Spis treści
Spis treści 2
1 Algebra 3
1.1 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Liczby zespolone - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Macierze - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Układy równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Układy równań - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Geometria analityczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Funkcje jednej zmiennej 16
2.1 Granice ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Granice ciągów - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Granice funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Granice funkcji - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Pochodne - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Reguła de L Hospitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Przebieg zmienności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.10 Przebieg zmienności funkcji - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11 Całki nieoznaczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.12 Całki nieoznaczone - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.13 Całki oznaczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.14 Całki oznaczone - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Funkcje wielu zmiennych 34
3.1 Pochodne czÄ…stkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Całki podwójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Całki podwójne - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Całki potrójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Teoria pola 39
4.1 Gradient, rotacja, dywergencja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Całki krzywoliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.1 Nieskierowana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.2 Skierowana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Całki krzywoliniowe - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Nieskierowana - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Skierowana - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Całki powierzchniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Równania różniczkowe 42
5.1 Równania rzędu I-go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Równania rzędu I-go - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Równania wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 Równania wyższych rzędów - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 Układy równań różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.6 Układy równań różniczkowych - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Politechnika Szczecińska 1 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
SPIS TREÅšCI SPIS TREÅšCI
6 Szeregi 52
6.1 Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Szeregi liczbowe - odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Szeregi funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Funkcje zespolone 55
Politechnika Szczecińska 2 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
Algebra
Liczby zespolone
Zad 1. Oblicz:
(a) i2; (b) i3; (c) i4; (d) i5; (e) i22; (f) i89; (g) i2007; (h) i-1; (i) i-2; (j) i-3;
(k) i-4; (l) i-129; (m) i-75; (n) i-2008;
Zad 2. Wykonaj działania; wynik zapisz w postaci algebraicznej:
" " "
3
2 4
1 1 2 1 2 1 1 3 1 2 4+i
(a) 2 + i (5 + i); (b) + i - i ; (c) + i ; (d) + i ; (e) + i ; (f) ;
4 2 2 2 2 4 2 2 2 3 1-2i
(3+2i)2 (5-i)(3-i) (2+3i)(1+i)
2+i
(g) ; (h) ; (i) (j) ;
2i-5 4i-3 (4+i)(i-2) (1-i)(2+i)
Zad 3. Oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby:
"
1 3
(a) z = i; (b) z = -8i; (c) z = -1 + i; (d) z = 3 + 4i; (e) z = -16 + 30i; (f) z = + i;
2 2
Zad 4. Znalez
ć x, y " R spełniające równanie:
1+yi
(a) x(2 + 3i) + y(4 - 5i) = 6 - 2i; (b) = 3i - 1; (c) (2 + yi)(x - 3i) = 7 - i;
x-2i
y
x
(d) x(2 + 3i) + y(5 - 2i) = -8 + 7i; (e) + = 1; (f) x(4 - 3i)2 + y(1 + i)2 = 7 - 12i;
2-3i 3+2i
Zad 5. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie:
1-3i 2i-3
(a) z2 - z + 1 = 0; (b) z2 + 4z + 5 = 0; (c) (i - 3)z = 5 + i - z; (d) = ;
3z+2i 5-2iz
2+i 1-i
(e) z2 - 4z + 13 = 0; (f) = ; (g) z3 - 6iz2 - 12z + 8i = 0; (h) z4 + 3z2 - 4 = 0;
z-1+4i 2z+1
(i) 4z3 - 4z2 + z - 1 = 0; (j) z4 + 81 = 0; (k) z6 - 1 = 0;
(l) z4 - (18 + 4i)z2 + 77 - 36i = 0; (m) z4 - 10z2 - 20z - 16 = 0; (n) z3 - 4z2 + 6z - 4 = 0;
(o) z5 - 3z4 + 2z3 - 6z2 + z - 3 = 0; (p) (3 + i)z2 + (1 - i)z - 6i = 0;
Zad 6. Obliczyć:
"
" 1 3
- i
2 2
" "
(a) |4 + 3i|; (b) | 3 - 2i|; (c) |14 + i|; (d) |(2i + 3)(1 - i)|; (e) ;
2 2
- i
2 2
" "
1+i
(f) | |; (g) arg(5 + 5i); (h) arg(-3 + 3 3i); (i) arg(8 3 - 8i); (j) arg(2 - 5i)
2-3i
"
" " " "
1 3
- i
- 3 1 2 2 1 3
2 2
" "
(k) arg ; (l) arg - i - i ; (m) (2i - 1) - i ; (n) 1 + 3i;
2 2
2 2 2 2 2 2
- i
2 2
1+i
(o) i - 1; (p) ;
3-2i
Zad 7. Udowodnić że dla dowolnych z1, z2 " C zachodzi:
z1 |z1| z1 z1
(a) |z1 · z2| = |z1| · |z2|; (b) = ; (c) z1 · z2 = z1 · z2; (d) = ; (e) zz = |z|2;
z2 |z2| z2 z2
1
(f) arg(z) = 2Ä„ - arg(z); (g) arg = 2Ä„ - arg(z); (h) |z1 + z2|2 + |z1 - z2|2 = 2 |z1|2 + |z2|2 ;
z
Zad 8. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie:
(a) z2 + 3z = 0; (b) 2z + (1 + i)z = 1 - 3i; (c) (z + 2)2 = (z + 2)2; (d) z + i - z + i = 0;
Politechnika Szczecińska 3 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA LICZBY ZESPOLONE
Zad 9. Zapisać w postaci algebraicznej liczby:
Ä„ Ä„ 3 3
(a) 3 (cos Ä„ + i sin Ä„); (b) 23 cos( ) + i sin( ) ; (c) 2 cos(7 Ä„) + i sin(7 Ä„) ; (d) cos( Ä„) + i sin( Ä„);
3 3 6 6 4 4
Ä„ Ä„ 2 5
(e) cos(- ) + i sin(- ); (f) cos(7 Ä„) + i sin(72 Ä„); (g) cos(3 Ä„) + i sin(35 Ä„);
4 4 3 3 6 6
Zad 10. Zapisać w postaci trygonometrycznej liczby:
"
" " "
i 1 3
(a) i; (b) 1 - i; (c) 1 + i 3; (d) -1 - "
; (e) 3 - i; (f) - + i; (g) 9 3 - 9i;
2 2
3
(h) sin(Ä…) + i cos(Ä…); (i) - cos(Ä…) + i sin(Ä…); (j) 1 + i tg(Ä…);
Ä„
Uwaga. W ostatnich podpunktach przyjmujemy Ä… " (0, ).
2
Zad 11. Obliczyć:
" " "
12 12
" " 7
(1+i)9 (1-i)5-1
2 2 -1+i 3
(a) + i ; (b) (1 + i)4; (c) 2 - i 2 ; (d) ; (e) ; (f) ;
2 2 12 (1-i)7 (1+i)5+1
" "
" "
20 2007
(1+i 3)15 (1-i"3)6 (1-i)6
1+i 3 1-i 3
(g) ; (h) ; (i) ; (j) + (1 + i)(3 - i); (k) i74;
1-i 2 (1+i)10 (1+i)4
(1+i 3)4
Zad 12. Obliczyć:
" " " " " " "
3 5 3 3
6 3 3
(a) i; (b) -1; (c) 1; (d) 27i; (e) (1 + i)3; (f) -8; (g) 8i - 15 ; (h) 2 - 2i;
"
" 12
"
(1-i)6( 3+i) 4
4
(i) z; gdzie z = i74. (j) 3 - i ;
(1+i)4
Zad 13. Zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej liczby:
" " "
4
6
(a) -2i; (b) -8 - 8i 3; (c) -1;
Zad 14. Korzystając ze wzoru Moivre a wyrazić za pomocą sin x oraz cos x funkcje:
(a) sin(3x) oraz cos(3x); (b) sin(4x) oraz cos(4x); (c) sin(5x) oraz cos(5x);
Zad 15. Narysować na płaszczyz
nie zespolonej obszary określone warunkami:
|z|
(a) |z - 1 + i| = 1; (b) 2 < |z - 1| d" 4; (c) = 2; (d) |z| < 2 '" arg(z) " 0, Ä„ ; (e) |z|2 = 2|z|;
|z-1|
"
z+2 4 Ä„ Ä„
(f) zz + z + z = 0; (g) > 3; (h) e" z '" arg(z) " - , ; (i) z - i = z - 1;
z-2 z 6 3
Zad 16. Zamienić postać wykładniczą na algebraiczną:
Ä„ 3 2 7
Ä„i Ä„i
2
(a) eĄi; (b) e1+ i; (c) e2Ąi; (d) ei; (e) e-2i; (f) e1- 4 3
(g) e2+ Ä„i (h) e1- 6
Zad 17. Zamienić postać algebraiczną na wykładniczą:
"
(a) -1; (b) 1 + i; (c) -i; (d) 1 - 3i; (e) -2 + 7i; (f) 3 - 5i;
Politechnika Szczecińska 4 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA LICZBY ZESPOLONE - ODPOWIEDZI
Liczby zespolone - odpowiedzi
Zad 1.
(a) -1; (b) -i; (c) 1; (d) i; (e) -1; (f) i; (g) -i; (h) -i; (i) -1; (j) i; (k) 1; (l) -i;
(m) i; (n) 1;
Zad 2.
39 13 3 i 15 7 527 2 9 8 9
(a) + i; (b) ; (c) - ; (d) -1; (e) - i - ; (f) + i; (g) - - i;
4 4 4 2 16 27 1296 5 5 29 29
33 56 142 44 4 7
(h) - i; (i) - + i; (j) - + i;
25 25 85 85 5 5
Zad 3.
" " " "
2 2 2 2
(a) + i, - - i ; (b) [-2 + 2i, 2 - 2i]; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ;
2 2 2 2
Zad 4.
(a) [x = 1, y = 1]; (b) [x = 5, y = 17]; (c) brak rozwiązań w R; (d) [x = 1, y = -2]; (e) [x = 2, y = 3];
(f) [x = 1, y = 6];
Zad 5.
" "
1 3i 1 3i 7 9 45 99
(a) z1 = - , z2 = + ; (b) z1 = -2 - i, z2 = -2 + i; (c) z = - i - ; (d) z = - i - ;
2 2 2 2 5 5 73 73
1 5
(e) z1 = 2 - 3i, z2 = 3i + 2; (f) z = i + ; (g) z1 = z2 = z3 = 2i;
2 6
i i
(h) z1 = -2i, z2 = 2i, z3 = -1, z4 = 1; (i) z1 = - , z2 = , z = 1;
2 2
" " " " " " " "
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
(j) z1 = i - , z2 = -3 2 i - , z3 = - i, z4 = i + ;
2 2 2 2 2 2 2 2
" " " "
3i+1 3i-1 3i+1 3i-1
(k) z1 = , z2 = , z3 = -1, z4 = - , z5 = - , z6 = 1;
2 2 2 2
(l) z1 = -i - 4, z2 = i + 4, z3 = i - 2, z4 = 2 - i; (m) z1 = 4, z2 = -2, z3 = -i - 1, z4 = i - 1;
6
(n) z1 = 1 - i, z2 = i + 1, z3 = 2; (o) z1 = 3, z2 = -i, z3 = i; (p) z1 = -3 i - , z2 = i + 1;
5 5
Zad 6.
" " " "
1 2 1
(a) 5; (b) 7; (c) 197; (d) 26; (e) 1; (f) 26; (g) Ä„; (h) Ä„; (i) - Ä„;
4 3 6
" "
5
(j) - arctan H" -1.19; (k) arctan 3 - 2 H" -0.262; (l) Ä„ - arctan 2 - 3 H" 2.88;
2
"
"
3 1 1 5
(m) - - 1 i + 3 - ; (n) 1 - 3i; (o) -i - 1; (p) - i;
2 2 13 13
Zad 7.
(a) Niech z1 = x1 + iy1 oraz niech z2 = x2 + y2i. Wtedy
|z1 · z2| = |(x1 + y1i) · (x2 + y2i)| = |(x1y2 + x2y1) i - y1y2 + x1x2|
= (x1x2 - y1y2)2 + (x1y2 + x2y1)2 = y12y22 + x12y22 + x22y12 + x12x22
= y12 + x12 · y22 + x22
= |z1| · |z2| .
Zad 8.
" "
3 3 3 3 3 3
(a) z1 = -3, z2 = 0, z3 = + i, z4 = - i; (b) z = -1 + 4i; (c) z1 = k, z2 = -2 + ki k " R;
2 2 2 2
(d) z = k, k " R;
Zad 9.
" " " "
" "
2 2 1 3 3 1
(a) -3; (b) 4 + 4 3i; (c) - 3 - i; (d) - + i; (e) - i; (f) - i;
2 2 2 2 2 2
Zad 10.
Politechnika Szczecińska 5 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA LICZBY ZESPOLONE - ODPOWIEDZI
"
Ä„ Ä„ 7 7 1 1
(a) cos + i sin ; (b) 2 cos Ä„ + i sin Ä„ ; (c) 2 cos Ä„ + i sin Ä„ ;
2 2 4 4 3 3
"
"
2 3 7 7 11 11 4 4
(d) cos Ä„ + i sin Ä„ ; (e) 2 cos Ä„ + i sin Ä„ ; (f) cos Ä„ + i sin Ä„ ;
3 6 6 6 6 3 3
11 11 Ä„ Ä„
(g) 18 cos Ä„ + i sin Ä„ ; (h) cos - Ä… + i sin - Ä… ; (i) - (cos (-Ä…) + i sin (-Ä…));
6 6 2 2
1
(j) (cos Ä… + i sin Ä…);
cos Ä…
Zad 11.
" " "
1 32 1
(a) -1; (b) -4; (c) 64 2i + 64 2; (d) ; (e) 2; (f) - i - ; (g) 29(1 - 3i); (h) -1;
212312 25 25
"
(i) 210i; (j) 2 3 + 2 i + 2; (k) 2i;
Zad 12.
" " " " " "
i 3 i 3 i 3 i 3 3 i i 3
(a) z1 = - , z2 = -i, z3 = + ; (b) z1 = i, z2 = - , z3 = - - , z4 = -i, z5 = - , z6 = + ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2Ä„ 2Ä„ 4Ä„ 4Ä„ 4Ä„ 4Ä„ 2Ä„ 2Ä„
(c) z1 = i sin + cos , z2 = i sin + cos , z3 = cos - i sin , z4 = cos - i sin , z5 = 1;
5 5 5 5 5 5 5 5
" " " "
" "
3-1 i- 3-1 3+1 i- 3+1
( ) ( )
3i-3 3 3i+3 3
(d) z1 = , z2 = -3i, z3 = ; (e) z1 = , z2 = - , z3 = i + 1;
2 2 2 2
" "
(f) z1 = 1 - 3i, z2 = 3i + 1, z3 = -2; (g) z1 = -4i - 1, z2 = 4i + 1;
" " " "
3-1 i- 3-1 3+1 i- 3+1
( ) ( )
(h) z1 = - , z2 = , z3 = -i - 1;
2 2
" " " " " " " "
6i- 2 2i+ 6 6i- 2 2i+ 6
(i) z1 = , z2 = - , z3 = - , z4 = ;
2 2 2 2
(j) z1 = 8i, z2 = -8, z3 = -8i, z4 = 8;
(a) (b) (c)
Im z Im z Im z

1
2 2
1 i 3
3 i 3 i

3 i
2 2 2 2
1 i
0.5
1 1
Zad 13.
Re z Re z Re z
2 1 1 2 2 1 1 2 1 0.5 0.5 1
1 1
0.5
1 i
3


i
3 i 3 i


1 i 3
2 2
2 2 2 2
1
Zad 14.
(a) sin(3x) = 3 cos2 x sin x - sin3(x), cos(3x) = cos3 x - 3 cos x sin2 x;
(b) sin(4x) = 4 cos3 x sin x - 4 cos x sin3 x, cos(4x) = cos4 x - 6 sin2 x cos2 x + sin4 x;
(c) sin(5x) = sin5 x - 10 cos2 x sin3 x + 5 cos4 x sin x, cos(5x) = cos5 x - 10 sin2 x cos3 x + 5 sin4 x cos x;
Zad 15.
(a) (b) (c)
Im z Im z
Im z
1.5
2
Re z
1.0
1 2
1
0.5
Re z
1 Re z
1 1 2 3
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.5
1
1.0
2
2
1.5
Politechnika Szczecińska 6 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA LICZBY ZESPOLONE - ODPOWIEDZI
(d) (e) (f)
Im z Im z Im z
3
2 2
2
1 1
1
Re z
Re z Re z
3 2 1 1 2 3
2 1 1 2 2 1 1 2
1
1 1
2
2 2
3
(g) (h) (i) z " "
Im z
Im z
3
4
2
2
1
Re z
Re z
0
3 2 1 1 2 3
2 4 6 8
1
2
2
4 3
Zad 16.
(a) -1; (b) ei; (c) 1; (d) cos(1) + i sin(1) H" 0.54 + 0.84 i; (e) cos(2) - i sin(2) H" 0.42 - 0.91 i;
" " " "
2 2 1 i 3
(f) e - i - ; (g) e2 3 i - ; (h) e2 - - .
2 2 2 2 2 2
Zad 17.
"
" "
7 5
Ä„ Ä„ Ä„
i i
2 3
4
(a) eĄi; (b) eln 2+ i; (c) e- 2
; (d) eln 2- 3
; (e) 53 ei(arctan( )-Ä„); (f) 34 e-i arctan( );
Politechnika Szczecińska 7 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA MACIERZE
Macierze
Zad 1. Wykonaj działania:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 0 0 6 3 1 0 3 1
1 3 2 1
1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚; ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚;
(a) 2 2 5 3 + 9 3 -9 (b) + 2 ; (c) 3 2 0 - 1 1
3
-2 1 0 4
-3 1 5 3 0 12 1 1 -1 0
Zad 2. Dane sÄ… macierze:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 0 -1 2 3 -2 1 2
1 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 1 -2 B = 0 1 C = 0 -1 3 .
2 2
1
0 1 2 -2 0 -1 1 1
2
Wyliczyć:
(a) A · B; (b) B · A; (c) A · C; (d) C · A; (e) BT · C; (f) C · B;
(g) (3A + B)T · C; (h) (2A - B) · CT ; (i) C3; (j) AT BT - (BA)T ;
Zad 3. Wylicz:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0
1 1
ïÅ‚ śł
1 -1 1 -1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚; ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł;
(a) 1 -1 0 · -2 (b) -2 · 1 -1 0 ; (c) ·
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 1 -1 1 2
3 3
-3
Zad 4. Rozwiązać równanie macierzowe:
1 0 0 0 0 2 1 2 -1 0
1
(a) X + = X - ; (b) 3 + X + = X;
2
0 2 0 0 4 0 -i 0 i 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 0 1 1 0 1 2 0 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚;
(c) 2Y 0 4 0 = 0 1 0 + Y 0 4 0
1 0 2 1 0 1 2 0 0
Zad 5. Rozwiązać układ równań macierzowych:
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 0
ôÅ‚
ôÅ‚ Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ X + Y = 0 2 0 1 -1 1 0
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚ X + Y =
0 0 2 -1 3 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
(a) ; (b) ;
0 0 2 3 1 2 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ół X + Y =
ôÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
X
ôÅ‚ - Y = 0 2 0 1 1 1 1
ôÅ‚
ół
2 0 0
Zad 6. Obliczyć wyznacznik:
5 3 -1 1 1 1 1 1 2
-1 3 2 5
(a) ; (b) ; (c) 1 -1 1 ; (d) 1 2 3 ; (e) 0 -2 5 ;
1 -1 -3 2
4 -3 -4 1 3 6 0 0 -6
Zad 7. Obliczyć wyznacznik:
1 2 3 -2 3 -2 0 5 1 3 4 5 0 a b c
4 2 -2 -1 -2 1 -2 2 3 0 0 2 1 x 0 0
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ;
4 5 2 -3 0 -2 5 0 5 1 2 7 1 0 y 0
4 2 2 -3 5 0 3 4 2 0 0 3 1 0 0 z
2 1 4 3 5 3
1 2 3 -3 1 3 2 0 0 0
5 6 8 7 4 2 1 2 3 4
2 3 1 0 2 0 3 2 0 0
8 9 7 6 0 0 4 3 2 1
(e) 0 2 1 -1 0 ; (f) ; (g) 0 0 3 2 0 ; (h) ;
2 3 5 4 0 0 5 6 7 8
2 0 1 -2 2 0 0 0 3 2
4 3 0 0 0 0 8 7 6 5
0 2 1 0 3 2 0 0 0 3
6 5 0 0 0 0
2 1 3 -1 1 3 5 1
1 3 -1 2 -3 5 1 1
(i) ; (j) ;
3 -1 2 1 a b c d
a b c d -5 1 1 3
Zad 8. Rozwiązać równanie:
x 1 1 2 x + 2 -1 1 2 3
(a) 1 x 1 = 0; (b) 1 1 -2 = 0; (c) 1 3 - x 3 = 0;
1 1 x 5 -3 x 1 2 5 + x
Politechnika Szczecińska 8 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA MACIERZE
Zad 9. Rozwiązać nierówność:
2 x + 2 -1 2x - 5 x - 2 x - 3
2 x + 2 x 2
(a) < ; (b) 1 1 -2 > 0; (c) 3x - 1 x - 1 x + 2 > 0;
3 x -3 x
5 -3 x 3x + 2 x - 1 2x + 3
Zad 10. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
1 1 1 1 2 2
ïÅ‚ śł
1 -1 1 1 -1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚; (c) ðÅ‚ ûÅ‚; ïÅ‚ śł;
(a) ; (b) 1 2 3 2 1 -2 (d)
ðÅ‚ ûÅ‚
2 -3 1 -1 1 -1
1 3 4 2 -2 1
1 -1 -1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 1 0 2
1 0 0 1 2 1 1 0
ïÅ‚ śł
1 2 0 3 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 -1 0 0 2 1 3 2 1 3
ïÅ‚ śł; (g) ïÅ‚ śł; (h) ïÅ‚ śł;
(e) ; (f) 0 2 0 2 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
1 -3 0 1 1 1 1 2 0 2
ðÅ‚ ûÅ‚
2 0 0 1 0
2 1 1 2 2 0 2 1
1 0 1 0 0
Zad 11. Rozwiązać równania macierzowe:
-1 1 -2 -1 3 1 1 3 3 3
(a) X = ; (b) X = ;
3 -4 3 4 2 1 1 2 2 2
-1
1 3 5 6 0 3 1 2
(c) 3X + = X; (d) + 4X = ;
-2 1 7 8 5 -2 3 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -1 1 -1 3 2 -3 1 9 7 6 2 0 -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚; ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚;
(e) 2 1 0 X = 4 3 2 (f) 4 -5 2 X 1 1 2 = 18 12 9
1 -1 1 1 -2 5 5 -7 3 1 1 1 23 15 11
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 4 3
T 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 0 1 1 0 3 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł; (h) X 3 1 - 2 6 2 7 = 2 0
ðÅ‚ ûÅ‚;
(g) X =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1 0 0 1 0 4 2 1 1 2
2 1
0 0 1 1 0 2 1
Zad 12. Wyznaczyć rząd macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
1 3 1 1
ïÅ‚ śł
1 1 2 3 1 2 5
ïÅ‚ śł
0 3 4
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚; ðÅ‚ ûÅ‚; (d) 1 1 4 1 śł;
(a) ; (b) 2 5 7 7 (c) 2 4 10
ïÅ‚ śł
5 -2 1 1 1 1 5
ïÅ‚ śł
0 2 2 2 3 6 15
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 3 4
1 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 1 2 -1 7
ïÅ‚ śł
1 3 0 1 4 5 1 1 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 0 2 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
4 5 7 -1 2 2 2 2 3 -1
ïÅ‚ śł; (f) ïÅ‚ śł; (g) ïÅ‚ śł; (h) ïÅ‚ śł;
(e) 3 2 2 1 8
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
1 -1 4 2 2 7 0 0 1 -3
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 1 5 4
ðÅ‚ ûÅ‚
2 4 2 0 2 4 3 3 5 -3
-3 -1 -1 4 2
-1 -4 4
Politechnika Szczecińska 9 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA MACIERZE - ODPOWIEDZI
Macierze - odpowiedzi
Zad 1.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 -2 1 0 -1
5 5
ðÅ‚ ûÅ‚; ðÅ‚ ûÅ‚;
(a) 7 11 3 (b) ; (c) 5 -1
-2 9
-5 2 14 4 3
Zad 2.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 3
-1 2 0 6 2 -2 2 -1 - 5 2
2 2
7 3 9 1 3
ðÅ‚ ûÅ‚; (b) ðÅ‚ ûÅ‚; ðÅ‚-3 3 ûÅ‚; ðÅ‚- 1
(a) 1 (c) - 2 (d) 2 8ûÅ‚;
2 2 2 4 2 2 2
1 5 1
-4 -1 -2 1 -2 2 0 5 1
2 4 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
7 1 13
0 -2 -4 -2 - -7 -6 - -16 -5 -2
2 2 2
23
ðÅ‚-4 3 11 ûÅ‚; (f) ðÅ‚-6 - 1 -4ûÅ‚; (g) ðÅ‚ ûÅ‚; (h) ðÅ‚- 21 - 33 - 13 ûÅ‚;
(e) 5 -3
2 2 2 2 2 2 4
3 9 5 21
-7 8 -3 -1 -4 8 13 8
2 4 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
17
-11 7 0 0 0
2
1 27
ðÅ‚ ûÅ‚; (j) ðÅ‚0 0 0ûÅ‚;
(i) -6
2 2
13 1 11
0 0 0
2 4 2
Zad 3.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 0
ðÅ‚-2 2 0ûÅ‚ (c) 6
(a) 3 (b)
-6
3 -3 0
Zad 4.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
0
4 4
-2 0 -2 -1 -3
ðÅ‚0 1 0ûÅ‚;
(a) X = ; (b) X = ; (c) Y =
4
0 0 0 i -2
1 1
0
4 4
Zad 5.
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ 1 0 1
ôÅ‚ Å„Å‚
ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚X = 0 2 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ôÅ‚X = 0 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
1 1
îÅ‚1 0 1 Å‚Å‚
(a) ; (b) ;
ôÅ‚ ôÅ‚
1 0 -1
ôÅ‚ ôÅ‚Y = 1 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚Y = ïÅ‚ 0 0 0 śł ół
ôÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ 0 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-1 0 1
Zad 6.
(a) -2; (b) 19; (c) 58; (d) 1; (e) 12;
Zad 7.
(a) 0; (b) -289; (c) -10; (d) -ayz - bxz - cxy; (e) -45; (f) 8; (g) 275; (h) 0;
(i) -25d - 25c + 25a; (j) -108d + 48c - 24b - 60a;
Zad 8.
(a) [x1,2 = -2, x3 = 1]; (b) [x1 = -6, x2 = -4]; (c) [x1 = -2, x2 = 1];
Zad 9.
" "
3 5+3 3 5-3
(a) x " R; (b) x " (-6, -4); (c) x " -", - *" , 2 ;
2 2
Zad 10.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚1 2 2 Å‚Å‚
1 1 -1
9 9 9
3 -1
ðÅ‚ ûÅ‚; ðÅ‚2 1 - 2 ûÅ‚;
(a) ; (b) 1 -3 2 (c)
9 9 9
2 -1
2 2 1
-1 2 -1 -
9 9 9
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
-1 0 -1 1
4 4 4 4
1 1 1 1 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚-1 - 1 1 1 śł
- - -1
ïÅ‚ 4 4 4 4 śł; (e) 5 5 ïÅ‚ 2 2 2 śł;
(d) ; (f)
1 1 1 1 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚-1 1 - 1 1 ûÅ‚
- - -2
4 4 4 4 5 5 2 2 2
1 1 1 1
- - 2 0 1 -1
4 4 4 4
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
- 1 -
2 6 4
2 2 4 2
-1 -
7 7 7 ïÅ‚
1 -1 1 1 -1śł
3 5 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
- 1
ïÅ‚ 7 7 7 śł; (h) ïÅ‚- 1 1 - 1 -1 3 śł;
(g)
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ 2 2 4 2 śł
0 -1 1 1
ðÅ‚-1 1 - 1 -1 1 ûÅ‚
4 2 1
2
- 0
1 1 3 1
7 7 7
- 0 -
4 4 8 4
Politechnika Szczecińska 10 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA MACIERZE - ODPOWIEDZI
Zad 11.
17 9 1 1
11 3 -1 2 - -32 - -
32 2 2
(a) X = ; (b) X = ; (c) X = ; (d) X = ;
11 19 7 3
-24 -7 0 0 -
32 32 8 8
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 1
3
1 - 4 8 -3
2 ïÅ‚1 1 1śł
ðÅ‚2 ïÅ‚ śł; (g) X = 0
ðÅ‚2 ûÅ‚;
(e) X = 6 -6ûÅ‚; (f) X =
ðÅ‚0 1 0ûÅ‚
11 1
2 -5 6 -
2 2
0 1 1
Zad 12.
(a) 2; (b) 3; (c) 1; (d) 4; (e) 2; (f) 3; (g) 2; (h) 4;
Politechnika Szczecińska 11 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA UKA
ADY RÓWNAC

Układy równań
Zad 1. Rozwiązać układ równań Cramera:
Å„Å‚ Å„Å‚
x +y +2z = -1 3x +2y +z = 5
òÅ‚ òÅ‚
3x +2y = -1
(a) ; (b) 2x -y +2z = -4 ; (c) 2x +3y +z = 1 ;
2x -3y = -5
ół4x +y +4z = -2 ół2x +y +3z = 11
Å„Å‚ Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚2x + 3y - z + 5t = 0 ôÅ‚x + 2y + 3z - 4t = 4
x +2y +3z = 14
òÅ‚ òÅ‚3x - y + 2z - 7t = 0 òÅ‚
y - z + t = -3
(d) 4x +3y -z = 7 ; (e) ; (f) ;
ół ôÅ‚ - 3z + 6t = 0 x + 3y - 3t = 1
ôÅ‚
ôÅ‚4x + y ôÅ‚
x -y +z = 2
ółx - 2y + 4z - 7t = 0 ół
-7y + 3z + t = -3
Zad 2. Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru a. Podaj postać rozwiązania.
ax + 2ay = a + 1 (a - 1)x + (3a - 4)y = a + 1 (a - 1)x + (3a - 4)y = a + 1
(a) ; (b) ; (c) ;
2ax + ay = 0 2x + (a + 2)y = 4 ax + (a + 2)y = 4
ax + y = a + 1 (a - 1)x + (3 - a)y = 5 ax + 3ay = a + 2
(d) ; (e) ; (f) ;
ax + ay = 1 2x + ay = 5a ax + ay = 0
Å„Å‚
Å„Å‚ Å„Å‚
x
ôÅ‚ - y - z - t = ax
ôÅ‚
ax + 3y + az = 0 2ax + 4y - az = 4
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚-x + y - z - t = ay
(g) -ax + 2z = 3 ; (h) 2x + y + az = 1 ; (i) ;
ół ół(4 + 2a)x + 6y + az = 3 ôÅ‚-x - y + z - t = az
ôÅ‚
x + 2y + az = a
ół-x - y - z + t = at
Å„Å‚
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚2x + ay + az + at = 1
x + y + az = 1 (3
òÅ‚ òÅ‚ - 2a)x + (2 - a)y + z = a
òÅ‚2x + 2y + az + at = 2
(j) x + ay + z = 1 ; (k) (2 - a)x + (2 - a)y + z = 1 ; (l) ;
2x + 2y + 2z + at = 3
ółax + y + z = 1 ół ôÅ‚
ôÅ‚
x + y + (2 - a)z = 1
ół
2x + 2y + 2z + 2t = 4
Zad 3. Rozwiązać układ równań:
Å„Å‚
x
òÅ‚ - 2y + z + t = 1
3x - y + z = 2 x + 2y - 3z = 2
(a) ; (b) ; (c) x - 2y + z - t = -1 ;
6x - 2y + 2z = 1 5x - y + z = 1
ółx - 2y + z + 5t = 5
Å„Å‚
Å„Å‚ Å„Å‚
x + y
ôÅ‚ - 3z = -1
ôÅ‚
x
òÅ‚2x + y - 2z = 1 òÅ‚ - 2y + 3z = -7 2x
òÅ‚ - 3y = 8
(d) ; (e) 3x + y + 4z = 5 ; (f) x + y = -1 ;
x + y + z = 3
ôÅ‚ ół2x + 5y + z = 18 ół
ôÅ‚
5x - y = 7
ółx + 2y - 3z = 1
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
2x + y + z = 2 x + y
ôÅ‚ ôÅ‚ - 3z = -1 x + y + z = -1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚2x + y - 2z = 1 òÅ‚
x + 3y + z = 5 2x - y + z = 2
(g) ; (h) ; (i) ;
x + y + z = 3 5x
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ - y + 3z = 3
ôÅ‚2x + 3y - 3z = 14 ôÅ‚ ôÅ‚
ół ółx + 2y - 3z = 1 ół7x - 2y + 4z = 5
x + y + 5z = -7
Å„Å‚ Å„Å‚
Å„Å‚
5x
ôÅ‚ - 3y - z = 3
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚6x + 4y + 5z + 2t + 3u = 1
x
òÅ‚ òÅ‚ - 2y + z - 5t = 1
òÅ‚
2x + y - z = 1 3x + 2y + 4z + t + 2u = 3
(j) ; (k) -2x + 4y - 2z + t = 2 ; (l) ;
ôÅ‚ - 2y + 2z = -4 3x + 2y - 2z + t = -7
ół ôÅ‚
ôÅ‚3x ôÅ‚
-x + 2y - z - 4t = 4
ół ół
x - y - 2z = -2 9x + 6y + z + 3t + 2u = 2
Å„Å‚
Å„Å‚ Å„Å‚
x
ôÅ‚ - 3y + z = 0
ôÅ‚
x + 2y - 3z = 0 y + z + 3t = 0
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
2x + y - z = 1
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
4x + 8y - 7z + t = 1 2x + y - z - 3t = 2
(m) ; (n) 5x - y - z = 2 ; (o) ;
x + 2y - z + t = 1 x
ôÅ‚ ôÅ‚x - 10y + 4z = -1 ôÅ‚ - 2y + z + 2t = -1
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół-x + y + 4z + 6t = 0 ôÅ‚ ół2x + 3y + z + 3t = 1
ôÅ‚
ół
x + y + 2z = 1
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
x
òÅ‚ - y + 2z + t = 1 2x 2x
òÅ‚ - 4y + 3z = 5
òÅ‚ - y + 4z = 5
(p) 3x + y + z - t = 2 ; (q) 3x + 2y - 4z = 4 ; (r) -2x + 4y - 2z = -4 ;
ół5x - y + 5z + t = 4 ół-x + 10y - 10z = -6 ół
4x + y + 10z = 11
Politechnika Szczecińska 12 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA UKA
ADY RÓWNAC
- ODPOWIEDZI
Układy równań - odpowiedzi
Zad 1.
Å„Å‚ Å„Å‚
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ -8
7
ôÅ‚x = 0 ôÅ‚x =
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚x = òÅ‚x = 2 òÅ‚x = 1 òÅ‚y = 0 òÅ‚y = 0
3
x = -1
14
(a) (b) y = (c) -2 (d) y = 2 (e) (f)
y =
3
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚z = 0 ôÅ‚z = 0
y = 12
ółz = -4 ółz = 3 ółz = 3 ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
t = 0 t = -3.
Zad 2.
a+1
x = -
3a
(a) Dla a = 0 układ sprzeczny, dla a = 0 układ oznaczony: ;

2(a+1)
y =
3a
5y
x = 2 -
2
(b) Dla a = 2 układ sprzeczny, dla a = 3 układ nieoznaczony, zależny od jednego parametru: ,
y " R
6-a
x = -
a-2
dla a " {2, 3} układ oznaczony: ;
/
2
y =
a-2
(a-6)(a-3)
x = -
1 1 (a-2)(2a-1)
(c) Dla a " , 2 układ sprzeczny, dla a " , 2 układ oznaczony: ;
/
2 2 -a2+3a-4
y = -
(a-2)(2a-1)
a2+a-1
x =
(a-1)a
(d) Dla a " {0, 1} układ sprzeczny, dla a " {0, 1} układ oznaczony: ;
/
a
y = -
a-1
x = 5 - y
(e) Dla a = -3 układ sprzeczny, dla a = 2 układ nieoznaczony zależny od jednego parametru: ,
y " R
5a
x =
a+3
dla a " {-3, 2} układ oznaczony: ;
/
5(a+1)
y =
a+3
a+2
x = -
2a
(f) Dla a = 0 układ sprzeczny. Dla a = 0 układ oznaczony: ;

a+2
y =
2a
Å„Å‚
3a
ôÅ‚x = a2-4a+6
òÅ‚
a3-a2+3a
y =
(g) Dla a " R układ oznaczony : -
;
a2-4a+6
ôÅ‚
ół 3 a2-2a+3
( )
z =
a2-4a+6
(h) Dla a " R układ sprzeczny.
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚x = t
ôÅ‚
òÅ‚y = t
(i) Dla a = -2 układ nieoznaczony, zależny od jednego parametru: , dla a = 2 układ nieoznaczony,
ôÅ‚z = t
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
t " R
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ -t - y - z
ôÅ‚
ôÅ‚x = ôÅ‚x = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚y " R òÅ‚y = 0
zależny od trzech parametrów: , dla a " {-2, 2} układ oznaczony: ;
/
ôÅ‚z " R ôÅ‚z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
t " R t = 0
Å„Å‚
ôÅ‚ - y - z
òÅ‚x = 1
(j) Dla a = -2 układ sprzeczny, dla a = 1 układ nieoznaczony, zależny od dwóch parametrów: y " R ,
ôÅ‚
ółz " R
Å„Å‚
1
ôÅ‚
òÅ‚x =
a+2
1
dla a " {-2, 1} układ oznaczony: y = ;
/
ôÅ‚
ółz = a+2
1
a+2
Å„Å‚
ôÅ‚ - y - z
òÅ‚x = 1
(k) Dla a = 3 układ sprzeczny, dla a = 1 układ nieoznaczony, zależny od dwóch parametrów: y " R ,
ôÅ‚
ółz " R
Å„Å‚
ôÅ‚ -1
òÅ‚x =
4-a
dla a " {1, 3} układ oznaczony: - ;
/ y =
ôÅ‚
ółz = - a-3
1
a-3
Politechnika Szczecińska 13 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA UKA
ADY RÓWNAC
- ODPOWIEDZI
Å„Å‚
1-2a
ôÅ‚ -
ôÅ‚x = a-2
ôÅ‚
òÅ‚y = - 1
a-2
(l) Dla a = 2 układ sprzeczny, dla a = 2 układ oznaczony: ;

1
ôÅ‚z = -
ôÅ‚
a-2
ôÅ‚
ół
1
t = -
a-2
Zad 3.
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ - k2
1 4 ôÅ‚x = 2k1
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚x = k + òÅ‚y = k1 " R
11 11
16 9
(a) Układ sprzeczny (b) y = k + (c) (d) Układ sprzeczny
11
ôÅ‚ ôÅ‚z = k2 " R
ółz = k " R 11 ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Å„Å‚ Å„Å‚t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚x = 2 òÅ‚x = 1
x = 1
(e) y = 3 (f) (g) y = 2 (h) Układ sprzeczny
ôÅ‚ ôÅ‚
y = -2
ółz = -1 ółz = -2
Å„Å‚
2
ôÅ‚x = -k +2 k1-19
ôÅ‚
3
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
2 k-1 ôÅ‚y = k1 " R
ôÅ‚ - ôÅ‚
òÅ‚x = òÅ‚
3
k+4
(i) - (j) Układ sprzeczny (k) Układ sprzeczny (l) z = 13
y =
ôÅ‚ ôÅ‚
ółz = k "3 ôÅ‚t = k2 " R
ôÅ‚
R
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ółu = -34
Å„Å‚ Å„Å‚
3 k1-3
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ -
ôÅ‚x = 4 9 ôÅ‚x = 4
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚y = -2 òÅ‚x = òÅ‚y =
19 5 k1+4 k2-1
4 4
(m) (n) y = (o) Układ sprzeczny (p)
ôÅ‚z = 0 ôÅ‚ ôÅ‚z = k1 " R
ôÅ‚ ółz = 19 ôÅ‚
3
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
19
t = 1 t = k2 " R
Å„Å‚ Å„Å‚
5k+13 7k-8
ôÅ‚ ôÅ‚ -
òÅ‚x = òÅ‚x =
8 3
17k-7 2k-1
(q) y = (r) -
y =
16
ôÅ‚ ôÅ‚
ółz = k " R ółz = k " 3
R
Politechnika Szczecińska 14 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
ALGEBRA GEOMETRIA ANALITYCZNA
Geometria analityczna
Politechnika Szczecińska 15 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
Funkcje jednej zmiennej
Granice ciągów
Zad 1. Oblicz granicę ciągów:
n3+2n2-1 2n4-2n+5 -n2+5n -n7+2n3+8
(a) an = ; (b) an = ; (c) an = ; (d) an = ;
3n4+n2+n n4+n n4-7n2-10 -n+n2+n7
3n3+2n2-n 1+2n+3n2+2n3 32n+1-7 3·22n+2-10
(e) an = ; (f) an = ; (g) an = ; (h) an = ;
2n2+n-3 -2+3n2+4n3 9n+4 5·4n-1+3
"
3
(n+3)(n-1)
3n-2n n2+1 3 10
(i) an = ; (j) an = ; (k) an = ; (l) an = - "
;
4n-3n n 3n2+5 n n
" " "
2n+1-3n+2 1+2n2- 1+4n2 -8n-1
q
(m) an = ; (n) an = ; (o) an = ; (p) an = ;
"n
"
3n-1 n 7n+2
n+ n+ n
"
log2(n+1) log2 n5
2+4n2 9log3 n
"
(q) an = ; (r) an = ; (s) an = ; (t) an = ;
3
log3(n+1) log8 n 4log2 n
n3+2n+1
1
"
(u) an = ;
4n2+7n-2n
Zad 2. Oblicz granicę ciągów:
" " " "
"
3 3
(a) an = n + 2 - n; (b) an = n2 + n - n; (c) an = n 2 - 2n3 + 5n2 - 7;
" "
" "
(d) an = n + n - n - n; (e) an = n(n - n2 - 1); (f) an = 4n2 + 5n - 2 - 2n;
" " " "
3
(g) an = n2 + 2 + n; (h) an = 3n2 + 2n - 5 - n 3; (i) an = n3 + 4n2 - n;
Zad 3. Oblicz granicę ciągów:
(-1)n (-1)n·n
n
(a) an = ; (b) an = 2-n cos(nĄ); (c) an = cos(3n2 + 1); (d) an = ;
2n-1 n2+1 n2+1
n sin(n!)
1 3n n 2n n 1
(e) an = ; (f) an = cos n3 - ; (g) an = sin(n!) + ; (h) an = sin2 ex;
n2+1 2n 6n+1 n2+1 3n+1 1-3n n
n(-1)n
2n n+1 n
(i) an = cos - ;
2n2-1 2n-1 1-2n n2+1
Zad 4. Oblicz granicę ciągów:
" "
n n
2n+(-1)n
n n n 2 3
(a) an = 3n + 4n; (b) an = 10n + 9n + 8n; (c) an = + ; (d) an = ;
3 4 3n+2
2n2+sin(n!) sin(nĄ)
3n+2n n!
n
(e) an = ; (f) an = ; (g) an = ; (h) an = ;
5n+4n 4n2+3 cos n2 4n2+2 nn
" "
n n
n 1 2 3 4
(i) an = 3 + sin n; (j) an = 1 + 5n2 + 2n5; (k) an = + + + ;
n n2 n3 n4
Zad 5. Oblicz granicę ciągów:
n2
n n -n+3
2 n+5 4 2n2+2
(a) an = 1 + ; (b) an = ; (c) an = 1 - ; (d) an = ;
n n n 2n2+1
n2 2n2
n n
4 n2+6 2 n2+1
(e) an = 1 - ; (f) an = ; (g) an = 1 - ; (h) an = ;
n2 n2 3n n2+6
2+4n
3 n
ln 1+ 2n+1
( )
(n+1)2n
n 1 n+1
(i) an = ; (j) an = ; (k) an = 1 + ; (l) an = ;
1
2n n-2
(n2+2n)n2+2n
n
2n 3n n
n-1 2n+2 2n+1
(m) an = ; (n) an = ; (o) an = ; (p) an = n [ln(n + 1) - ln n];
n+1 2n-3 3n-2
Politechnika Szczecińska 16 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ GRANICE CI
GÓW - ODPOWIEDZI
Granice ciągów - odpowiedzi
Zad 1.
1 48 1
(a) 0; (b) 2; (c) 0; (d) -1; (e) "; (f) ; (g) 3; (h) ; (i) 0; (j) 0; (k) ;
2 5 3
"
4
(l) 0; (m) -27; (n) 1; (o) 2; (p) "; (q) 2; (r) log2 3; (s) 15; (t) 1; (u) .
7
Zad 2.
" "
"
3
1 2 5 3 4
(a) 0; (b) ; (c) 4 16; (d) 1; (e) ; (f) ; (g) "; (h) ; (i) .
2 2 4 3 3
Zad 3.
1 2
(a) 0; (b) 0; (c) 0; (d) 0; (e) 0; (f) - ; (g) - ; (h) 0; (i) 0.
2 9
Zad 4.
3 2 3 1
(a) 4; (b) 10; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) 0; (h) 0; (i) 1; (j) 1; (k) 1;
4 3 5 2
Zad 5.
"
2
(a) e2; (b) e5; (c) e4; (d) e; (e) e-4; (f) e6; (g) e- 3
; (h) e-10; (i) 3; (j) e; (k) e;
15
2
(l) e3; (m) e-4; (n) e ; (o) 0; (p) 1;
Politechnika Szczecińska 17 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ GRANICE FUNKCJI
Granice funkcji
Zad 1. Oblicz granice funkcji:
"
3x2+2x+5 x2-x+9 2x2+4x-1
(a) lim ; (b) lim ; (c) lim ; (d) lim x2 + x - 2 - x ;
1-2x3 3-7x-2x2 3x2-4x+7
x" x" x" x"
" " " "
"
1
(e) lim x - x2 - 7 ; (f) lim x + 3 - x + 5; (g) lim x + 1 - x x + ;
2
x" x" x"
"
"
1 x2+x-2
" "
(h) lim ; (i) lim x2 + x + 1 + x ; (j) lim ;
x
x+1- x-1
x" x-" x-"
Zad 2. Obliczyć granice funkcji:
" "
(x-1) 2-x
x+16-4 1 1 1 x2-5x+6 8x3-1
(a) lim ; (b) lim - ; (c) lim ; (d) lim ; (e) lim ;
x x x+3 3 x2-8x+15 x2-1 6x2-5x+1
1
x0 x0 x3 x1
x
2
" " " "
3 3
x- x 1+x- 1-x x2- x
1 3 x3-1
" "
(f) lim ; (g) lim - ; (h) lim ; (i) lim ; (j) lim ;
x 1-x 1-x3 x x-1 x2-1
x0 x1 x0 x1 x1
" "
2
125-x3 8x3-1 x4-1 2- x+3
"x +1-1
(k) lim ; (l) lim ; (m) lim ; (n) lim ; (o) lim ;
2x-10 2x2+3x-2 x3-1 x2-1
1 x2+9-3
x5 x1 x1 x0
x
2
" " "
3
x-1 x+16-4
1+x2-1 x2-9
(p) lim ; (q) lim ; (r) lim ; (s) lim ;
x-1 x2 x+3 x2
x1 x0 x-3 x0
Zad 3. Obliczyć granice funkcji:
sin(3x) tg(2x) 1+cos(Ä„x)
sin x 1-cos x
"
(a) lim ; (b) lim ; (c) lim ; (d) lim ; (e) lim ;
x x 3x tg2(Ä„x) x2
x0 x0 x0 x1 x0
x
cos
tg(2x) sin(5x)
x sin x Ä„
2
" "
(f) lim ; (g) lim ; (h) lim ; (i) lim ; (j) lim - x tg x;
sin(5x) x-Ä„ 1-cos(2x) Ä„ 2
x+3- 3
x0 x0 xĄ x0 x
2
" "
tg x-sin x
sin x cos x-sin x 1 1 2- 1+cos x
(k) lim ; (l) lim ; (m) lim ; (n) lim - ; (o) lim ;
x2
Ä„ cos(2x) x3 sin x tg x sin2 x
1-
xĄ x x0 x0 x0
Ä„2 4
"
"
" "
Ä„
sin(x- ) 1+x sin x- cos(2x)
1+sin x- 1-sin x 2 arcsin x
6
"
(p) lim ; (q) lim ; (r) lim ; (s) lim ;
3
Ä„ tg x 3x tg2 x
x -cos x x0 x" x0 2
2
6
Zad 4. Obliczyć granice funkcji:
x2 2x-1 x
ctg2 x
x2+1 x+1 3x-2
(a) lim ; (b) lim ; (c) lim ; (d) lim 1 + 3 tg2 x ;
x2-1 x-2 2x-1
x" x" x" x0
1 1
ln x-1
sin x x
(e) lim (1 + sin x) ; (f) lim (sin x)tg x; (g) lim (ex + x) ; (h) lim ;
Ä„ x-e
x0 x x0 xe
2
"
1
x ex-e-x
x
(i) lim x (ln(x + 4) - ln x); (j) lim 1 - 2x; (k) lim x e - 1 ; (l) lim ;
sin x
x" x0 x" x0
ln(1+cos x)
(m) lim ;
Ä„ ln(1+cos 3x)
x
2
Zad 5. Zbadaj istnienie granicy i naszkicuj wykres funkcji:
1
1
x+|x|
1 2x2-1 1 1
x-1
x
(a) lim ; (b) lim ; (c) lim ; (d) lim 2 ; (e) lim e ; (f) lim ; (g) lim ;
1
x-2 x2 (x+3)2 2x
x2 x0 x-3 x0 x1 x0 x0 x
1+e
(x3-1)|x|
(h) lim ;
x
x0
Politechnika Szczecińska 18 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ GRANICE FUNKCJI - ODPOWIEDZI
Granice funkcji - odpowiedzi
Zad 1.
1 2 1 1 1
(a) 0; (b) - ; (c) ; (d) ; (e) 0; (f) 0; (g) ; (h) "; (i) - ; (j) -1;
2 3 2 2 2
Zad 2.
1 1 1 2 3 75 6
(a) 0; (b) - ; (c) ; (d) ; (e) 6; (f) -1; (g) -1; (h) ; (i) 3; (j) ; (k) - ; (l) ;
9 2 2 3 2 2 5
4 1 1 1 1
(m) ; (n) - ; (o) 3; (p) ; (q) ; (r) -6; (s) ;
3 8 2 3 8
Zad 3.
"
"
2 1 1 2 1 1 Ä„ 2
(a) 3; (b) 0; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) 10 3; (h) - ; (i) ; (j) 1; (k) ; (l) ;
3 2 2 5 2 2 2 2
"
1 2 2
(m) ; (n) 0; (o) ; (p) 2; (q) 1; (r) ; (s) 6;
2 8 3
Zad 4.
1 1
(a) e2; (b) e6; (c) "; (d) e3; (e) e; (f) 1; (g) e2; (h) ; (i) 4; (j) ; (k) 1; (l) 2;
e e2
1
(m) - ;
e
Zad 5.
(a) Granica nie istnieje (b) -" (c) "
10
4
8
2
5
6
3 2 1 1 2 3
2
4
4
1 1 2 3 4 5
6 2
5 8
10 6 4 2
(d) Granica nie istnieje (e) Granica nie istnieje (f) Granica nie istnieje
10
10 3
2
8
8
1
6
6
4 4
3 2 1 1 2 3
1
2 2
2
3 2 1 1 2 3 2 2 4 3
(g) Granica nie istnieje (h) Granica nie istnieje
2.0 5
4
1.5
3
1.0
2
0.5
1
4 2 2 4
3 2 1 1 2 3
0.5
1
1.0 2
Politechnika Szczecińska 19 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
Ciągłość funkcji
Politechnika Szczecińska 20 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ POCHODNE
Pochodne
Zad 1. Oblicz pochodnÄ… funkcji:
"
"
" "
2x3-3x+ x-1
3
"2 3
(a) f(x) = x - 2; (b) f(x) = ; (c) f(x) = - x; (d) f(x) = 7x sin x;
3
x
x2
"
1 1
(e) f(x) = x arc tg x; (f) f(x) = x3 ln x; (g) f(x) = x2 sin x log x; (h) f(x) = ;
2 log2 x
sin x 5x2+x-2 cos x x
(i) f(x) = ; (j) f(x) = ; (k) f(x) = ; (l) f(x) = - arctan x;
1+cos x x2+7 ex 1+x2
"
3
x
arccos x 10x 4x sin x
"
(m) f(x) = ; (n) f(x) = ; (o) f(x) = ; (p) f(x) = ;
3
1- x x ex sin x 1+2x3 tg x
Zad 2. Oblicz pochodnÄ… funkcji:
(a) f(x) = (1 + x2)6; (b) f(x) = (3x + x2)3 (c) f(x) = cos 2x; (d) f(x) = sin(1 + 7x);
" "
1+x
(e) f(x) = tg(1 x); (f) f(x) = 1 + x2; (g) f(x) = sin x + 2x2; (h) f(x) = ;
3 1-x
3 x
(i) f(x) = (x2 + x - 2)2; (j) f(x) = tg4 x; (k) f(x) = cos2 x; (l) f(x) = tg( );
2
" "
2x-1
"
(m) f(x) = arcsin ; (n) f(x) = ln x; (o) f(x) = sin 1 + x2; (p) f(x) = sin(sin x);
3
" "
1 ln x
(q) f(x) = 2 + tg x + ; (r) f(x) = cos2 1-"x ; (s) f(x) = e ; (t) f(x) = 23x;
x 1+ x
"
2 x
ln x
(u) f(x) = sin ex +3x+2 ; (v) f(x) = ln(sin 8x); (w) f(x) = log4 1 + x4; (x) f(x) = e ;
x sin(1+x2)
"
(y) f(x) = ; (z) f(x) = log2(log3(log5 x));
1+x3
Zad 3. Oblicz pochodnÄ… funkcji:
2 2
x
(a) f(x) = xx; (b) f(x) = xx ; (c) f(x) = (sin x)cos x; (d) f(x) = xln x; (e) f(x) = (x + 1) ;
"
"
x
x
x x 1
(f) f(x) = x; (g) f(x) = x ; (h) f(x) = xe ; (i) f(x) = 1 + ; (j) f(x) = (ln x)x;
x
x
x x
2
(k) f(x) = xx ; (l) f(x) = (ln x)e ; (m) f(x) = (tg 2x)ctg ;
Zad 4. Obliczyć f (x), f (x), f (x) dla funkcji:
2 ex
(a) f(x) = x3 - ; (b) f(x) = x sin x; (c) f(x) = ; (d) f(x) = x4 ln x; (e) f(x) = ecos x;
x x
Zad 5. Funkcja g ma pochodne do drugiego rzędu włącznie. Obliczyć f (x), f (x) dla podanych funkcji złożonych:
1
(a) f(x) = g(x2); (b) f(x) = g(ex); (c) f(x) = g( ); (d) f(x) = g(ln x); (e) f(x) = g(g(x2));
x
(f) f(x) = eg(x); (g) f(x) = xg(3x);
Zad 6. Zakładając, że funkcje f(x) i g(x) posiadają pochodne właściwe, obliczyć pochodne funkcji:
f(x) sin f(x)
3
(a) y(x) = logf(x) g(x); (b) y(x) = sin ; (c) y(x) = f2(x) + g2(x); (d) y(x) = ;
g(x) cos g(x)
Zad 7. Wyprowadzić wzór na n-tą pochodną funkcji:
2
(a) f(x) = sin x; (b) f(x) = cos(-2x); (c) f(x) = e-3x; (d) f(x) = ex sin x; (e) f(x) = ex ;
1
(f) f(x) = ln(1 - x); (g) f(x) = ;
(1-x)2
Politechnika Szczecińska 21 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ POCHODNE - ODPOWIEDZI
Pochodne - odpowiedzi
Zad 1.
2 5 2
1 1 1 4 1
(a) x- 3
; (b) 4x - 3 - "
+ ; (c) - x- 3 - x- 3
; (d) 7 sin x + 7x cos x;
3 3 3
2 x3 x2
"
x
arctan x 1 1
"
(e) + ; (f) 3x2 ln x + x2; (g) x sin x log x + x2 cos x log x + x sin x;
2 x x2+1 2 2 ln 10
1 1 1 x2-74 x-7
(h) - ; (i) ; (j) - ; (k) -e-x (sin x + cos x);
log2 x x ln 2 cos x+1
(x2+7)2
2
2x2 1 arccos x 1 e-x10x ln 10 e-x10x e-x10x cos x
(l) - ; (m) ; (n) - - "
; (o) - - ;
4 2
x2 x 1-x2 sin x sin x sin x2
(x2+1)2
3 3
3x -6x+3x
4x sin x 4x tg x+2x2 sec2 x
( )
4x(ln(4) sin x+cos x)
(p) - ;
2x2 tg x+1
(2x2 tg x+1)2
Zad 2.
5 2
1
(a) 12x x2 + 1 ; (b) 3(2x + 3) x2 + 3x ; (c) -2 sin(2x); (d) 7 cos(7x + 1); (e) ;
3 cos2 x
( )
3
q
-x-1
2(2x+1) x2+x-2
( )
4x+cos(x) x-1 4 tan3(x)
x
" "
(f) ; (g) ; (h) ; (i) ; (j) ;
1-x2 cos2(x)
x2+1 3(x2+x-2)4/3
2 2x2+sin(x)
"
x cos x2+1
( )
1 1 1
q " " "
(k) - sin(2x); (l) ; (m) ; (n) ; (o) ;
1
x x2+1
2x ln x
-x2+x+
(2 cos(x)+2) tan
( ) 2
2
 
4 "
sin 2- "
log x
x+1
x2-1 e
q "
(p) cos(x) cos(sin(x)); (q) ; (r) - " "
; (s) ;
2
2 1 2x log x
x+1 x
( )
x2 cos 2x+ +1 tan x+ +2
( ( ) ) ( )
x x
x 2 2 x3 log3 x4+1
( )
(t) 23 3x ln 2 ln 3; (u) ex +3x+2(2x + 3) cos ex +3x+2 ; (v) 8 cot(8x); (w) ;
x4+1
x
4 x5+x2 cos x2+1 x3-2 sin x2+1
ln x ( ) ( )-( ) ( );
e (ln x-1)
1
(x) ; (y) (z) ;
ln(x)
ln2 x
2(x3+1)3/2
x ln(2) ln(x) ln
( )
ln(5)
Zad 3.
2
(a) xx (ln x + 1); (b) xx (2x ln x + x); (c) -sin xcos x-1 sin2 x ln (sin x) - cos2 x ;
2
1
2 ln(x+1)
2 -2
x
x
(d) 2xln x-1 ln x; (e) (x + 1) - ; (f) -x (ln x - 1);
x(x+1) x2
"
1 x
1 1 1
x-
x 1+ x ln 1+ +ln 1+
2 ( ) ( ( ) ( )-1
)
x (ln x+2)
x x x
(g) ; (h) xe -1ex (x ln x + 1); (i) ;
2 x+1
x-1
x
ex(ln x)e (x ln x ln(ln(x))+1)
(j) ln xx-1 (ln x ln (ln x) + 1); (k) xx xx ln x (ln x + 1) + xx-1 ; (l) ;
x
x
x
2 cot
( )
ln(tan(2x))
2
2
(m) (tan(2x))cot( ) - ;
sin(2x) cos(2x)
2 sin2 x
( )
2
Zad 4.
2 4 12
(a) f (x) = + 3x2, f (x) = - + 6x, f (x) = 6 + ;
x2 x3 x4
(b) f (x) = x cos x + sin x, f (x) = 2 cos x - x sin x, f (x) = -x cos x - 3 sin x;
ex 2-2x+x2 ex
( ) (-6+6x-3x2+x3
)
ex(-1+x)
(c) f (x) = , f (x) = , y (x) = ;
x2 x3 x4
(d) f (x) = x3(1 + 4 ln x), f (x) = x2(7 + 12 ln x), f (x) = 2x(13 + 12 ln x);
1
(e) f (x) = -ecos x sin x, y (x) = ecos x - cos x + sin2 x , f (x) = ecos x(1 + 6 cos x + cos(2x)) sin x;
2
Zad 5.
(a) f (x) = 2xg x2 , f (x) = 2g x2 + 4x2g x2 ; (b) f (x) = exg (ex), f (x) = exg (ex) + e2xg (ex);
1 1 1
g x 2g x g x
( ) ( ) ( )
g (ln x) -g (ln x)+g (ln x)
(c) f (x) = - , f (x) = + ; (d) f (x) = , f (x) = ;
x2 x3 x4 x x2
2
(e) f (x) = 2xg x2 g g x2 , f (x) = 2g x2 g g x2 + 4x2g g x2 g x2 + 4x2 g x2 g g x2 ;
(f) f (x) = eg(x)g (x), f (x) = eg(x) (g (x))2 + eg(x)g (x); (g) y (x) = g(3x) + 3xg (3x), f (x) = 6g (3x) + 9xg (3x);
Zad 6.
ln g(x)f (x) g (x) f(x) f (x) f(x)g (x)
(a) y (x) = - + ; (b) y (x) = cos - ;
f(x) ln2 f(x) g(x) ln f(x) g(x) g(x) g2(x)
2f(x)f (x)+2g(x)g (x) cos(f(x)) sin(f(x))
(c) y (x) = ; (d) y (x) = f (x) + tan(g(x))g (x);
cos(g(x)) cos(g(x))
3(f2(x)+g2(x))2/3
Politechnika Szczecińska 22 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ REGUA
A DE L HOSPITALA
Reguła de L Hospitala
Zad 1. Oblicz granicÄ™:
ln(ln x)
ex-e-x ex-e-x x-sin x
"ln x
(a) lim ; (b) lim ; (c) lim ; (d) lim ; (e) lim ;
x sin x x3 x
x0 x0 x0 x"
x1+ x2-1
e2x-1 1-x 1 1 x-tg x
(f) lim ; (g) lim ; (h) lim (1 - x) ln(1 - x); (i) lim - ; (j) lim ;
ln(1+2x) ln x x sin x x2 tg x
x0 x1 x0 x0
x1-
1
1
1 1 Ä„x
1-x
x
(k) lim x ; (l) lim x ; (m) lim - ; (n) lim (1 - x) tg ; (o) lim (tg x)tg x;
x2 x sin x 2
x1 x" x0 x1 x0
1
sin x
1 x
(p) lim ; (q) lim e2x + x .
x
x0 x0
Politechnika Szczecińska 23 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ PRZEBIEG ZMIENNOÅšCI FUNKCJI
Przebieg zmienności funkcji
Zad 1. Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji:
1
(a) y = ln x - ; (b) y = ln(1 - ln x);
x
Zad 2. Zbadaj granice funkcji na krańcach przedziału określoności:
(x-1)2
x ln x
(a) y = ; (b) y = ;
x-1 ln x
Zad 3. Znalez
ć asymptoty funkcji:
1
x2-x-2 x2-4 ln x
(a) y = ; (b) y = x + 3 arctan x; (c) y = x2e- x
; (d) y = ; (e) y = x + ;
2-x x2+x-6 x
2
3
x2 x+2 1 3-x2 x3+x2-2x
"
(f) y = ; (g) y = x ; (h) y = 2x + 1 + ; (i) y = ; (j) y = ;
(x+3)2 x-1 x 2-x x2-1
1 1
2
x
(k) y = e - x; (l) y = xe- x
; (m) y = 2x + ;
x-1
Zad 4. Znalez
ć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
2
(a) y = 2x3 - 3x2; (b) y = x2 ln x; (c) y = x - ln 1 + x2 ; (d) y = e-x 1 + x2 ;
1
ln 1
x2(x+1)
"x
(e) y = ; (f) y = ln x + ; (g) y = e ; (h) y = 2x3 - 6x2 - 18x + 7;
x ln x
x x
(i) y = ; (j) y = x2e-x; (k) y = ; (l) y = x - 2 arctan x;
ln x ex
Zad 5. Znalez
ć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:
x
(a) y = earctan x; (b) y = 1 - ln(x2 - 4); (c) y = ; (d) y = x2e-x;
ex
x3
(e) y = ln3 x - 2 ln x; (f) y = x3 - 3x2 + 3x + 7; (g) y = ; (h) y = 3x5 - 5x4 + 3x - 2;
(1+x)2
2
1
3
x+2
x
(i) y = x4(12 ln x - 7); (j) y = e - x; (k) y = x3e-x; (l) y = x ;
x-1
Zad 6. Znalez
ć wartość największą i najmniejsza funkcji we wskazanych przedziałach:
"
(a) f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x - 8, x " [-3, 6]; (b) f(x) = x - 2 x, x " [0, 5];
3
(c) f(x) = 2 sin x + sin 2x, x " [0, Ä„];
2
Zad 7. Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres:
5 6 2 5 1
(a) y = (x - 2)3(x - 4); (b) y = x - (x - 2)5; (c) y = x - (x - 2)4; (d) y = ;
6 3 arcsin x
2
1 1
3
x+2 3-x2
(e) y = x2e- x x
; (f) y = x ; (g) y = ; (h) y = e - x;
x-1 2-x
2
1
(i) y = x - log 1 + x2 ; (j) y = x2 log x; (k) y = e-x 1 + x2 ; (l) y = ln x + ;
ln x
x x
(m) y = ; (n) y = x2e-x; (o) y = ; (p) y = x - 2 arctan x;
ln x ex
x3
(q) y = 1 - ln x2 - 1 ; (r) y = ln3 x - 2 ln x; (s) y = ; (t) y = x3e-x;
(1+x)2
Politechnika Szczecińska 24 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ PRZEBIEG ZMIENNOÅšCI FUNKCJI - ODPOWIEDZI
Przebieg zmienności funkcji - odpowiedzi
Zad 1.
(a) x " (-1, 0) *" (1, "); (b) x " (0, e);
Zad 2.
(a) lim f(x) = 0, lim f(x) = 1, lim f(x) = "; (b) lim f(x) = 0, lim f(x) = 1, lim f(x) = ";
x1 x" x1 x"
x0+ x0+
Zad 3.
(a) y = -x - 1; (b) y = x; (c) x = 0; (d) x = -3, y = 1;
(e) x = 0, y = x; (f) x = -3, y = 1; (g) x = 1, y = x + 2; (h) ;
(i) x = 2, y = x + 2; (j) x = -1, y = x + 1; (k) x = 0, y = -x + 1; (l) y = x - 1;
(m) x = 1, y = 2x;
Zad 4.
(a) f : x " (-", 0) (" x " (1, "), f : x " (0, 1), fmax = (0, 0), fmin = (1, -1);
1 1 1
"
(b) f : x " (0, ), f : x " (1 , "), fmin = , - ;
e e 2e
2
(c) f : x " R, brak ekstremów;
(d) f : x " (-", 0), f : x " (0, "), fmax = (0, 1);
2
(e) f : x " (0, e), f : x " (e, "), fmax = e2, ;
e
1 1
(f) f : x " (0, ) (" x " (e, "), f : x " ( , 1) (" x " (1, e), fmax = (e-1, -2), fmin = (e, 2);
e e
27
2 2 2
4
(g) f : x " (- , 0), f : x " (-", -1) (" x " (-1, - ) (" x " (0, "), fmin = - , e ;
3 3 3
(h) f : x " (-", -1) (" x " (3, "), f : x " (-1, 3), fmin = (3, -47), fmax = (-1, 17);
(i) f : x " (e, "), f : x " (0, 1) (" x " (1, e), fmin = (e, e);
4
(j) f : x " (0, 2), f : x " (-", 0) (" x " (2, "), fmin = (0, 0), fmax = 2, ;
e2
1
(k) f : x " (-", 1), f : x " (1, "), fmax = 1, ;
e
Ä„ Ä„
(l) f : x " (-", -1) (" x " (1, "), f : x " (-1, 1), fmin = 1, 1 - , fmax = -1, - 1 ;
2 2
Zad 5.
1
1 1 1
2
(a) f : x " (-", ), f : x " ( , "), Pp = ( , earctan );
2 2 2
(b) f : x " (-", -2) (" x " (2, "), brak P p;
2
(c) f : x " (2, "), f : x " (-", 2), Pp = (2, );
e2
" " " "
(d) f : x " (-", 2 - 2) (" x " (2 + 2, "), f : x " (2 - 2, 2 + 2),
" " 2 " " " 2 "
Pp1 = (2 - 2, 2 - 2 e-2+ 2), Pp2 = (2 + 2, 2 + 2 e-2- 2)
" " " "
5 5 5 5
3 3 3 3
(e) f : x " (e1- , e1+ ), f : x " (0, e1- ) (" x " (e1+ , "),
" "
" "
5 5
5 5
8 8
3 3
3 3
Pp1 = (e1- , 4 - ); Pp2 = (e1+ , 4 + )
3 3
(f) f : x " (2, "), f : x " (-", 2), Pp(1, 8);
(g) f : x " (0, "), f : x " (-", -1) (" x " (-1, 0), Pp(0, 0);
(h) f : x " (1, "), f : x " (-", 1), Pp(1, -1);
(i) f : x " (1, "), f : x " (0, 1), Pp(1, -7);
1 1 1 1
(j) f : x " (- , 0) (" x " (0, "), f : x " (-", - ), Pp(- , e-2 + );
2 2 2 2
" " " "
(k) f : x " (0, 3 - 3) (" x " (3 + 3, "), f : x " (-", 0) (" x " (3 - 3, 3 + 3),
" "
" " " "
Pp1(0, 0), Pp2(3 + 3, 6 9 + 5 3 e-3- 3), Pp3(3 - 3, -6 -9 + 5 3 e-3+ 3);
3
(l) f : x " (-3, -2) (" x " (-2, 2) (" x " (2, "), f : x " (-", -3), Pp(-3, - );
52/3
Politechnika Szczecińska 25 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ PRZEBIEG ZMIENNOÅšCI FUNKCJI - ODPOWIEDZI
Zad 6.
"
(a) fmin = (3, -89), fmax = (6, 100); (b) fmin = (1, -1), fmax = (5, 5 - 2 5);
"
3 Ä„ 3
(c) fmin = Ä„, -2 , fmax = , 3 ;
2 3 2
Zad 7.
(a) (b) (c)
4
3
300
2
3
1
200
2
100
5 10 15
1
1
2
4 2 2 4
100
2 4 6 8 10 12 14 3
(d) (e) (f)
20
15
10
15
5 10
10
5
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 5
5
6 4 2 2 4 6
10
3 2 1 1 2 3
(g) (h) (i)
20
15
1
10
10
5
2 1 1 2 3 4 5
5
1
4 2 2 4 6
5
2
10
4 2 2 4
3
15
(j) (k) (l)
1.0
10
0.8
2.5
2.0
5
0.6
1.5
0.4
1.0
2 4 6 8 10
0.2
0.5
5
0.5 1.0 1.5 2.0 4 2 2 4 10
(m) (n) (o)
1.0
10
0.2
0.8
5
2 4 6
0.6
0.2
0.4
0.4
2 4 6 8 10
0.6
0.2
5
0.8
10 2 4 6 1.0
Politechnika Szczecińska 26 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ PRZEBIEG ZMIENNOÅšCI FUNKCJI - ODPOWIEDZI
(p) (q) (r)
6
2
2
4
1
2
7
1 2 3 4 5 6
4 2 2 4
2
1
6 4 2 2 4 6
4
2
2
(s) (t) (u)
5
1.0
6 4 2 2 4 6
0.5
5
10
2 2 4 6 8 10
0.5
15
1.0
20
1.5
Politechnika Szczecińska 27 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAA
KI NIEOZNACZONE
Całki nieoznaczone
Zad 1. Oblicz całkę:
(x2-1)3
2 5
(a) (5x2 - 6x + 3 - + )dx; (b) (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)dx; (c) dx;
x x2 x
" " "
3 4 "
2x2 3 x-5x+3x2ex-4 x x+ x
4
"
(d) dx; (e) dx; (f) (3 + 2 x)3dx;
3
x2 x
1-x2
"
(g) dx;
x x
Zad 2. Oblicz całkę (przez podstawienie):
"
xdx xdx xdx
"
(a) (x2 + 4)5xdx; (b) ; (c) ; (d) 3x + 1dx; (e) ;
3
1+x2 (x2+3)6
2x2-1
" "
5
dx ln x
"
(f) x 1 + x2dx; (g) (5 - 3x)10dx; (h) ; (i) x2 5x3 + 1dx; (j) dx;
x
1-4x2
"
"
x
ex 5 sin x e
"
(k) dx; (l) ; (m) ex sin exdx; (n) ex exdx; (o) dx;
e2x+1 3-2 cos x x
"
cos x
dx arcsin3 x dx
" " "
(p) dx; (q) ; (r) dx; (s) sin3 xdx; (t) ;
x x ln x
1-x2 4x-x2
3
arctan2 x dx dx cos x
" "
(u) x2ex dx; (v) dx; (w) ; (x) ; (y) dx;
1+x2 3+4x2
-9x2+18x-5 sin x
(z) tg xdx;
Zad 3. Oblicz całkę (przez podstawienie):
"
"
1+ ctg x
(a) tan2 xdx; (b) sin x cos xdx; (c) sin5 x cos xdx; (d) cos3 xdx; (e) dx;
sin2 x
" 1
"
arctan(ln x) x+ln x x
e 2x+1
(f) dx; (g) dx; (h) dx; (i) dx; (j) x x + 1dx;
x(1+ln2 x) x x2 x2+x+1
"
x ex x+1 cos 2x
"
(k) ; (l) ; (m) dx; (n) 2x cos(x2 + 1)dx; (o) dx;
ex-1 x cos2 x sin2 x
x+1
dx dx arcsin2 x sin 3x dx
" " "
(p) ; (q) ; (r) dx; (s) dx; (t) ;
sin2(5x+1) 3+cos 3x 2+ x
4-x2 1-x2
Zad 4. Oblicz całkę (przez części):
x
(a) x cos xdx; (b) x ln xdx; (c) ln xdx; (d) x2 sin xdx; (e) dx; (f) arcsin xdx;
cos2 x
(g) arccos xdx; (h) arctan xdx; (i) xe-3xdx; (j) ex sin xdx; (k) e-2x cos(3x + 2)dx;
"
" "
x
(l) cos2 xdx; (m) 6x ln x2dx; (n) ln xdx; (o) x sin2 xdx; (p) e dx; (q) cos xdx;
Zad 5. Oblicz całkę (wymierna):
dx 2 5-4x x2 x2+4
(a) ; (b) dx; (c) dx; (d) dx; (e) dx;
x2+2x+8 x2+6x+18 x2-4x+10 x2+2x+5 x2+3
x2+3x+2 ex ex dx dx
(f) ; (g) dx; (h) dx; (i) ; (j) ;
x2+x+1 (ex+2)(ex-1) e2x-4 ex-1 x(x-1)2
cos x x x2 dx x dx
(k) dx; (l) dx; (m) dx; (n) ; (o) ;
sin x(sin x-1)2 (x-1)2(x2+1) x3-1 x(x2+4) (x-1)(x+2)(x+3)
dx 2x4+5x2-2 x dx dx
(p) ; (q) dx; (r) dx; (s) ; (t) ;
x3-4x 2x3-x-1 1-x4 (x-2)2(x+3)3 x8+x6
x2+5x+7 x x dx dx
(u) dx; (v) dx; (w) dx; (x) ; (y) ;
x+3 x2-7x+13 2x2+3 x3+2x2+x x3-5x2+7x-3
Zad 6. Oblicz całkę (wymierna):
x x x2-5x+9 x+1 -x3+2x
(a) dx; (b) dx; (c) dx; (d) dx; (e) dx;
x3+1 (x-1)(x+1)2 x2+5x+6 (x2+4x+5)2 (x2+4)(x2+1)2
Zad 7. Oblicz całkę (trygonometryczna):
(a) sin x cos(3x)dx; (b) sin(3x) cos(2x)dx; (c) sin(2x) sin(5x)dx; (d) cos(7x) sin(-2x)dx;
(e) cos(2x) cos(3x)dx;
Politechnika Szczecińska 28 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAA
KI NIEOZNACZONE
Zad 8. Oblicz całkę (trygonometryczna):
dx dx dx sin x cos x sin3 x
(a) ; (b) ; (c) ; (d) dx; (e) dx;
sin x 5+4 cos x sin x cos3 x 1+sin4 x 3+sin2 x
dx dx dx dx
(f) ; (g) ; (h) ; (i) cos4 xdx; (j) ;
(sin2 x+3 cos2 x)2 sin x+cos x 3 sin x+4 cos x+5 sin x cos2 x
dx dx dx 2 sin x+3 cos x dx
(k) ; (l) ; (m) ; (n) dx; (o) ;
cos x cos2 x 1+sin x+cos x sin2 x cos x+2 cos3 x sin2 x cos x
cos x cos x dx
"
(p) sin5 xdx; (q) cos7 xdx; (r) dx; (s) dx; (t) ;
3
sin8 x cos3 x
sin2 x
1+tg x
cos x+sin x
(u) dx; (v) dx;
(sin x-cos x)2 sin(2x)
Zad 9. Oblicz całkę (niewymierna):
" " "
"
3 6
x+ x+ x x+1
dx dx
" " "
(a) dx; (b) " ; (c) ; (d) x 2 + 3xdx; (e) dx;
3 3
3
x
x(1+ x) 3x-4
(1+x)2+ 1+x
"
dx" dx dx dx
" " "
(f) ; (g) ; (h) ; (i) ; (j) x2 9 - x2dx;
3
x+ x x2+2x-3
x2+4x+5 x+ x2-x+1
"
" "
x3 dx x2-1
" "
(k) x3 1 + x2dx; (l) ; (m) ; (n) dx; (o) x2 + 25dx;
x
25+x2 x2 4+x2
" " "
dx x2
" "
(p) 1 - 4x2dx; (q) 36 - x2dx; (r) ; (s) x2 - 36dx; (t) dx;
(1+x2) 1+x2 1-3x2
"
9-x2 x2
"
(u) dx; (v) ;
x
x2-1
Politechnika Szczecińska 29 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAA
KI NIEOZNACZONE - ODPOWIEDZI
Całki nieoznaczone - odpowiedzi
Zad 1.
5x3 5 x5 x3 x6 3x4 3x2
(a) -2 ln |x| + - 3x2 + 3x - + C; (b) + + x + C; (c) - ln |x| + - + + C;
3 x 5 3 6 4 2
4 11 7 5
3
3 12 4 4
3x 4 x2 12x 32x 216x
2
(d) 3ex + + - 5 ln |x| + C; (e) + + C; (f) + 24x + + 27x + C;
2 x 2 11 7 5
3
2
2x 2
(g) - - "
+ C;
3 x
Zad 2.
2
6 3
3
x2+4 3 2x2-1
( ) 2 ( )
2(3x+1)
1 1
(a) + C; (b) ln(1 + x2) + C; (c) - + C; (d) + C; (e) + C;
12 2 9 8
10(x2+3)5
3 4
2 3
x2+1 5x3+1
( ) ( )
(5-3x)11 arcsin(2x)
1
(f) + C; (g) - + C; (h) + C; (i) + C; (j) ln2 x + C;
3 33 2 20 2
"
3
5 ln(|2 cos(x)-3|)
2 x x
2
(k) arctan ex + C; (l) + C; (m) - cos ex + C; (n) e + C; (o) 2e + C;
2 3
"
cos(x)3
1
(p) 2 sin x + C; (q) ln | ln x| + C; (r) arcsin4 x + C; (s) - cos (x) + C;
4 3
 
2x
3
"
arctan
4-2x ex arctan3 x 3
"
(t) - arcsin + C; (u) + C; (v) + C; (w) + C;
4 3 3
2 3
3x-3
arcsin
( )
2
(x) + C; (y) 2 sin (x) + C; (z) - ln |cos (x)| + C;
3
Zad 3.
3
2 1 1
2
(a) tan x - x + C; (b) sin x + C; (c) sin6 x + C; (d) sin x - sin3 x + C;
3 6 3
"
1
arctan(ln(x))2 ln(x)2
1 2 1
x
(e) - - + + C; (f) + C; (g) 2 + x + C; (h) e + C;
3
tg(x) 3 2 4
2
3tg(x)
5 3 3
"
2 2 2
2(x+1) 2(x+1) 2(x+1)
(i) ln |x2 + x + 1| + C; (j) - + C; (k) - 2 x + 1 + C; (l) ln |ex - 1| + C;
5 3 3
" "
"
(m) ln x + 1 - 1 - ln x + 1 + 1 + 2 x + 1 + C; (n) sin(x2 + 1) + C; (o) - tg x - ctg x + C;
arcsin3(x) ln(|cos(3x)+3|)
x 1
(p) arcsin + C; (q) - ctg (5x + 1) + C; (r) + C; (s) - + C;
2 5 3 3
" "
(t) 2 ( x + 2) - 4 ln ( x + 2) + C;
Zad 4.
x2 ln x x2
(a) x sin x + cos x + C; (b) - + C; (c) x ln x - x + C; (d) 2x sin x + 2 - x2 cos x + C;
2 4
" "
ln 4cos x2
( )
(e) + x tg x + C; (f) x arcsin x + 1 - x2 + C; (g) x arccos x - 1 - x2 + C;
2
-3x
ln x2+1
( )
ex(sin x-cosx) e-2x(-2 sin(3x+2)-3 cos(3x+2))
(h) x arctan x - + C; (i) -(3x+1)e + C; (j) + C; (k) + C;
2 9 2 13
"
sin(2x)+2x 2x sin(2x)+cos(2x)-2x2
1
(l) + C; (m) 6x2 ln x - 3x2 + C; (n) x ln x - x + C; (o) - + C;
4 2 8
"
" " " "
x
(p) 2 ( x - 1) e + C; (q) 2 (sin ( x) x + cos ( x)) + C;
Zad 5.
1 x+1 2 x+3 3 x-2
" "
(a) arctan + C; (b) arctan + C; (c) -2 ln x2 - 4x + 20 - arctan + C;
3 3 4 4
7 7
" "
3 x+1 3 3
(d) - ln x2 + 2x + 5 - arctan + x + C; (e) x + arctan x + C;
2 2 3 3
1 1 1 1
(f) x + ln(x2 + x + 1) + C; (g) ln |ex - 1| - ln |ex + 2| + C; (h) ln |ex - 2| - ln |ex + 2| + C;
3 3 4 4
1 1
(i) ln |ex - 1| - x + C; (j) ln |x| - ln |x - 1| - + C; (k) ln | sin x| - ln | sin x - 1| - + C;
x-1 sin x-1
ln x2+4
( )
ln |x|
1 1 1
(l) - arctan x - + C; (m) ln |x3 - 1| + C; (n) - + C;
2 2x-2 3 4 8
3 ln|x+3| 2 ln|x+2| ln|x-1| ln|x+2| ln|x| ln|x-2|
(o) - + + + C; (p) - + + C;
4 3 12 8 4 8
ln x2+1 ln x2-1
( ) | |
x2
(q) ln 2x2 + 2x + 1 + ln |x - 1| + arctan (2x + 1) + + C; (r) - + C;
2 4 4
3 ln|x+3| 3 ln|x-2|
6x2+21x-16 15x4-5x2+3
(s) - - + C; (t) - arctan x - + C;
625 625 250x3+1000x2-750x-4500 15x5
 
2x-7
"
7 arctan
ln x2-7x+13
| |
x2+4x 3 1
"
(u) ln |x + 3| + + C; (v) + + C; (w) ln(2x2 + 3) + C;
2 2 4
3
ln|x-1| ln|x-3|
1 1
(x) - ln |x + 1| + ln |x| + + C; (y) - + + + C;
x+1 4 4 2x-2
Politechnika Szczecińska 30 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAA
KI NIEOZNACZONE - ODPOWIEDZI
Zad 6.
 
2 x-1
"
arctan
ln x2-x+1
| |
ln|x+1| ln|x+1| ln|x-1|
3 1
"
(a) - + + C; (b) - + - + C;
6 3 4 4 2x+2
3
arctan(x+2)
x-3
(c) -33 ln |x + 3| + 23 ln |x + 2| + x + C; (d) - - + C;
2 2(x2+4x+5)
ln x2+4 ln x2+1
( ) ( )
1
(e) - - + C;
3 3 2x2+2
Zad 7.
cos(2x) cos(4x) cos(5x)+5 cos x sin(3x) sin(7x) cos(9x) cos(5x)
(a) - + C; (b) - + C; (c) - + C; (d) - + C;
4 8 10 6 14 18 10
sin(5x) sin(x)
(e) + + C;
10 2
Zad 8.
ln|cos x-1|
1 2 1 x 1 sin x 1
(a) + C; (b) arctan tan + C; (c) + ln + C; (d) arctan sin2 x + C;
2 ln|cos x+1| 3 3 2 2 cos2 x cos x 2
 
tan x
"
2 arctan
sin(2x)
3 cos x 3
" -
(e) - cos x - arctan + C; (f) + C;
2 2 6(cos(2x)+2)
3 3
"
"
x
tg +(1- 2)
2 2 1
2
"
(g) ln + C; (h) + C; (i) (12x + 8 sin(2x) + sin(4x)) + C;
x
x
2 -(1+ 2)
3+9 cot 32
tg
2
2
x
1+tg
x 1 x
2
(j) ln tan + + C; (k) ln x + C; (l) tg x + C; (m) ln tg + 1 + C;
2 cos x 1-tg 2
2
x
1+tg
2 4 2 cos x-1 1 1
2
(n) - ln |1 + cos x| + ln | cos2 x - cos x + 1| - 8 arctan + 12 arctan tg x + C; (o) ln x - + C;
3 3 3 2 1-tg sin x
2
5 cos x 5 1 35 sin x 7 7 1
(p) - + cos(3x) - cos(5x) + C; (q) + sin(3x) + sin(5x) + sin(7x) + C;
8 48 80 64 64 320 448
"
3
1 1
(r) - + C; (s) 3 sin x + C; (t) ; (u) + C;
7 sin7 x cos x-sin x
1 1
(v) tg x + ln | tg x| + C;
2 2
Zad 9.
1 " 1 1
1
6 3 6
6
(a) ln x + 6 arctan x + C; (b) -6 ln (x + 1) + 1 + 2 x + 1 - 3(x + 1) + 6(x + 1) + C;
2 3
3 2
(3x-4) 4(3x+2)
(c) + C; (d) + C;
2 9
"
" "
(e) - ln x + 1 + 1 + ln x + 1 - 1 + 2 x + 1 + C;
"
"
1 1 1
3 6 6
(f) 2 x - 3x + 6x - 6 ln x + 1 + C; (g) ln 2x + 2 + 2 x2 + 2x - 3 + C;
(h) ; (i) ;
3 "
x
81 arcsin x 9-x2 2 9x"9-x2 x2+1 3x4+x2-2
( ) ( ) ( )
3
(j) - + + C; (k) + C;
8 4 8 15
"
"
x2-50 x2+25
( )
x2+4
(l) + C; (m) - + C;
3 4x
" " "
1 1 25
(n) arcsin + x2 - 1 + C; (o) x x2 + 25 + ln x + x2 + 25 + C;
|x| 2 2
" "
arcsin(2x)
x 1-4x2 x x 36-x2
(p) + + C; (q) 18 arcsin + + C
4 2 6 2
"
"
x x x2-36
"
(r) + C (s) - 18 ln 2 x2 - 36 + 2x + C;
2
x2+1
 
3x
" "
" "
arcsin
3 x 1-3x2 6 9-x2 18
" -
(t) + C; (u) 9 - x2 - 3 ln + + C;
6 |x| |x|
6 3
"
"
ln 2 x2-1+2x
( )
x x2-1
(v) + + C;
2 2
Politechnika Szczecińska 31 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAA
KI OZNACZONE
Całki oznaczone
Zad 1. Oblicz całkę oznaczoną:
Ä„
e 2Ä„ 3 1
2
" "
(a) x ln xdx; (b) sin x + cos2 x dx; (c) 9 - x2dx; (d) x x + 1dx; (e) e2x cos xdx;
1 Ä„ 0 0 0
e 100Ä„ e 1 1
"
ln x arctan2 x
(f) | ln x|dx; (g) 1 - cos(2x)dx; (h) dx; (i) 3x + 1dx; (j) dx;
x 1+x2
0 1 0 0
e-1
2 3 4 Ä„ 1
x 2x4-5x2+3 dx dx
" "
(k) dx; (l) dx; (m) ; (n) x sin xdx; (o) ;
(x2+1)3 x2-1
1+ 2x+1 4-x2
-1 2 0 -Ä„ 0
"
2
1 6 4 4 "
2
1+ x
dx x2 arcsin x dx dx
" " "
(p) dx; (q) dx; (r) ; (s) ; (t) dx;
x2-x+1 x2
1-x2 x2-2x-8 -x2+6x-5
0 0 4 2 1
Ä„
2
(u) ctg xdx;
Ä„
4
Zad 2. Wykorzystując odpowiednie własności całek oznaczonych uprość wyrażenie:
Ä„ 1 4
"
2
x5
"
(a) ex sin xdx; (b) dx; (c) x2 + 1 cos x;
3-x2
-Ä„ -1 -4
Zad 3. Oblicz całkę niewłaściwą I-go rodzaju:
" " " " " "
dx arctan2 x dx dx dx dx
(a) dx; (b) dx; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ;
1+x2 1+x2 x2+9 x2 (x-3)2 2x2+4
"
-" -" 3 4 1
3
1
-
" " " " "
2
2
dx dx dx dx dx
(g) ; (h) ; (i) ; (j) ; (k) ; (l) xex dx;
x2-6x+13 x2+x+1 x2+2x+2 x(x+10)2 1+x3
0 -" -" 1 0 0
" " "
1
x (7x+2)
e
(m) dx; (n) e-x sin xdx; (o) dx;
x2 x3-5x2+12x-60
1 0 0
Zad 4. Oblicz całkę niewłaściwą II-go rodzaju:
1 1 2 16 16 1
x dx dx dx dx dx
" " " " "
(a) dx; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ;
3 3 4 4 5
1-x x
x4 x3 4x3 x3
0 0 0 0 0 0
"
8
a b 3 1 0
dx dx x x 1 2-x
3
" " " "
(g) ; (h) ; (i) dx; (j) dx; (k) dx;
(2-x)2 2+x
a2-x2 4-9x4 1-x2
(x-a)(x-b)
0 a 0 0 -2
Ä„
3 6 -1 1
4
x 2x x dx
" " "dx
(l) dx; (m) dx; (n) ; (o) dx; (p) ;
3
x-1 cos2(2x)
x2-4 x x2-1
(x2-4)2
2 0 -2 0 0
Zad 5. Oblicz wartość średnią zadanej funkcji we wskazanym przedziale:
(a) f(x) = x2; x " [0, 1]; (b) f(x) = 10 + 2 sin x + 3 cos x; x " [0, 2Ä„]; (c) f(x) = ex; x " [-2, 2];
x Ä„ Ä„
(d) f(x) = sin3 x; x " [0, Ä„]; (e) f(x) = ; x " [0, 2]; (f) f(x) = cos x; x " - , ;
1+x2 2 2
"
1
(g) f(x) = x sin x; x " [0, Ä„]; (h) f(x) = x 1 - x2; x " 0, ;
2
Zad 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
(a) y = x2, x = a, y = 0; (b) y = x2, y2 = x; (c) y2 = x, x2 = 8y; (d) y = x3, y = 4x;
(e) y = 2x3, y2 = 4x; (f) y = x3, y2 = x; (g) y = x2 - x - 6, y = -x2 + 5x + 14;
1
(h) y = 2x - x2, x + y = 0; (i) xy = 4, x + y = 5; (j) y = xe-2x, x = 0, x = , y = 0;
2
(k) (x - 6)2 + y2 = 36, y2 = 6x;
Zad 7. Obliczyć długość łuku krzywej na zadanym przedziale:
8
(a) y = x2; x " [0, 2]; (b) y2 = 4x3; y > 0, x " 0, ; (c) 9y2 = x3; x " [0, 12];
9
Ä„ Ä„ 1
(d) y2 = 2x - x2; x " [0, 1]; (e) y = ln sin x; x " , ; (f) y = ln 1 - x2 ; x " 0, ;
3 2 2
"
(g) y = arcsin x + 1 - x2; x " [-1, 1];
Politechnika Szczecińska 32 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAA
KI OZNACZONE - ODPOWIEDZI
Całki oznaczone - odpowiedzi
Zad 1.
" "
1 Ą 9Ą 4 eĄ-2 2
(a) e2 + 1 ; (b) - 2; (c) ; (d) 2 + 1 ; (e) ; (f) 2 - ; (g) 200 2; (h) ;
4 2 4 15 5 e
29 Ä„ 2Ä„
"
(i) ; (j) ; (k) ; (l) ; (m) 2 - ln 2; (n) 2Ä„; (o) ; (p) ;
3 6
3 3
1 Ä„ 7 1
(q) Ä„2 - 4Ä„ + 8 ; (r) ln 3; (s) ; (t) ; (u) ln 2;
64 3 4 2
Zad 2.
4
"
(a) 0; (b) 0; (c) 2 x2 + 1 cos x;
0
Zad 3.
"
" "
Ä„3 Ä„ 1 Ä„ 1 2 3Ä„
(a) Ä„; (b) ; (c) ; (d) ; (e) 1; (f) 2 - 2 arctan ; (g) ;
12 9 3 8 4 2 8
" "
"
3Ä„ 1 2 3Ä„ 1 1 1 1 25
(h) ; (i) Ä„; (j) - + ln 2; (k) ; (l) ; (m) e - 1; (n) ; (o) Ä„ 3 - ln ;
3 2 9 2 2 6 2 12
Zad 4.
"
3 5 Ä„ Ä„ 9
(a) "; (b) ; (c) "; (d) 8; (e) 4 2; (f) ; (g) ; (h) Ä„; (i) ; (j) 1; (k) - ;
2 2 2 12 64
" "
3
Ä„
(l) 5; (m) 9 4; (n) -Ä„ ; (o) ; (p) ";
3 2
Zad 5.
"
1 4 1 2 2 3 3
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ln 5; (f) ; (g) 1; (h) 1 - ;
3 3Ä„ 4 Ä„ 3 8
Zad 6.
1 1 8
(a) a3; (b) ; (c) ; (d) 8; (e) ; (f) ; (g) ; (h) ; (i) ; (j) ; (k) ;
3 3 3
Zad 7.
" "
1 52 56 Ä„ ln 3 1
(a) 17 + ln 4 + 17 ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ln 3 - ; (g) 4;
4 27 3 2 2 2
Politechnika Szczecińska 33 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
Funkcje wielu zmiennych
Pochodne czÄ…stkowe
Zad 1. Oblicz:
"
"u "u
(a) i jeżeli u = f(3x + ln y, x + ey);
"x "y
"z "z
(b) i jeżeli z = f(u, v) oraz u = 2x - y i v = ye-x;
"x "y
Politechnika Szczecińska 34 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH CAA
KI PODWÓJNE
Całki podwójne
Zad 1. Oblicz całkę po prostokącie:
Ä„ Ä„
(a) sin(x - y)dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " 0, ; y " 0, ;
4 3
D
1
(b) dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " [0, 1]; y " [0, 1] ;
(x+y+1)2
D
2
(c) y3ex dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " [0, 2]; y " [-1, 1] ;
D
(d) x2yexydxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " [0, 1]; y " [0, 2] ;
D
x
(e) dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " [1, 2]; y " [4, 6] ;
y2
D
Ä„
(f) x2y cos(xy2)dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " 0, ; y " [0, 2] ;
2
D
ln(x2+y2)
(g) dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : 1 d" x2 + y2 d" e ;
x2+y2
D
(h) e2x-ydxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " [0, 2]; y " [0, 1] ;
D
x2
(i) dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " [0, 1]; y " [0, 2] ;
1+y2
D
x
(j) xy ln dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x " [1, e]; y " [1, 2] ;
y
D
Zad 2. Oblicz całkę po zadanym obszarze:
(a) (2x + 1)dxdy gdzie D-trójkat o wierzchołkach (-1, 1), (1, 1), (0, 0);
D
(b) (x + 2y)dxdy gdzie D-trójkat o wierzchołkach (0, 0), (2, 2), (-1, 1);
D
(c) (2x + ey + 1)dxdy gdzie D-trójkat o wierzchołkach (1, 3), (-1, -1), (2, -4);
D
(d) (x + y)dxdy gdzie D-trójkat o wierzchołkach (0, 0), (2, 4), (3, 0);
D
Zad 3. Zamienić kolejność całkowania w całce:
" "
a 2ax-x2 1 1-x2 2 2-y Ä„ 2
(a) f(x, y)dydx; (b) f(x, y)dydx; (c) f(x, y)dxdy; (d) f(x, y)dydx;
"
1
0 -1 -6 y2 0 sin x
a - 1-x2
2 -1
4
"
|x| |x| 2 x
1 1 3x 1 4
(e) f(x, y)dydx; (f) f(x, y)dydx; (g) f(x, y)dydx; (h) f(x, y)dydx;
" "
-1 0 2x -1 0 0
- 4-x2 - 4x-x2
1 1-x2
(i) f(x, y)dydx;
"
-1
- 1-x2
Zad 4. Obliczyć całkę podwójna z podanej funkcji po obszarze ograniczonym zadanymi krzywymi:
(a) f(x, y) = cos(x + y), x = 0, y = x, y = Ä„; (b) f(x, y) = x2 + y + 1, x = 0, y = 0, x + 2y - 1 = 0;
(c) f(x, y) = x2(y - x), x = y2, y = x2; (d) f(x, y) = x3y2, x2 + y2 = R2;
(e) f(x, y) = e2x-y, x = 0, y = 0, y = -x + 1; (f) f(x, y) = (x + y), x = 0, y = x, x = 1;
"
x2
(g) f(x, y) = y2 R2 - x2, x2 + y2 = R2; (h) f(x, y) = , x = 2, y = x, xy = 1;
y2
(i) f(x, y) = sin x cos y, x = 0, y = 0, y = a - x; (j) f(x, y) = x2 + y, y = x2, x = y2;
Zad 5. Obliczyć całkę po zadanym obszarze:
(a) 1 - x2 - y2dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x2 + y2 d" 1 ;
D
y2 y2
x2 x2
(b) 1 - - dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : + d" 1, x e" 0, y e" 0, a > 0, b > 0 ;
a2 b2 a2 b2
D
Politechnika Szczecińska 35 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH CAA
KI PODWÓJNE
(c) (x2 + y2) dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x2 + y2 d" 2ax, a > 0 ;
D
(d) R2 - (x2 + y2)dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x2 + y2 d" Rx, y e" 0 ;
D
2 2
(e) (x2 + y2) dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : x2 + y2 d" R1, x2 + y2 e" R2, 0 < R2 < R1 ;
D
y
(f) arctan dxdy gdzie D = (x, y) " R2 : 0 d" x2 + y2 d" R2, x e" 0, y e" 0 ;
x
D
Zad 6. Oblicz pole obszaru:
(a) ograniczonego krzywymi y2 = 10x + 25, y2 = -6x + 9;
y2
x2
(b) ograniczonego elipsÄ… + = 1;
a2 b2
(c) położonego w pierwszej ćwiartce i ograniczonego liniami xy = 1, xy = 2, y = x, y = 2x;
(d) ograniczonego parabolami y2 = px, y2 = qx, x2 = ay, x2 = by, gdzie a < p < q i 0 < a < b;
Zad 7. Obliczyć objętość brył ograniczonych następującymi powierzchniami:
(a) 3x + 6y + 4z = 12, x = y = z = 0; (b) y2 + z2 = 1, y = x, x = 0;
(c) x2 + y2 + z2 = 9, z = y2 + x2; (d) y = x2, y + z = 4, x = z = 0;
(e) x2 + y2 + z2 = 16, x2 + y2 = 4x; (f) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 3z;
(g) z = 4x2 + y2, z = 4 - 3y2; (h) x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 4, z = x2 + y2;
(i) z = x2 + y2, z = 2x2 + 2y2, y = x, y = x2; (j) 2z = 4 - x2 - y2, z = 2 - x - y, x = y = z = 0;
(k) z = 6 - x2 - y2, z = x2 + y2; (l) x2 + y2 + z2 = 1, z = 3x2 + 3y2, z = x2 + y2;
(m) x2 + y2 + z2 = 14, x2 + y2 + z2 = 16, z = x2 + y2, 3z = x2 + y2;
Zad 8. Obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami:
y
x z
(a) płaszczyzną + + = 1 i płaszczyznami układu współrzędnych;
a b c
(b) paraboloidą obrotową z = x2 + y2, płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyzną x + y = 1;
(c) paraboloidą obrotową z = x2 + y2 oraz płaszczyznami z = 0, y = 1, y = 2x, z = 6 - x;
" "
(d) y = x, y = 2 x, x + y = 6, z = 0; (e) x2 + y2 = 2ay, x + y = 6, z = 0, gdzie a > 0;
y2 y2
x2 x2
(f) + = z2, + = 2z; (g) x2 + y2 + z2 = R2, x2 + y2 = Rx, gdzie R > 0;
4 9 4 9
x2 z2 b
(h) + = 1, y = x, z = 0, y = 0; (i) z = x2 + y2, y = x2, z = 0, y = 1;
a2 c2 a
y2
x2
(j) x2 + y2 = 2ax, y2 + z2 = 4ax. (k) paraboloidą eliptyczną z = 1 - - i płaszczyzna z = 0;
4 9
(l) walcem x2 + y2 = 2ax i paraboloidÄ… obrotowÄ… y2 + z2 = 4ax, gdzie a > 0;
(m) walcem x2 + y2 = r2 i powierzchnią az = y2 oraz płaszczyzną z = 0;
(n) walcem x2 + y2 = r2 i powierzchnią stożkową x2 + y2 = z2
(o) wyciętego walcem x2 + y2 = Rx z kuli x2 + y2 + z2 = R2;
(p) walcami x2 + y2 = r2 i y2 + z2 = r2; (q) walcami x2 + y2 = r2 i y2 + z2 = r2 i x2 + z2 = r2;
Zad 9. Obliczyć pole płata powierzchniowego:
(a) wyciętego walcem x2 + y2 = 1 x paraboloidy obrotowej z = x2 + y2;
(b) wyciętego płaszczyznami z = 1 i z = 2 ze stożka z = x2 + y2;
(c) wyciętego walcem x2 + y2 = Rx z kuli x2 + y2 + z2 = R2;
(d) wyciętego walcem x2 + y2 = R2 z walca x2 + z2 = R2;
Zad 10. Wyprowadzić wzór na:
(a) Pole koła o promieniu R;
(b) objętość kuli o promieniu R;
(c) pole powierzchni kuli o promieniu R;
(d) objętość stożka prostego o promieniu podstawy R i wysokości H;
(e) pole powierzchni bocznej stożka prostego o promieniu podstawy R i wysokości H;
x2 y2 z2
(f) objętość elipsoidy obrotowej + + = 1;
a2 b2 c2
Politechnika Szczecińska 36 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH CAA
KI PODWÓJNE - ODPOWIEDZI
Całki podwójne - odpowiedzi
Zad 1.
" " "
2 3 2 6 1 e4 e3 e 1
(a) - - ; (b) ; (c) 0; (d) 2; (e) ; (f) ; (g) ; (h) - + - ; (i) ; (j) ;
4 4 4 8 2 2 2 2
Zad 2.
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 18;
Zad 3.
Zad 4.
1 32 9 33
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) R5; (h) ; (i) ; (j) ;
2 45 4 140
Zad 5.
2 Ä„ 1 2 Ä„ 4 4 1
(a) Ä„; (b) ab; (c) ; (d) R3 Ä„ - ; (e) R1 - R2 ; (f) Ä„R2;
3 6 3 2 3 8 16
Zad 6.
"
16 1 1
(a) 15; (b) Ä„ab; (c) ln 2; (d) (b - a)(q - p);
3 2 3
Zad 7.
"
4 2 128 128 19
(a) 4; (b) ; (c) 18Ä„(1 - ); (d) ; (e) (3Ä„ - 4); (f) Ä„; (g) 2Ä„; (h) ;
3 2 15 9 6
3 1 32
(i) ; (j) (2 + 3Ä„); (k) Ä„; (l) ; (m) ;
35 3 3
Zad 8.
4 88
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ; (h) abc; (i) ; (j) ;
3 105
1 2 2 8
(k) 3Ä„; (l) ; (m) Ä„r4; (n) Ä„r3; (o) (3Ä„ - 4)R3; (p) r3; (q) ;
4a 3 9 3
Zad 9.
" "
Ä„
(a) 5 5 - 1 ; (b) 3Ä„ 2; (c) R2(Ä„ - 2); (d) ;
6
Zad 10.
"
4 1 4
(a) Ä„R2; (b) Ä„R3; (c) 4Ä„R2; (d) Ä„R2H; (e) Ä„R H2 + R2; (f) Ä„abc
3 3 3
Politechnika Szczecińska 37 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH CAA
KI POTRÓJNE
Całki potrójne
Zad 1. Oblicz całkę po prostopadłościanie:
(a) (x + y + z) dxdydz gdzie D = (x, y, z) " R3 : x " [1, 2] ; y " [2, 3] ; z " [3, 4] ;
D
(b) e2z+y-z dxdydz gdzie D = (x, y, z) " R3 : x " [0, ln 2] ; y " [0, ln 3] ; z " [0, 1] ;
D
(c) ln xyz dxdydz gdzie D = (x, y, z) " R3 : x " [1, 2e] ; y " [1, 2] ; z " [2, 3] ;
D
Zad 2. Oblicz całkę po zadanym obszarze:
"
(a) xy dxdydz gdzie D = (x, y, z) " R3 : 0 d" z d" 3, 0 d" x d" 9 - z2, 0 d" y d" x ;
D
(b) y dxdydz gdzie D = (x, y, z) " R3 : - 1 d" x d" 1, 0 d" y d" 1 - x2, 0 d" z d" y ;
D
"
(c) (x + y) dxdydz gdzie D = (x, y, z) " R3 : 0 d" x d" 1, 0 d" y d" 1 - x2, 0 d" z d" 1 - x2 - y2 ;
D
Politechnika Szczecińska 38 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
Teoria pola
Gradient, rotacja, dywergencja
Politechnika Szczecińska 39 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
TEORIA POLA CAA
KI KRZYWOLINIOWE
Całki krzywoliniowe
Nieskierowana
Zad 1. Obliczyć całkę krzywoliniową nieskierowaną po zadanym łuku:
(a) (x + y) dL gdzie L-trójkąt o wierzchołkach (1, 0), (0, 1), (0, 0);
L
dL 1
(b) gdzie L-odcinek prostej y = x - 2 zawarty między punktami A = (0, -2), B = (4, 0);
x-y 2
L
x2 y2
(c) xy dL gdzie L-ćwiartka elipsy + = 1 znajdująca się w I-szej ćwiartce układu współrzędnych;
a2 b2
L
(d) (x2 + y2) dL gdzie L-okrąg o równaniu x2 + y2 = ax;
L
(e) xy dL gdzie L-brzeg kwadratu |x| + |y| = a; (a > 0)
L
(f) (x + y) dL gdzie L-prawy liść lemniskaty r2 = 2a2 cos(2Õ);
L
Skierowana
Zad 1. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną po zadanym łuku:
(a) x2 dx + 3y dy gdzie AB-ćwiartka okręgu x2 + y2 = 1 skierowana od punktu A(1, 0) do B(0, 1);
g
AB
(b) (x2 - 2xy) dx + (2xy + y2) dy gdzie AB jest Å‚ukiem paraboli y2 = x od punktu A(1, 1) do B(4, 2);
g
AB
(c) (x2 - 2xy) dx + (2xy + y2) dy gdzie AB jest Å‚ukiem paraboli y = x2 od punktu A(4, 2) do B(1, 1);
g
AB
x2 y2
(d) y2 dx + x2 dy gdzie AB jest górną połową elipsy + = 1 skierowaną zgodnie z ruchem wskazówek zegara;
a2 b2
g
AB
Zad 2. Oblicz stosujÄ…c tw. Greena:
(a) (1 - x2)ydx + x(1 + y2)dy, gdzie C jest okręgiem x2 + y2 = R2 zorientowanym dodatnio.
C
(b) xy2dx + (x2y + 5x)dy, gdzie C jest okręgiem x2 + y2 = R2 zorientowanym dodatnio.
C
Całki krzywoliniowe - odpowiedzi
Nieskierowana - odpowiedzi
Zad 1.
" "
ab b2+ab+a2
( )
(a) 1 + 2; (b) 5 ln 2; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ;
3(b+a)
Skierowana - odpowiedzi
Zad 1.
7 181 4
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ab2;
6 30 3
Zad 2.
(a) ; (b) ;
Politechnika Szczecińska 40 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
TEORIA POLA CAA
KI POWIERZCHNIOWE
Całki powierzchniowe
Politechnika Szczecińska 41 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
Równania różniczkowe
Równania rzędu I-go
Zad 1. Sprawdz
czy funkcja y(x) spełnia równanie:
"
(a) y = 1 + x2, (1 + x2)y = xy; (b) y = 3 sin x - 4 cos x, y - 2y = 0;
(c) y = x2ex, y - 2y + y = 0; (d) y2 - 1 = (x + 2)2, y2 - 1 - (2y + xy)y = 0;
1
(e) xy2 - e-y - 1 = 0, (xy2 + 2xy - 1)y + y2 = 0; (f) y = , y = x2 + y2;
x
Zad 2. Znajdz
całkę ogólną (równanie o zmiennych rozdzielonych):
2y xy 1-x
(a) y = ; (b) + y2 = 1; (c) y = ; (d) x(y2 - 1)dx + y(x2 - 1)dy = 0;
x y x+1
(e) (1 + ey)yy = ex; (f) y sin x = y ln y; (g) (eyy + 1)y = 2x; (h) (1 + x + y + xy)y = 1;
"
(i) yy + 4x = 0; (j) dy = 2xy2dx; (k) 2 xy = 1 - y2; (l) y + 4x = y(e-x + 4);
(m) (1 + x2)y = 2y; (n) sin y = x; (o) y - x = 1 - x2y ; (p) x3y + y + xy3y - xy = 0;
x 1+x
(q) y = ; (r) y - xy = 1 + x2y ; (s) (1 - x2)y = y2 - 1; (t) (1 + x2)y - 1 - y2 = 0;
y 1+y
(u) xy + 1 = ey; (v) x2 - (2yy - 1) = 1; (w) xy + 1 = x3 - y ; (x) sin x sin yy = cos x cos y;
(y) 2x+y + 3x-2yy = 0.
Zad 3. Znajdz
całkę szczególną spełniającą zadany warunek początkowy:
Ä„ Ä„
(a) y sin x = y ln y dla y( ) = e; (b) y sin x - y ln y = 0 dla y( ) = 1;
2 2
"
(c) y = 2 y ln x dla y(e) = 1; (d) 2 (1 + ex) yy = ex dla y(0) = 0;
(e) 1 + x2 y3dx - y2 - 1 x3dy = 0 dla y(1) = -1; (f) y cos xdx = (1 + y2)dy dla y(0) = 1;
y
Zad 4. Rozwiąż równanie (y = f(x ))
y
2xy
x
(a) y = ; (b) xe + y dx = xdy dla y(1) = 0; (c) y(ln y - ln x)dx - xdy = 0;
x2-y2
(d) (x + y)y - y = 0; (e) (x + y)y + x - y = 0; (f) xy = y + x2 + y2;
"
2y2-xy y
(g) y + (2 xy - x)y = 0; (h) y = ; (i) xy - y = x tg ;
x2-xy+y2 x
y y y y
(j) x - y cos + x cos y = 0; (k) x cos (ydx + xdy) = y sin (xdy - ydx); (l) (3x2 - y2)y - 2xy = 0;
x x x x
x x
y y
(m) (x2 + 2xy)y = y2; (n) y2 + x2y = xyy ; (o) xye + y2 - x2e y = 0;
y
(p) x2y = xy + y2; (q) xy - y = x tg ;
x
Zad 5. Rozwiąż równanie (y = f(ax + by + c))
"
1
(a) y = + 2x + y - 2; (b) y = (x + y)2; (c) y x + y + 1 = x + y - 1 dla y(3) = 0;
2x+y
(d) y = (x - y)2 + 1; (e) y = (8x + 2y - 3)2; (f) 2x + 3y - 1 + (4x + 6y - 5)y = 0;
1 4
(g) y = ; (h) y = ; (i) 2x + 3y - 1 + (4x + 6y - 5)y = 0;
x+y (x+y)2
(j) 2x - y + (4x - 2y + 3)y = 0; (k) y = (4x + 2y + 5)2.
Politechnika Szczecińska 42 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RZ
DU I-GO
ax+by+c
Zad 6. Rozwiąż równanie (y = f(dx+ey+f ))
x+y+2
(a) (x + y - 1)dx - (x - y - 1)dy = 0; (b) (x + y)dx + (2x + 2y - 1)dy; (c) y = ;
x-y-4
2
y+2 x+y -x+3y-2
(d) y = 2 ; (e) y = - dla y(1) = 0; (f) y = ;
x+y-1 3x+3y-4 3x-y-2
(g) x - 2y + 9 - (3x - 6y + 19)y = 0; (h) (2y - x + 1)y = -2x + y - 1; (i) (2x - y - 1)y = x - 2y + 1;
(j) 3x + 3y - 1(x + y + 1)y = 0; (k) x - 2y + 5 + (2x - y + 4)y = 0;
(l) 6x3(2ydx - 3xdy) + y4(-3ydx + 2xdy) = 0;
Zad 7. Rozwiąż równanie liniowe niejednorodne (y + P (x)y = Q(x))
2x3+y y
x
(a) y + y = cos 2x; (b) y = dla y(1) = 3; (c) y - = tg ;
x sin x 2
"
2
xy
(d) y + = x + arcsin x; (e) y 1 - x2 + y = arcsin x dla y(0) = 0; (f) y + 2xy = xe-x ;
1-x2
1 xy 1
(g) y = y cos x = sin 2x; (h) y + y tg x = sin 2x; (i) y + = ;
2 1+x2 x(1+x2)
y x
(j) y sin x = tg ; (k) xy - 2y = x + 1; (l) xy + 3y = x2;
2
2
(m) 2xy - y = x2; (n) x2y - 2xy = 3; (o) x2y - 2xy = 3y;
3
(p) (1 + x2)y + y = arctan x; (q) y cos x + y sin x = 1; (r) y cos x - y sin x = cosx;
Zad 8. Rozwiąż równanie Bernouliego (y + P (x)y = Q(x)yn)
1
(a) y - 2y = y2; (b) xy + y + xy2 = 0;
2
y y2
(c) y cos x - y sin x = y4; (d) y + = dla y(-1) = 1; (e) y + xy = xy3;
x x
"
xy
(f) 2 cos xdy = (y sin x - y3)dx dla y(0) = 1; (g) y + = x y;
1-x2
xy
x
(h) y - = dla y(0) = 1; (i) xy + y = y2 ln x; (j) y + 2y tg x = ay2 cos x;
2(x2-1) 2y
3y
(k) 2xyy + x = y2; (l) (x - 2xy - y2)y + y2 = 0; (m) y - = -x3y2;
x
3
"
y
1
"y
(n) y = y sin x = -y4 sin x; (o) y - = ; (p) y + y = x y;
3 2x
2 1-x2
Zad 9. Rozwiązać równanie Riccatiego (y = P (x)y2 + Q(x)y + R(x)) znając całkę szczególną:
2(y-x)
1
(a) y + (y - x)2 + = 1 y1(x) = x; (b) x2y + (xy - 2)2 = 0 y1(x) = ;
x x
-1
(c) y = y2 - (2x + 1)y + x2 + x + 1 y1(x) = x; (d) x2y = x2y2 + xy + 1 y1(x) = ;
x
y 4 2 2x2+1 x2+1
(e) y = -y2 - + y1(x) = ; (f) y = xy2 - y + y1(x) = 1;
x x2 x x x
y 1 1
(g) y = y2 + + y1(x) = - ; (h) xy = y2 - (2x + 1)y + x2 + 2x y1(x) = x ;
x x2 x
Zad 10. Rozwiązać równanie Clairauta (y = xy + f(y ))
1
(a) y = xy - (y )2; (b) y = xy - (1 + ln y ); (c) y = xy - 1 + (y )2; (d) y = xy + ;
(2y )2
"Q
"P
Zad 11. Rozwiązać równanie róz
niczkowe zupełne (P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 gdzie = ):
"y "x
(a) (x2 + y2)dx + 2xydy = 0; (b) 3x2 + 2y dx + 3y2 + 2x dy = 0;
(c) (sin y - y sin x)dx + (x cos y + cos x)dy = 0; (d) (ex + y + sin y) dx + (ey + x + x cos y) dy = 0;
x x
x
y y
(e) x + e dx + e 1 - dy = 0 y(0) = 2; (f) (x - 2xy + ey) dx + y - x2 + xey dy = 0;
y
(g) ex y3 + xy3 + 1 dx + 3y2 (xex - 6) dy = 0 y(0) = 1; (h) ex (1 + ey) + ey (1 + ex) y = 0;
x
(i) eydx - (2y - xey) dy = 0; (j) (ln y - 2x) dx + - 2y dy = 0;
y
x-y x+y
(k) 2x sin y - y2 sin x dx + x2 cos y + 2y cos x + 1 dy = 0; (l) dx + dy = 0;
x2+y2 x2+y2
x+2y y
1 x
(m) + x dx - dy = 0; (n) dx + dy = 0;
y y2 (x+y)2 (x+y)2
(o) x x2 + y2 - 4 dx + y x2 + y2 + 4 dy = 0; (p) (2y - 3)dx + (2x + 3y2)dy = 0;
Politechnika Szczecińska 43 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RZ
DU I-GO
"P "Q
Zad 12. Rozwiązać równanie róz
niczkowe typu zupełnego (P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 gdzie = ):

"y "x
(a) (y + ln x)dx - xdy = 0; (b) ydx - x + y2 dy = 0;
(c) x2 + y - xy = 0; (d) (x sin y + y cos y)dx + (x cos y - y sin y)dy = 0;
(e) e2x - y2 + yy = 0; (f) y2dx + (yx - 1)dy = 0;
(g) 2xy2 - y + (y2 + x + y)y = 0; (h) 2x4 + x5 + x2y + y3 - x(x2 + y2)y = 0;
(i) 2x tg y + (x2 - 2 sin y)y = 0; (j) (sin x + ey)dx + cos xdy = 0;
(k) (x sin y + y)dx + (x2 cos y + x ln x)dy = 0; (l) y2dx + (x2 - 2xy)dy = 0;
(m) y(2 + xy2)dx + x(1 + xy2)dy = 0; (n) (1 + 3x2 sin y)dx - x ctg y dy = 0;
Zad 13. Znalez
ć trajektorie ortogonalne podanej rodziny krzywych:
1
(a) y2 = 4(x - a); (b) y2 + 2ax = 0, a > 0; (c) x2 - y2 = C2; (d) x2 + y2 = C2; (e) x2 + y2 = 2Cx;
2
Politechnika Szczecińska 44 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RZ
DU I-GO - ODPOWIEDZI
Równania rzędu I-go - odpowiedzi
Zad 1.
Zad 2.
C
(a) y = Cx2; (b) ln y2 = x2 + y2 + C; (c) y = 2 ln |x + 1| - x + C; (d) y = Ä… + 1;
x2-1
x
1
2
(e) y2 + ey(y - 1) = ex + C; (f) y = Cetg ; (g) ey(y - 1) + y = x2 + C;
2
1
(h) y y + 1 = ln |x + 1| + C; (i) y2 = -4x2 + C; (j) y = -x 1 ;
2
2 +C
"
-t
(k) y = sin ( x + C); (l) y = Ce-e ; (m) y2 = Cearctan x;
"
1
(n) y = x arcsin x + 1 - x2 + C; (o) y = arctan x + ln x2 + 1 + C;
2
1 1 1 1 1 1
(p) C = x3 + ln x + y2 - ln y; (q) y2 + y3 = x2 + x3 + C;
3 2 2 3 2 3
x
(r) = C; (s) (x + 1)(y + 1) = C(x - 1)(y - 1); (t) arcsin y - arctan x = C;
(1+x)(y-1)
x3
(u) ln (ey - 1) - y = ln x + C; (v) y2 = + C;
3
2x3-3x2+6x C
(w) y = -2 ln (x + 1) + + C; (x) y = arccos ; (y) ;
6 sin x
Zad 3.
x
y2 1
2
(a) y = etg ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ln y + = + sin x.
2 2
Zad 4.
x y
y 1
y
x
(a) C = ; (b) y = -x ln ln ; (c) y = xeCx+1; (d) y = ce ; (e) x2 + y2 = Ce- arctan ;
x2+y2 x
1 x x
(f) y = Cx2 - ; (g) + ln |y| = C; (h) y(y - 2x)3 = C(y - x)2; (i) y = x arcsin ;
4C y C
y
y
x
(j) x = Ce- sin ; (k) xy cos = C; (l) y3(x + y) = Cx2(x - y); (m) y2 + xy = Cx;
x
y x
x
y
x
(n) y = Ce ; (o) ln |x| + e = C; (p) y = - ; (q) y = x arcsin Cx;
C+ln|x|
Zad 5.
(a) ln 1 + (2x + y)2 = x + C; (b) y = tg(x + C) - x;
" " "
8 2 16 1
(c) 2 x + y + 1 - ln x + y + 1 + 2 + ln x + y + 1 - 1 = x + 1 - ln 2; (d) y = x - ;
3 3 3 x+C
3
(e) y = -4x + + tg(4x + C); (f) x + 2y + 3 ln |2x + 3y - 7| = C; (g) 1 + x + y = Cey;
2
" "
y
(h) x + y = 2 tg(C + ); (i) 5x + 10y + C = 3 ln |10x - 5y + 6|; (j) 4x + 2y + 5 = 2 tg(2x 2 + C).
2
Zad 6.
y
(a) ln y2 + (x - 1)2 = arctan + C; (b) x + 2y + ln |x + y - 1| = C;
x-1
y+3 y+2
(c) ln (y + 3)2 + (x - 1)2 = arctan + C; (d) 2 arctan + ln |y + 2| = C;
x-1 x-3
(e) x + 3y + 2 ln |x + y - 2| = 1; (f) C(y + x - 2)2 = y - x;
(g) 3y - x = 8 ln |x - 2y + 1| + C; (h) x2 - xy + y2 + x + y = C;
(i) (x - y)2 + 2(x - xy + y) = C; (j) 3x + y + 2 ln |x + y - 1| = C;
5
(k) (x + y + 1)3 = C(x - y + 3); (l) ln |x| + 6 ln |y| - ln(y4 + x3) = C;
3
Zad 7.
1 x
(a) y = (cos 2x + 2 sin 2x) + Ce-x; (b) y = x3 + 2x; (c) y = (x + C) tg ;
5 2
" "
1
(d) y = 1 - x2 arcsin2 x - (1 - x2) + C 1 - x2; (e) y = arcsin x - 1 + e- arcsin x;
2
2
(f) y = e-x 1 x2 + C ; (g) y = sin x - 1 + Ce- sin x; (h) y = -2 cos2 x + C;
2
"
1 -1+ 1+x2 x 1
"
(i) y = C + ln ; (j) y = (x + C) tg ; (k) y = -x - + Cx2;
x 2 2
1+x2
"
C x2 1 1
(l) y = + ; (m) y = x2 + C x; (n) y = Cx2 - ;
x3 5 2 x
3
(o) y = Cx2e- x
; (p) y = Ce- arctan x + arctan x - 1; (q) y = sin x + C cos x;
1 C x
(r) y = sin x + + ;
2 cos x 2 cos x
Politechnika Szczecińska 45 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RZ
DU I-GO - ODPOWIEDZI
Zad 8.
4 1 1
"
(a) y = ; (b) y = ; (c) y = ; (d) y = 1;
3
4Ce-2x-1 x(ln Cx)
cos x (- tg3 x-3 tg x+C)
" "
2
4
1 1
"
(e) y2 1 + Cex = 1; (f) y = ; (g) y = C 1 - x2 - (1 - x2); (h) y = 2 1 - x2 - x2 - 1;
3
sin x+cos x
1
(i) y = ; (j) 2Cy = 2 cos2 x - ay(sin2 x - 2 ln sin x); (k) y2 = -x ln |x| + Cx;
Cx+ln x+1
1
1 1 x
y
" "
(l) x = y2 + Cy2e ; (m) y C + x7 = x3; (n) y = ; (o) y = ;
3
7
3+Cecos x C- 1-x2
(p) ;
Zad 9.
1 1 3x2 1 -1 1
(a) y = x + ; (b) y = + ; (c) y = x + ; (d) y = + ;
C
Cx2-x x x3+3C 1+Cex x
x ln
x
(e) ; (f) ; (g) ; (h) ;
Zad 10.
"
x2
(a) y = Cx - C2 y = ; (b) y = Cx - (1 + ln C) y = ln x; (c) y = Cx - 1 + C2 x2 + y2 = 1;
4
"
3
1 3
(d) y = Cx + y = x2;
2C2 2
Zad 11.
x3
(a) + xy2 = C; (b) x3 + 2xy + y3 = C; (c) x sin y + y cos x = C; (d) ex + xy + x sin y + ey = C;
3
x2 x
y
(e) + ye = 1; (f) x2 - 2xy + 2xey + y2 = C; (g) xy3ex + ex - 6y3 = -5; (h) ;
2
(i) xey - y2 = C; (j) ; (k) ; (l) ;
(m) ; (n) ; (o) ; (p) ;
Zad 12.
1 1 1 x
(a) µ(x) = , (y + ln x + 1) = C; (b) µ(y) = , - y = C;
x2 x y2 y
1 y
(c) µ(x) = , - x = C; (d) µ(x) = ex, ex(x sin y - sin y + y cos y) = C;
x2 x
1
(e) y2e-2x + x = C; (f) y = Cexy;
2
x
(g) x2 - + y + ln |y| = C; (h) 6x2y - 2y3 - 12x4 - 3x5 = Cx3;
y
1 cos x
(i) µ(y) = cos y, x2 sin y + cos(2y) = C; (j) y = ln ;
2 x-C
1
(k) x sin y + y ln x = C; (l) µ(x) = , y(x - y) - Cx;
x2
1 x
(m) µ(x) = x, x2(3y + xy3) = C; (n) µ(y) = , + x3 = C;
sin y sin y
Zad 13.
b
(a) ; (b) y2 + 2x2 = b, b > 0; (c) y = ; (d) y2 = Dx; (e) x2 + y2 = 2Dy;
x
Politechnika Szczecińska 46 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA WYŻSZYCH RZ
DÓW
Równania wyższych rzędów
Zad 1. Rozwiąż równanie różniczkowe II-go rzędu typu F (x, y (x), y (x)) = 0
1
(a) y = xe-x; (b) y = 1 - (y )2; (c) y = ; (d) y = y - x2 + 2x;
1+x2
(e) (1 + x) y = y ; (f) y = y + ex; (g) xy + y = 0; (h) y + y tg x = cos x ctg x;
"
y y x2
(i) xy - y ln = 0; (j) y - - = 0; (k) (y )2 - 4y = 0; (l) 1 + x2y + 1 + (y )2=0;
x x y
1
(m) y - y = ; (n) y - y = e2x cos ex; (o) y - 2y tg x = 1; (p) xy + (2x - 1) y = -4x2;
ex+1
2
(q) x ln xy - y = ln2 x; (r) y - 4 cos 2x = 0; (s) xy + y = 2x; (t) xy - 1 + 2x2 y = 4x3ex .
Zad 2. Rozwiąż równanie różniczkowe rzędu II-go typu F (y(x), y (x), y (x)) = 0
(a) yy - (y )2 = 0; (b) 2y = ey; (c) y = (y )3 ln y; (d) 1 + (y )2 = 2yy ;
(e) yy = y3 + (y )2; (f) 2y = y 1 + (y )2 ; (g) yy - (y )2 = 1; (h) yy - (y )2 = y2 ln y;
1 1 1 1
"
(i) y + y = ; (j) y + y = ; (k) y + y = ; (l) y + y = ;
sin x cos x cos3 x
sin5 x cos x
(m) y = 2yy ; (n) yy + (y )3 = (y )2;.
Zad 3. Rozwiąż równanie różniczkowe rzędu II-go typu F (y(x), y (x), y (x)) = 0 jednorodne ze względu na y, y , y
(a) yy - (y )2 = 6xy2; (b) 2yy - 3 (y )2 = 4y2; (c) x2yy = (y - xy )2;
(d) yy - 2 (y )2 = 0; (e) xyy - yy - x (y )2 = 0; (f) x2yy - x2 (y )2 + 2xyy - y2 = 0;
"
(g) yy - (y )2 = 15y2 x.
Zad 4. Rozwiąż równanie różniczkowe rzędu II-go liniowe o stałych współczynnikach jednorodne
(a) y - 5y + 6y = 0; (b) y - 7y + 10y = 0; (c) y - 6y + 9y = 0; (d) y + y = 0;
1
(e) y - 2y + 5y = 0; (f) y - 2y = 0; (g) y + y = 0; (h) y - 2y + y = 0;
3
(i) y + 2y + 5y = 0; (j) y - 10y + 25y = 0.
Zad 5. Rozwiąż równanie różniczkowe rzędu II-go liniowe o stałych współczynnikach niejednorodne
1
(a) y + 9y + 8y = 3ex; (b) y + y = ; (c) y + 2y - 3y = x2;
ex+1
(d) y + y = cos 2x; (e) y + y - 2y = 3e-2x + 5 cos 3x; (f) y - 3y + 2y = 4x2;
(g) y + 4y + 4y = e-2x ln x; (h) y - y = 4 sin x; (i) y + 2y + y = x2e-x;
ex 1 1
(j) y - 2y + y = ; (k) y + 2y + 2y = ; (l) y + 4y = ;
x2+1 ex sin x cos x
(m) y - 2y + y = -ex ln x; (n) y - y = x2 - x + 1; (o) y + 5y + 6y = 3x2 + 6x + 3;
(p) y - 3y + 2y = 3e2x + 2x2; (q) y - y = 2 sin x - 4 cos x; (r) y + y = 2 sin x + 4x cos x;
(s) y - 2y + 2y = ex sin x; (t) y - 3y = e3x - 18x; (u) y - y = cos2 x;
(v) y + y = cos x + cos 2x.
Zad 6. Rozwiąż równanie różniczkowe
(a) y - 2y - y + 2y = 0; (b) y(4) - y = 0; (c) y(4) - 5y + 4y = 0; (d) y(5) - 10y + 9y = 0;
(e) y - 13y - 12y = 0; (f) y - y = 0; (g) y(4) + y = 0; (h) y(4) + 10y + 9y = 0;
(i) y(4) + 8y + 16y = 0; (j) y - 6y - 9y + 14y = 2 sin 3x; (k) y + y + y + y = xex;
(l) y - y = e2x sin2 x; (m) y + 3y + 3y + y = 2e-x - x2e-x; (n) y(4) - 2yy + y = x - sin x;
x-1 sin x
(o) y + y = ; (p) y(4) - y = 4ex; (q) y - y = -3x - 1; (r) y + y = ;
x2 cos2 x
(s) y + y = tg x;
Politechnika Szczecińska 47 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA WYŻSZYCH RZ
DÓW
Zad 7. Znajdz
całkę szczególną spełniającą zadane warunki początkowe.
(a) x2y + xy = 1; y(1) = 1, y (1) = 2; (b) y - 2y + 2y = 4ex cos x; y(Ą) = ĄeĄ, y (Ą) = eĄ;
(c) y = y ey; y(3) = 0, y (3) = 1; (d) 2y = ey; y(0) = 0, y (0) = 1;
(e) y + y = 2(1 - x); y(0) = 2, y (0) = -2; (f) y - 6y + 9y = 9x2 - 12x + 2; y(0) = 1, y (0) = 3;
(g) y + 9y = 36e3x; y(0) = 2, y (0) = 6; (h) y - 5y + 6y = (12x - 7)e-x; y(0) = y (0) = 0;
(i) y + y = e-x; y(0) = 1, y (0) = -1; (j) y + 6y + 9y = 10 sin x; y(0) = y (0) = 0;
(k) y + y = 2 cos x; y(0) = 1, y (0) = 0; (l) y - y = -2x; y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 2;
(m) y + y = 4x cos x; y(0) = 0, y (0) = 1; (n) y - 4y + 5y = 2x2ex; y(0) = 2, y (0) = 3;
(o) y - y = 2x; y(0) = y (0) = 0, y (0) = 2; (p) y - 6y + 9y = 16e-x + 9x - 6; y(0) = y (0) = 1;
(q) y + 4y = sin x; y(0) = y (0) = 1; (r) y - y = -5e-x(sin x + cos x); y(0) = -4, y (0) = 5;
(s) xy - y = x2; y(1) = 0, y (1) = -1; (t) y(4) - y = 8ex; y(0) = -1, y (0) = y (0) = 0, y (0) = 1;
(u) y(4) - y = 8ex; y(0) = 0, y (0) = 2, y (0) = 4, y (0) = 6.
Politechnika Szczecińska 48 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA WYŻSZYCH RZ
DÓW - ODPOWIEDZI
Równania wyższych rzędów - odpowiedzi
Zad 1.
1
(a) y = (x + 1)e-x + e-x + C1x + C2; (b) y = ln (C1ex + C2e-x); (c) y = x arctan x - ln(x2 + 1) + C1x + C2;
2
x3 x2
(d) y = + C1ex + C2; (e) y = C1 x + + C2; (f) y = xex - ex + C1ex + C2;
3 2
x
+1
2
C1
(g) y = C1 ln x + C2; (h) ; (i) y = (C1x - C1 )e + C2;
1
(j) ; (k) y = (x + C1)3 + C2;
3
"
1 2 1 1
(l) y = C1 - 1 - C1 x2 + C1x 1 - x2 + arcsin x; (m) y = C1ex + C2 + (ex + 1) ln (1 + e-x);
2 2 2
1
(n) y = C1ex + C2 - cos ex; (o) y = C1 + C2 tg x + (1 + x tg x);
2
1
(p) y = C1x x + e-2x + C2 - x2; (q) y = C1x(ln x - 1) + C2 + x(ln2 x - 2 ln x - 2);
2
2 2
(r) ; (s) ; (t) y = C1ex + C2 + (x2 - 1)ex ;
Zad 2.
1 3
2
(a) y = C1eC x; (b) ; (c) x - C2 = - y2 ln y + y2 + C1y;
2 4
2
C1
1
(d) y = (C1 Ä… x)2 + 1 ; (e) ; (f) y = arcsin (C1ex - 1) + C2;
C1 4
1
(g) C1x + C2 = ln y + y2 -
; (h) ln y = C1ex + C2e-x; (i) y = (C1 - x) cos x + (C2 + ln | sin x|) sin x;
2
C1
cos 2x
(j) ; (k) C1 cos x + C2 sin x - ;
2 cos x
"
4
(l) C1 cos x + C2 sin x + cos x ctg x; (m) ; (n) ;
3
Zad 3.
C2
3
x
(a) y = C1ex +C2x; (b) y cos2(x + C1) = C2; (c) y = C1xe ; (d) y(C2 - C1x) = 1;
5
2
(e) y = C1x2 + C2; (f) ; (g) ln C2y = 4x + C1x;
Zad 4.
(a) y = C1e3x + C2e2x; (b) y = C1e5x + C2e2x; (c) y = C1e3x + C2xe3x;
(d) y = C1 cos x + C2 sin x; (e) y = ex(C1 cos 2x + C2 sin 2x); (f) y = C1 + C2e2x;
x x
" "
(g) y = C1 sin + C2 cos ; (h) y = (c1x + C2)ex; (i) y = e-x(C1 cos 2x + C2 sin 2x);
3 3
(j) y = e5x(C1 + C2x);
Zad 5.
1 ex
(a) y = C1e-x + C2e-8x + ex; (b) y = ln + C1 + (C2 - ln |ex + 1|) e-x;
6 ex+1
1 4 14 1 1
(c) y = C1ex + C2e-3x - x2 - x - ; (d) y = C1 + C2e-x - cos 2x + sin 2x;
3 9 27 5 10
11 3
(e) y = C1ex + C2e-2x - xe-2x - cos 3x + sin 3x; (f) y = C1e2x + C2ex + 2x2 + 6x + 7;
26 26
3
(g) y = C1e-2x + C2xe-2x + x2e-2x 1 ln x - ; (h) y = C1e-x + C2ex - 2 sin x;
2 4
"
1
(i) y = C1e-x + C2xe-x + x4e-x; (j) y = (C1 + C2x)ex - ex ln 1 + x2 + xex arctan x;
12
(k) y = (C1 - x)e-x cos x + (C2 + ln | sin x|)e-x sin x; (l) ;
(m) ; (n) y = C1ex + C2e-x - x2 + x - 3;
x2 x 7 7
(o) y = C1e-2x + C2e-3x + + + ; (p) y = 3xe2x + C1e2x - 3e2x + C2ex + x2 + 3x + ;
2 6 36 2
sin x
(q) y = - sin x + 2 cos x + C1ex + C2e-x; (r) y = x2 sin x + C1 sin x - + C2 cos x;
2
xex cos x xe3x e3x 2
(s) y = C1ex sin x - + C2ex cos x; (t) y = + C1e3x - + 3x2 + 2x + C2 + ;
2 3 9 3
(u) ; (v) ;
Zad 6.
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ; (h) ; (i) ; (j) ; (k) ; (l) ; (m) ; (n) ;
(o) y = C1 + C2x + C3e-x + 1 - x + x ln |x|; (p) ; (q) ; (r) ; (s) ; (t) ;
Politechnika Szczecińska 49 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA WYŻSZYCH RZ
DÓW - ODPOWIEDZI
Zad 7.
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ;
(e) y = 2 - 2x; (f) y = x2 + e3x; (g) y = 2e3x; (h) y = e2x - e3x + xe-x;
3 1
(i) y = 1 - xe-x; (j) y = x + e-3x + (4 sin x - 3 cos x); (k) y = cos x + x sin x;
5 5
(l) y = sinh x + x2; (m) y = x cos x + x2 sin x; (n) y = (cos x - 2 sin x)e2x;
"
x
4 3 1
(o) y = 2x - " 2
e- sin x; (p) y = xe3x + x + e-x; (q) y = cos 2x + (sin 2x + sin x);
2 3
3
(r) y = 2ex + (sin x - 2 cos x)e-x - 4; (s) ; (t) y = cos x + 2 sin x + e-x + (2x - 3)ex;
(u) y = 2xex;
Politechnika Szczecińska 50 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE UKA
ADY RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH
Układy równań różniczkowych
Zad 1. Rozwiązać układ równań różniczkowych:
dx dx dx
= -9y = y + t + 3x + 4y = 0
dt dt dt
(a) ; (b) ; (c) x(0) = 1, y(0) = 4;
dy dy dy
= x = x - t + 2x + 5y = 0
dt dt dt
Å„Å‚
dx
ôÅ‚
=
ôÅ‚ -y + z
dx dy òÅ‚ dt dx
4 - + 3x = sin t = x + 5y
dt dt dy dt
(d) ; (e) ; (f) x(0) = -2, y(0) = 1;
= z
dy dt dy
ôÅ‚
+ y = cos t = -x - 3y
ôÅ‚
dt dt
ół dz
= -x + z
dt
Å„Å‚
dx
ôÅ‚
ôÅ‚ = y + z
òÅ‚ dt d2x d2x
= y = x2 + y
dy dt2 dt2
(g) ; (h) ; (i) x(0) = x (0) = 1, y(0) = 0;
= x + z
dt d2y dy dx
ôÅ‚
= x = -2x + x
ôÅ‚
ół dz dt2 dt dt
= x + y
dt
dy
d2x d2x
= 3x + y + + x = 0
dt2 dt2 dt
(j) ; (k) .
d2y d2y
dx
= -2x + = 0
dt2 dt dt2
Układy równań różniczkowych - odpowiedzi
Zad 1.
x = 3C1 cos 3t - 3C2 sin 3t x = C1et - C2e-t + t - 1
(a) ; (b) ;
y = C2 cos 3t + C1 sin 3t y = C1et + C2e-t - t + 1
x = -2e-t + 3e-7t x = C1e-t + C2e-3t
(c) ; (d) ;
y = e-t + 3e-7t y = C1e-t + 3C2e-3t + cos t
Å„Å‚
ôÅ‚x = (C1 - C2) cos t + (C1 + C2) sin t
ôÅ‚
òÅ‚
x = (sin t - 2 cos t)e-t
(e) ; (f) ;
y = C1 sin t - C2 cos t + C3et
ôÅ‚
y = e-t cos t
ôÅ‚
ół
z = C1 cos t + C2 sin t + C3et
Å„Å‚
ôÅ‚x = C1e-t + C2e2t
ôÅ‚
òÅ‚
x = C1et + C2e-t + C3 sin t + C4 cos t
(g) ; (h) ;
y = C3e-t + C2e2t
ôÅ‚
y = C1et + C2e-t - C3 sin t - C4 cos t
ôÅ‚
ół
z = -(C1 + C3)e-t + C2e2t
x = et x = (C1 + C2t)et + C3e-2t
(i) ; (j) ;
y = et - e2t y = 2(C2 - C1 - C2t)et + C3e-2t
x = C1 + C2t + C3t2
(k) .
C2
y = -(C1 + 2C3)t - t2 - C3 t3 + C4
2 3
Politechnika Szczecińska 51 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
Szeregi
Szeregi liczbowe
Zad 1. Wyznacz sumÄ™ szeregu:
" " " " " "
2n-2 1 n-1 1 n
" "
(a) ; (b) (-1)n+1(2n - 1); (c) ; (d) ; (e) ; (f) ln ;
5n n(n+1) n! n+1
n+1+ n
n=0 n=1 n=1 n=2 n=1 n=1
"
" "
n+1 n+2
(g) 2 - 2 ;
n=1
Zad 2. Zbadaj zbieżność szeregu (kryterium Cauchy ego):
" n " " " "
n
(n+1)2n 3n(nn)n
n-1 3 2n+3n
(a) ; (b) n ; (c) ; (d) ; (e) ;
2n+1 5 (2n2+1)n 3n+4n
(n+1)n2
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
" " n " " "
n2 n n
(n-5)n
2n+1 arctan n 1
"
(f) Ä„n n-1 ; (g) ; (h) ; (i) ; (j) arccos ;
n 3n+1 Ä„ n
nn
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
Zad 3. Zbadaj zbieżność szeregu (kryterium d Alamberta):
" " " " " "
(n!)(3n)! (2n)!
2n 3n-2n 2n+1 nn
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ;
n3 5n-4n [(2n)!]n n2n n5+1 3nn!
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
" " " " " "
(n!)3
3nn! n! nn 10n 2n
(g) ; (h) ; (i) ; (j) ; (k) ; (l) ;
nn nn n! n! n! (2n)!
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
" "
Ä„ Ä„
(m) n tg ; (n) n2 sin ;
2n 2n
n=1 n=1
Zad 4. Zbadaj zbieżność szeregu (kryterium porównawcze):
" " " " " " "
n+1
1 n 1 Ä„ 2
"
(a) ; (b) ; (c) n sin ; (d) ; (e) sin ; (f) ;
n+1 n3+1 n2 n2-3 2n n2+3
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
" "
arctan n 2+sin n
(g) ; (h) ;
n2 n
n=1 n=1
Zad 5. Zbadaj zbieżność szeregu (kryterium całkowe):
" " " " " " "
1 1 1 1 ln n n2
"1
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ;
3n+2 n ln n n ln3 n n2+1 n2
n n+1
en3
n=1 n=2 n=1 n=1 n=2 n=1 n=1
" " " " " " " "
n
arctan n 2n 1 ln n n n
(h) ; (i) ; (j) ; (k) ; (l) ; (m) ; (n) ;
n+1 n2+1 16n-1 n2+n n2 n2+4
en2
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
Zad 6. Zbadaj zbieżność (warunkową i bezwzględną) szeregu naprzemiennego (kryterium Leibniza):
" " " n2 " " " n
(-1)n (-1)n n
-2n
(a) ; (b) (-1)n ln n ; (c) ; (d) (-1)n n+1; (e) ;
3n+1 n 3n n-1 n+2 3n+5
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
" "
(-1)nn (-1)n
(f) ; (g) ;
n2+1 ln n
n=1 n=1
Zad 7. Zbadaj zbieżność szeregu (kryterium ilorazowe):
" " "
n2+n+1 1 2n3-n2+2
(a) ; (b) arctan ; (c) ;
2n3-1 n2 n5-n3+3
n=1 n=1 n=1
Politechnika Szczecińska 52 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
SZEREGI SZEREGI LICZBOWE - ODPOWIEDZI
Szeregi liczbowe - odpowiedzi
Zad 1.
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ;
Zad 2.
(a) Zbieżny; (b) Zbieżny; (c) Zbieżny; (d) Zbieżny; (e) Rozbieżny; (f) Rozbieżny; (g) Zbieżny;
(h) Zbieżny; (i) Rozbieżny; (j) Rozbieżny;
Zad 3.
(a) ; (b) ; (c) Zbieżny; (d) Rozbieżny; (e) ; (f) Rozbieżny;
(g) ; (h) ; (i) ; (j) ; (k) ; (l) ;
(m) Zbieżny; (n) Zbieżny;
Zad 4.
(a) ; (b) Zbieżny; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Zbieżny; (g) Zbieżny; (h) ;
Zad 5.
(a) Rozbieżny; (b) Rozbieżny; (c) Zbieżny; (d) Zbieżny; (e) ; (f) ; (g) ; (h) ; (i) ;
(j) ; (k) Rozbieżny; (l) Zbieżny; (m) Zbieżny; (n) Rozbieżny;
Zad 6.
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ;
Zad 7.
(a) Rozbieżny; (b) Zbieżny; (c) Zbieżny;
Politechnika Szczecińska 53 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
SZEREGI SZEREGI FUNKCYJNE
Szeregi funkcyjne
Zad 1. Oblicz promień i przedział zbieżności szeregu:
" " " " "
(n+2)xn (2n+1)xn
2nxn xn 3nxn
(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ;
n+1 (n+3)4n 5n(n+1) 6n 4n
n=1 n=0 n=0 n=0 n=0
" " " "
n2
(3x+1)n
3n+1x2n xn 1
(f) ; (g) ; (h) ; (i) 1 + (x - 1)n;
n4n n3n ln n 2n n
n=1 n=2 n=0 n=1
" " " " "
n
n
ln(n+1)xn+1
2nn!xn n+1 xn
(j) ; (k) ; (l) n!xn; (m) x ; (n) ;
(2n)! n+1 n n!
n=0 n=1 n=1 n=1 n=0
" " " " "
(x+3)n (n!)2xn
enn!
(o) ; (p) ; (q) (-1)n (x+3)n ; (r) (-1)n (x-2)n ; (s ) xn;
n! (2n)! n3n 3n(n+3) nn
n=0 n=1 n=1 n=1 n=1
Zad 2. Rozwiń w szereg potęgowy funkcję:
1 x x
(a) f(x) = arctan 2x (b) f(x) = ; (c) f(x) = ; (d) f(x) = ln |1 + 4x|; (e) f(x) = ;
1+3x 1-4x (1-x)(1-x2)
"
x
1
(f) f(x) = x arctan x - ln 1 + x2; (g) f(x) = sin2 x; (h) f(x) = sin t2dt; (i) f(x) = ;
0 (1-x)2
e-x-1
(j) f(x) = ;
x
Politechnika Szczecińska 54 12 paz
dziernika 2008 - 20:24
Funkcje zespolone
Zad 1. Wykazać, że funkcja f(z) = cos z zmiennej zespolonej z jest nieograniczona.
Politechnika Szczecińska 55 12 paz
dziernika 2008 - 20:24