4292417170

Przykład:

f(x,y) = Axy + l + \

Oczywiście musi być x 10, y 10. Mamy: f'_x = 4y -

fi’**-!?

Rozwiązujemy układ równań:

|4y^_?r = 0    ^_>\y⁼4x^I

\_4a; - 4, = 0 ~\x = &

Wstawiamy y z pierwszego równania do drugiego: x = 4x⁴ <=> 4x (x³ -J) = 0-»x = 0vx = -y

Oczywiście x = 0 odrzucamy, a dla x = -^ mamy y = Otrzymaliśmy zatem jeden punkt stacjonar-

W- (^> ^)-

Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu: /"* = Jr /" = |r f"_y = 4 Wyróżnik zatem jest postaci: D(x, y) = 16 -Wstawiamy do niego punkt    D -^) = -48

Dodatkowo /"_x= 8>0, więc w punkcie    jest minimum.

Ekstrema warunkowe

Ekstremum warunkowe funkcji /(x, y) przy warunku g(x, y) = 0 to lokalnie największa lub najmniejsza wartość tej funkcji na zbiorze punktów spełniających ten warunek. Do wyznaczenia ekstremum warunkowego używa się metody współczynników Lagrange’a. Definiujemy funkcję:

F(x, y, A) = /(x, y) -Ag(x, y)

i rozwiązujemy układ równań: F'(x,y,A) = 0 F;(x,y,A) = 0

g(x,y) = o

Każdy punkt spełniający ten układ równań jest punktem "podejrzanym” o to, że istnieje w nim lokalne ekstremum warunkowe.

Sprawdzenie warunku koniecznego polega policzeniu w każdym punkcie stacjonarnym wyznacznika tzw. hesjanu obrzeżonego czyli:

0 g_x; g'_y g'_x F"_x F"_y -9y Fyx Fyv-

Jeśli ten wyznacznik jest dodatni, to w danym punkcie stacjonarnym jest maksimum, a jeśli ujemny to minimum.

H(x, y, A) = det

4