5466967405

Zadania z matematyki na egzamin wstępny na studia II stopnia

Wydział MliM UW ostatnie poprawki: 19 maja 2010

Spis treści

Wstęp    1

1    Analiza Matematyczna i Równania Różniczkowe    1

2    Geometria z Algebrą Liniową i Algebra    9

3    Topologia    z elementami Teorii Mnogości    13

4    Rachunek    Prawdopodobieństwa    z    elementami Statystyki    15

5    Przykłady    rozwiązanych zadań    19

Wstęp

Egzamin trwa co najmniej 210 minut i składa się z siedmiu zadań wybranych z poniższego zestawu: trzech z części pierwszej, dwóch z części drugiej, jednego z części trzeciej i jednego z części czwartej. Zadania wybierane są tak, aby tematyka objętego nimi materiału była możliwie najszersza. Podczas egzaminu nie wolno posługiwać się telefonami komórkowymi, kalkulatorami, laptopami, palmtopami itp. Wszystkie odpowiedzi należy uzasadnić.

Rozwiązania każdego zadania punktowane są w skali 0-10. Wynik każdego zdającego jest sumą zdobytych przezeń punktów. Nie są wystawiane oceny w tradycyjnej skali, a na życzenie kandydata wydaje się tylko zaświadczenia o liczbie zdobytych punktów. Ranking kandydatów tworzony jest w kolejności uzyskanych wyników.

1 Analiza Matematyczna i Równania Różniczkowe

1.    Podać przykład funkcji /: R—*1, która nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny, oraz przykład takiej funkcji /: R —> R, która jest ciągła w dokładnie jednym punkcie swojej dziedziny.

2.    Udowodnić, że jeśli funkcja /: R —► R jest wielomianem nieparzystego stopnia, to dla każdej liczby y e IR istnieje taka liczba x G R, że f(x) = y. Wykazać, że nie jest to prawdą dla żadnego wielomianu stopnia parzystego.

3.    Podać przykład takiej funkcji /: R —► R, że dla każdej liczby ó > 0 zachodzi inkluzja

4.    Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji /: R² —► R,

f \yx~²\ ■ e~\^yx 2I, dla

^/(l-^v)=\o    dla z = o'

5.    Udowodnić, że jeśli funkcja /: [0, +oo) —* R jest ciągła i ma asymptotę w +oo, czyli gdy istnieją takie liczby a, b € R, że lim_I_,₀₀ (f(x) — (aa; + 6)) = 0, to / jest jednostajnie ciągła.

6.    Znaleźć pochodną funkcji f(x) = (2 + sina;)¹, x € R.

1