6628926844

3. (p + v) + w = p + (v + w), 4. p + v,p + w = w — v.

Dowód:

□

Definicja 1.4.5. Układem współrzędnych w przestrzeni E² nazywamy trójkę uporządkowaną (p; v, w) złożoną z punktu p € E² oraz wektorów v, w stanowiących pewną bazę przestrzeni M².

W tym układzie współrzędnych współrzędnymi punktu q € E² nazywamy współrzędne wektora pq w bazie (v,w).

Definicja 1.4.6. Dla danych dwóch punktów p,q € E² i danych liczb a, /? € M takich, że a + /3 = 1 punkt

ap + (3q = p + (3pq

nazywamy środkiem ciężkości pary punktów p,q o wagach odpowiednio a i (3.

Analogicznie określamy środek ciężkości trójki punktówp, q,r o wagach a, (3,7, przy czym a + (3 + 7 = 1, wzorem

ap + (3q + 7r = p + (3pq + 7pr.

Zbiór wszystkich środków ciężkości pary p, q oznaczamy przez af (p, q), trójki p,q,r — przez af (p, q, r); przyjmujemy ponadto af (p) = {p}.

Przykład 1.4.7.    1. Środek ciężkości pary punktów p,q o wagach | jest

środkiem odcinka pq.

2.    Środek ciężkości trójki punktów p,q,r o wagach ^ jest środkiem ciężkości trójkąta Apqr.

3.    Punkt 2p + (—l)g jest obrazem punktu q w symetrii środkowej względem punktu p.

Definicja 1.4.8. Otoczką wypukłą pary (odpowiednio trójki) punktów nazywamy zbiór wszystkich środków ciężkości tej pary (odpowiednio trójki) punktów o nieujemnych wagach. Przyjmujemy oznaczenie conv (p, q) dla pary p, q i analogiczne dla trójki.

Stwierdzenie 1.4.9. Dla dowolnych punktów p,q spełnione są warunki:

1.    af (p, q) = {p + a ■ pq ; a G M},

2.    conv (p, q) = {p + a ■ pq ; a G [0,1]}.

Dowód:

□

6