pod wpływem rozchodzącej się w pręcie fali. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki d²u    d²u

" ^A    " ^r ' • ^A •    • Au)-flr(z + u)],    (38)

gdzie ct(x + Aa: 4- u + Au) i a(x + u) są wartościami naprężeń w odpowiednich punktach pręta określonych argumentami funkcji a.

W celu uproszczenia dalszego zapisu i toku rozumowania przyjmiemy dodatkowe założenia: a[x + Ax + u + A) ~ a(x + Aa;), a(x + u) ~ <r(x)    (39)

które - jak to pokazujemy w podrozdziale następnym - nie wpływają na końcowy wynik²⁹.

Wtedy

o(x + Ax + u + Au) — cr(x + u) ~ a(x + Aa:) — cr(x)    (40)

oraz zgodnie z prawem Hooke’a (37)

²⁹Jest to spowodowane tym, że w odpowiednie wyrażenia wchodzi różnica <r(a: + Ax + u + A) — a(x + u spełniona jest nierówność u(x, t) <S. Ax\

17

(41)