426907368

Wykład 2

11

x

Rysunek 2.1: Tw. Peano. Rozwiązanie jest granicą łamanych Eulera.

Funkcje x_n (t) są ciągłe w sensie Lipschitza ze stałą M tzn.

V_t>t'e[t₀,to+a]IMż) - *«(*') II < M ■ \t — t'\

gdyż na odcinkach [to + ^a, to + ^-a] są afiniczne z pochodną F(f₀ + £a, x_n(to + £a)), a ||F|| < M. Istnienie t\ prowadzi więc do sprzeczności, ponieważ

= b.

Powyższą metodą możemy więc określić x_n dla t < t₀ + a i t < t₀ +-jfc. Krzywa (t, x_n(f)) będzie wówczas zawarta w K.

Jako Lipschitzowskie ze wspólną stałą M, funkcje x_n są jednakowo ciągłe, tzn.

V_e3jV_nVt,t'\t —1'\ < S =>■ ||x_n(t) — x„(f^/)|| < e.

Zatem z twierdzenia Arzeli-Ascoliego z ciągu x_n można wybrać podciąg jednostajnie zbieżny. Dla uproszczenia oznaczeń możemy przyjąć, że sam ciąg x_n zbiega jednostajnie do pewnej funkcji x(t). Pokażemy że funkcja ta jest rozwiązaniem problemu Cauchy’ego. W tym celu, na podstawie lematu, wystarczy wykazać, że jest rozwiązaniem całkowej postaci (2.4) problemu Cauchy’ego.

Oznaczmy $„(f) = F(to + %a, x„(to + £«)), dla t e [to + |o:, to + ^-a). Wówczas

Zachodzi także 4>_n(s) =t F(s,x(s)), ponieważ x„(fo + ^a) ^ x(to + ^a), a funkcja F jest jednostajnie ciągła. Zatem

x(t) = lim x_n(t) = Xq + hm / $_n(s)ds = x» + I lim $_n(s)ds =Xq+ F(x(s))ds. ^łW0°    ⁿ~*°°Jto    Jto ^n_>°°    Jt₀

Powyższa równość kończy dowód twierdzenia Peano.

□