426907376

Spis treści

1    Przykłady równań różniczkowych zwyczajnych.    3

2    Podstawowe definicje. Zagadnienie Cauchy’ego. Warunki na istnienie i jednoznaczność rozwiązań: Twierdzenie Peano i Twierdzenie Picarda-Lindelófa. 9

3    Rozwiązania wysycone. Ciągła zależność rozwiązań od warunków początkowych.    14

4    Gładka zależność rozwiązań od warunków początkowych, czasu i parametru. 22

5    Twierdzenia o prostowaniu. Potok dyfeomorfizmów generowany przez rów

nanie różniczkowe. Rozmaitości różniczkowe. Równania na rozmaitościach. Obmotka    28

6    Całki pierwsze. Czynnik całkujący. Metody rozwiązywania równań różniczkowych (zestawienie).    36

7    Układy równań liniowych.    42

8    Wahadło z tarciem. Stany równowagi - klasyfikacja. Figury Lissajous    50

9    Układ fundamentalny. Wrońskian. Zachowywanie miary Lebesgue’a przez dy-

feomorfizmy potoku pola z dywergencją 0 (Twierdzenie LiouvilIe’a). Równanie Hamiltona. Informacja o Twierdzeniu Ergodycznym Birkhoffa.    57

10    Rozwiązanie w postaci szeregów potęgowych. Równanie Hermite’a. Zasto

sowanie w równaniu Schródingera. Równanie Schródingera. Równania jednorodne rzędu 2 ze zmiennymi współczynnikami. Układy niejednorodnych równań liniowych    66

11    Stabilność asymptotyczna i Lapunowa. Twierdzenie Hadamarda-Perrona. Równania liniowe z okresowymi współczynnikami: rezonans parametryczny.    72

12    Nieliniowe równania różniczkowe. Informacja o teorii KAM. Ruch w polu

sił centralnych. Informacja o bifurkacji Hopfa i atraktorze Lorenza.    82

A Przykłady zadań i pytań egzaminacyjnych    89

1