6581544266

12. Trzy siostry dzielą między siebie trzy odziedziczone obiekty: mieszkanie, jacht i cenny obraz. Uzgodniono następującą procedurę podziału: najmłodsza siostra oznajmia, z którego obiektu rezygnuje, najstarsza zgodnie z tym przydziela jej jeden z dwóch innych obiektów, a na koniec spośród dwóch, których nie dostała najmłodsza, jeden wybiera dla siebie średnia siostra. Ostatni z obiektów zostaje dla najstarszej siostry. Każda z sióstr kieruje się tylko swą preferencją co do przypadającego jej dobra, nie interesując się tym, której przypadły inne obiekty.

(a)    Podać postać ekstensywną gry, w której wszystkie siostry najbardziej chciałyby dostać mieszkanie, ale najstarsza woli dostać jacht niż obraz, a obie pozostałe odwrotnie. (Można przyjąć dla każdego gracza wypłatę 2 za najbardziej preferowany obiekt, 1 za średni i 0 za najmniej preferowany). Znaleźć w tej grze dwie równowagi doskonałe, w których najmłodsza siostra rezygnuje z różnych obiektów. Która z tych dwóch jej strategii wydaje się Pani / Panu rozsądniejsza i dlaczego?

(b)    Pokazać, że gdy każda z sióstr najwyżej ceni sobie inny obiekt, to w równowadze doskonałej każda dostanie najbardziej preferowany. Opisać dokładnie strategie wszystkich trzech w tej równowadze.

Roziwązanie

(a)

Opis drzewa: Zaczyna najmnłodsza siostra (Mł), wybiera jedną z 3 akcji: RM (rezygnuje z mieszkania), RJ i RO. Następnie najstarsza (St) wybiera jedną z 2 możliwych akcji: po RM są to J —» Mł (przydziela młodszej jacht) i O —* Mł , po RJ M —* Mł i O —> Mł, a po RO są to J —► Mł i M —*■ Mł. Następnie średnia (Śr) wybiera dla siebie jeden z 2 dostępnych obiektów - np. po akcjach RM i O —> Mł wybiera pomiędzy J a M. Na końcu tej ścieżki Mł dostaje obraz, Sr mieszkanie, a St jacht. Gra jest z pełną informacją.

Oczywiście trzeba narysować całe drzewo, poetykietować wszystkie łuki i wypisać wypłaty (lub lepiej podział obiektów) w każdym wierzchołku końcowym. Trzeba także zaznaczyć akcje wybierane w trakcie indukcji wstecz.

Analiza przy preferencjach z p. (a) :

Sr zawsze wybierze mieszkanie jeśli jest dostępne, a jeśli nie - tj. jeśli St zagrała M —* Mł - to obraz. Wiedząc to, St nigdy nie zagra J —► Mł, bo wtedy po optymalnej reakcji Sr sama zostanie z obrazem. Jeśli natomiast Mł sama zrezygnuje z jachtu, RJ, to St będzie indyferentna między przydzieleniem jej mieszkania bądź obrazu, bo w obu przypadkach zostanie jej jacht. Mł spodziewa się zatem M jeśli zagra RO, O jeśli zagra RM, a jeśli zagra RJ, to M lub O w zależności od tego, co wtedy zdecyduje St. Jeśli spodziewa się, że St po RJ wynierze M —> Mł , może zagrać RJ; jeśli spodziewa się O —> Mł , powinna zagrać RO.

Są więc 3 równowagi doskonałe w czystych strategiach:

(1)    Mł : RO , Sr : zawsze wybiera lepszy obiekt, St: nigdy nie J —> Mł a po RJ O -> Mł ;

(2)    Mł : RO , Sr : zawsze wybiera lepszy obiekt, St: nigdy nie J —► Mł a po RJ M -> Mł ;