6628926843

Dowód:

□

Definicja 1.3.4. Dla danych wektorów v, w wektor postaci a-v+b-w nazywamy ich kombinacją liniową o współczynnikach a, b.

Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v, w oznaczamy przez lin (v, w). Analogicznie piszemy lin (v) = {a • v ; a £ K}, a nawet lin () = {0}.

Definicja 1.3.5. Parę uporządkowaną (v,w) = 3 nierównoległych wektorów z przestrzeni M² nazywamy bazą przestrzeni IR².

Dla każdego wektora x € K² jedyną parę liczb (a,6) takich, że x = a-v + b-w nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie 3 i oznaczamy przez Cg(x).

Definicja 1.3.6. Mówimy, że baza (v,w) przestrzeni R² jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) zorientowana, gdy det(u, w) > 0 (odpowiednio det(u,w;) < 0).

Przykład 1.3.7.    1. Układ wektorów e\ = (1,0), e2 = (0,1) jest bazą prze

strzeni IR².

Nazywamy ją bazą kanoniczną między innymi dlatego, że

(xi,x₂) = x\ ■ e\ + X2 • e₂,

czyli współrzędne wektora w tej bazie są takie same jak jego współrzędne absolutne.

2.    Baza kanoniczna jest zorientowana dodatnio.

3.    Baza (e₂, ei) jest zorientowana ujemnie.

1.4 Punkty i wektory

Definicja 1.4.1. Dwóm parom liczb rzeczywistych p i q przypisujemy wektor PQ = q-P=(qi -Pi,q2-P2)

W tym kontekście zbiór par liczb rzeczywistych oznaczamy przez E², a jego elementy nazywamy punktami.

Stwierdzenie 1.4.2. Operacja —* przypisania dwóm punktom zE² = £ wektora z IR² = V ma następujące własności:

(Al) \/_peE V_vey 3!q6E pq = v (A2) V_p,_q,reE pq + qr=pr

Dowód: (Al): wystarczy dla p G E² i v G IR² przyjąć q = (pi + V\,p₂ 4- u₂). (A2): pq + qr = (q — p) + (r — q) = r—p = pr    □

Definicja 1.4.3. Sumą punktu p i wektora v nazywamy jedyny taki punkt q, że pq = v.

Stwierdzenie 1.4.4. Dla punktów p,q i wektorów v,w spełnione są warunki

1.    p + v = p + w <ś=> v = w,

2.    p + v = q + v p = q,

5