W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
W Y T R Z Y M A A O Z M A T E R I A A W
1 . W I A D O M O ZC I P O D S T A W O W E
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w
n a u k a o t r w a Bo [c i s p o t y k a n y c h w p r a k t y c e t y p o w y c h e l e m e n t w k o n s t r u k c j i
p o d d a n y c h d z i a Ba n i u s i B
1 . 1 . Z a d a n i a i m e t o d y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a B w
Z a d a n i a
W y t r z y m a Bo [c i M a t e r i a B w
o k r e [l e n i e o k r e [l e n i e
w y t r z y m a Bo [c i e l e m e n t u p o d a t n o [c i e l e m e n t u
( o d p o r n o [c i n a z n i s z c z e n i e ) ( r o d z a j u i w a r t o [c i o d k s z t a Bc e D)
a b y k o n s t r u k c j a s p e Bn i a Ba w y m g a b y k o n s t r u k c j a s p e Bn i a Ba w y m g
d o s t a t e c z n e g o b e z p i e c z e Ds t w a d o s t a t e c z n e j s z t y w n o [c i
S t o s o w a n e w W . M . m e t o d y u m o |l i w i a j d o k o n a n i e s t o s u n k o w o p r o s t y c h
o b l i c z e D d a j c y c h i l o [c i o w o c e n w y t r z y m a Bo [c i i p o d a t n o [c i w s t o s u n k u d o
p o s t a w i o n y c h w y m a g a D.
G B w n y n a c i s k p o Bo |o n y j e s t n a s t r o n p r a k t y c z n i d l a u Ba t w i e n i a a n a l i z y
p r z y j m u j e s i m e t o d y p r z y b l i |o n e i u p r a s z c z a j c e z a Bo |e n i a .
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w o p i e r a s i n a :
- p r z e s Ba n k a c h d o [w i a d c z a l n y c h ( w Ba s n o [c i m a t e r i a B w - s z c z e g l n i e
o d k s z t a Bc e n i e , w f u n k c j i o b c i |e D p r z y r |n y c h w a r u n k a c h z e w n t r z n y c h ) ,
- p r z e s Ba n k a c h t e o r e t y c z n y c h ( p r a w a i z a s a d y s t a t y k i ! )
D y s c y p l i n y p o k r e w n e W . M . :
- t e o r i a s p r |y s t o [c i ,
- t e o r i a p l a s t y c z n o [c i ,
- r e o l o g i a .
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W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
1 . 2 . U p r o s z c z o n y m o d e l c i a Ba
U p r o s z c z e n i a d o t y c z :
1 ) m a t e r i a Bu
a ) j e d n o r o d n o [ ( d o w o l n i e m a Ba k o s t k a m a t a k i e s a m e w Ba [c i w o [c i
f i z y c z n e )
b ) s p r |y s t o [ ( o d k s z t a Bc e n i a w y w o Ba n e o b c i |e n i e m z n i k a j c a Bk o w i c i e -
c i a Bo i d e a l n i e s p r |y s t e - l u b c z [c i o w o - c i a Bo c z [c i o w o s p r |y s t e - p o
o d c i |e n i u )
c ) i z o t r o p i a ( w w i k s z o [c i m a t e r i a B w )
2 ) o p i s u k s z t a Bt u
a ) p r t y ( j e d e n w y m i a r j e s t o w i e l e w i k s z y o d d w c h p o z o s t a By c h )
f& p r o s t e
f& z a k r z y w i o n e
- p Ba s k o z a k r z y w i o n e ( p i e r [c i e D t Bo k o w y , s p i n a c z b i u r o w y )
- p r z e s t r z e n n i e z a k r z y w i o n e ( s p r |y n a )
b ) p o w Bo k i ( j e d e n w y m i a r - g r u b o [ - j e s t m n i e j s z y o d p o z o s t a By c h )
c ) b r y By ( w s z y s t k i e w y m i a r y s t e g o s a m e g o r z d u )
P o w s t a j e s c h e m a t o b l i c z e n i o w y , w k t r y m z o s t a j z a c h o w a n e i s t o t n e c e c h y
o b i e k t u .
1 . 3 . S i By w e w n t r z n e i z e w n t r z n e
S i By
m i a r a m e c h a n i c z n e g o o d d z i a By w a n i a
c i a B m i d z y s o b
W e w n t r z n e
Z e w n t r z n e
o d d z i a By w a n i e m i d z y c z [c i a m i
o b c i |e n i e k o n s t r u k c j i
k o n s t r u k c j i
d l a i c h u j a w n i e n i a s t o s u j e m y
m e t o d m y [l o w y c h p r z e c i
C z y n n e B i e r n e
z n a n e w a r t o [c i r e a k c j e w i z w
- s k u p i o n e - s k u p i o n e
-
-
-
- p o w i e r z c h n i o w e - p o w i e r z c h n i o w e
-
-
-
- o b j t o [c i o w e
p o d z i a B n a s i By c z y n n e i b i e r n e z a l e |y o d t e g o ,
g d z i e p o p r o w a d z i m y g r a n i c p o d z i a Bu
o b i e k t - o t o c z e n i e
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W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
1 . 4 . W y s i Be k p r z e k r o j u
1 . Z a k Ba d a m y , |e b a d a n y u s t r j
z n a j d u j c y s i p o d d z i a Ba n i e m
z n a n e g o o b c i |e n i a z e w n t r z n e g o :
- s i B ( o b j t o [c i o w y c h ,
p o w i e r z c h n i o w y c h , s k u p i o n y c h ) ,
- m o m e n t w s i B,
p o z o s t a j e w r w n o w a d z e .
p Ba s z c z y z n a
m y [l o w e g o
p r z e k r o j u
m y [l o w y
2 . D o k o n u j e m y m y [l o w e g o
p r z e k r j
p r z e k r o j u u s t r o j u p Ba s z c z y z n
( m e t o d a p r z e c i )
3 . O d s u w a j c o d s i e b i e m y [l o w o o b i e
c z [c i u j a w n i a m y n a p r z e k r o j u s i By
s i By
w e w n t r z n e j a k o s i By o d d z i a By w a n i a
w e w n t r z n e
m i d z y n i m i . S i By t e r o z Bo |o n e s n a
p r z e k r o j u w s p o s b c i g By . J e d n y m z
g B w n y c h z a d a D w y t r z y m a Bo [c i
m a t e r i a B w j e s t o k r e [l e n i e r o z k Ba d u s i B
w e w n t r z n y c h .
z
4 . S i By w e w n t r z n e r e d u k u j e m y d o
w y b r a n e g o p u n k t u ( z a z w y c z a j
W
[r o d k a c i |k o [c i p r z e k r o j u s c )
M
y
o t r z y m u j c w e k t o r w y p a d k o w e j
s i By W o r a z w y p a d k o w e g o
s c
m o m e n t u M .
x
Z e s p B W i M n a z y w a m y
- M
w y s i Bk i e m p r z e k r o j u .
- W
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W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
5 . W e k t o r y w y s i Bk u p r z e k r o j u r o z k Ba d a m y n a s k Ba d o w e :
W = W x + W y + W z
z
T
W x = N - s i Ba n o r m a l n a ( w z d Bu |n a )
T z
W
W y = T y - s i Ba t n c a ( p o p r z e c z n a ) w k i e r u n k u
y
o s i y
T y
W z = T z - s i Ba t n c a ( p o p r z e c z n a ) w k i e r u n k u
s c
o s i z
N
x
w y p a d k o w a s i Ba t n c a
T = T y 2 + T z 2
M = M x + M y + M z
z
M g
M x = M s - m o m e n t s k r c a j c y
M g z
M y = M g y - m o m e n t g n c y w k i e r u n k u o s i y
M
y
M z = M g z - m o m e n t g n c y w k i e r u n k u o s i z
M g y
s c
w y p a d k o w y m o m e n t
2 2
M = M + M
g g y g z
g n c y
M s
x
N T y T z
e l e m e n t y w y s i Bk u p r z e k r o j u
M s M g y M g z
E l e m e n t y w y s i Bk u p r z e k r o j u w y z n a c z a m y z w a r u n k w r w n o w a g i j e d n e j l u b
d r u g i e j c z [c i . R o z w i z u j e m y w t y m c e l u o d p o w i e d n i e r w n a n i a r w n o w a g i s i B
i m o m e n t w :
F x = 0 F y = 0 F z = 0
" " "
M = 0 M = 0
"M = 0 " "
x y z
N i e m a p r z y t y m |a d n e g o z n a c z e n i a , k t r e j c z [c i r w n o w a g b d z i e m y b a d a ,
g d y | n a z a s a d z i e a k c j i i r e a k c j i , s i By w e w n t r z n e d z i a Ba j c e n a o b i e c z [c i m a j
j e d n a k o w e w a r t o [c i . S j e d y n i e p r z e c i w n i e s k i e r o w a n e .
R e g u Ba w y m i a r w p o c z t k o w y c h - p r z y f o r m u Bo w a n i u r w n a D r w n o w a g i
p r z y j m u j e s i , |e o b c i |e n i e c i a Ba n i e z m i e n i a j e g o g e o m e t r i i .
N i e w o l n o j e j s t o s o w a p r z y b a d a n i u z a g a d n i e D s t a t e c z n o [c i o r a z w w y p a d k u , g d y n a w e t
m a Be o d k s z t a Bc e n i a z m i e n i a j i s t o t n i e c h a r a k t e r p r a c y u s t r o j u .
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W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
U m o w a d o t y c z c a z n a k u e l e m e n t w w y s i Bk u p r z e k r o j u
S I AA N O R M A L N A
z
D O D A T N I A s k i e r o w a n a o d
N N
x
p r z e k r o j u
z
U J E M N A s k i e r o w a n a d o
N
N
x
p r z e k r o j u
S I AA T N C A
z
D O D A T N I A s t a r a s i o b r c i
x T
r o z p a t r y w a n c z [ z g o d n i e z
T
r u c h e m w s k a z w e k z e g a r a
z
T
x
U J E M N A s t a r a s i o b r c i
T r o z p a t r y w a n c z [ p r z e c i w n i e
d o r u c h u w s k a z w e k z e g a r a
M O M E N T G N C Y
z
M g
M g
g r a
x
D O D A T N I s t a r a s i w y g i
b e l k w y p u k Bo [c i w d B
d B
z
g r a
U J E M N Y s t a r a s i w y g i
x
b e l k w y p u k Bo [c i w g r
M g
M g
d B
M O M E N T S K R C A J C Y j a k d l a s i By n o r m a l n e j
U W A G A : w e k t o r m o m e n t u p r o s t o p a d By d o p Ba s z c z y z n y r y s u n k u
p r z e d s t a w i a m y z a p o m o c z a g i t e j s t r z a Bk i s t o s u j c s i p r z y t y m
d o r e g u By [r u b y p r a w o s k r t n e j .
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W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
W y o d r b n i e n i e p o s z c z e g l n y c h e l e m e n t w w y s i Bk u p r z e k r o j u p o z w a l a n a
r o z b i c i e z Bo |o n e g o s t a n u o b c i |e n i a n a p r z y p a d k i p r o s t e :
- r o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) s i Ba n o r m a l n a N ,
- s k r c a n i e m o m e n t s k r c a j c y M s .
- c z y s t e z g i n a n i e m o m e n t g n c y M g ,
- z g i n a n i e p o p r z e c z n e m o m e n t g n c y M g i s i Ba t n c a T ,
- [c i n a n i e s i Ba t n c a T ,
s t o s u n k o w o Ba t w e d o a n a l i z y r a c h u n k o w e j .
R o z b i c i e z Bo |o n e g o s t a n u n a p r z y p a d k i p r o s t e a n a s t p n i e z s u m o w a n i e w y n i k w
p o s z c z e g l n y c h a n a l i z t o z a s a d a s u p e r p o z y c j i ( m e t o d a b a r d z o c z s t o
s t o s o w a n a w w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a B w ) .
Z a s a d a s u p e r p o z y c j i n i e m o |e b y s t o s o w a n a t a m , g d z i e d z i a Ba n i e j e d n y c h s i B
m o g Bo b y z m i e n i c h a r a k t e r d z i a Ba n i a i n n y c h ( n p . p r z y u t r a c i e s t a t e c z n o [c i
k o n s t r u k c j i ) .
W a r t o [c i e l e m e n t w w y s i Bk u p r z e k r o j u z a l e | m . i n . o d p o Bo |e n i a m y [l o w e g o
p r z e k r o j u . S t a n o w i z a t e m f u n k c j e w s p Br z d n e j x :
N ( x ) , T ( x ) , M g ( x ) , M s ( x ) .
W y z n a c z e n i e t y c h f u n k c j i j e s t p i e r w s z y m , n i e z b d n y m e t a p e m
a n a l i z y w y t r z y m a Bo [c i o w e j k o n s t r u k c j i .
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W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
1 . 5 . N a p r |e n i a , o d k s z t a Bc e n i a
N A P R {E N I E ( n a t |e n i e
s i B w e w n t r z n y c h ) m i a r a
z
s i B w e w n t r z n y c h d z i a Ba j -
c y c h n a w y b r a n y m p o l u
p r z e k r o j u .
y
"W
"
"
"
"A
"
"
"
Zr e d n i e w y p a d k o w e
n a p r |e n i e n a p o l u "A
x
"W
p [r =
"A
z
W y p a d k o w e n a p r |e n i e
w p u n k c i e B
z
p
y
"W
p = l i m
y
"A !0
"A
B
x
N a p r |e n i e w y p a d k o w e p r o z k Ba d a m y n a s k Ba d o w e :
- p r o s t o p a d B d o p r z e k r o j u : n a p r |e n i e n o r m a l n e
- w p Ba s z c z y zn i e p r z e k r o j u : y , z n a p r |e n i a s t y c z n e
W y p a d k o w e n a p r |e n i e s t y c z n e
2 2
= +
y z
j e d n o s t k a , : P a = N / m 2 w p r a k t y c e M P a = 1 0 6 N / m 2 = 1 N / m m 2
p a s k a l m e g a p a s k a l
J e d n y m z g B w n y c h z a d a D w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a B w j e s t w y z n a c z e n i e
r o z k Ba d u n a p r |e D w w y b r a n y m p r z e k r o j u c i a Ba p o d d a n e g o d z i a Ba n i u s i B.
U W A G A
N a p r |e n i a n o r m a l n e i s t y c z n e
w d a n y m p u n k c i e c i a Ba z a l e | o d k i e r u n k u
p o p r o w a d z e n i a p r z e z t e n p u n k t p Ba s z c z y z n y m y [l o w e g o p r z e k r o j u .
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W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
C
C E
9 0 o -
A
E
A
s + "s
D
s
D
B
B
p r z e d o b c i |e n i e m p o o b c i |e n i u
P o d w p By w e m o d k s z t a Bc e D c i a Ba s p o w o d o w a n y c h d z i a Ba n i e m s i B
o d c i n e k A - B p r z e c h o d z i w o d c i n e k A - B
k t p r o s t y C D E p r z e c h o d z i w k t C D E
N a s t p u j e z m i a n a d Bu g o [c i o d c i n k a A - B o "s i z m i a n a k t a p r o s t e g o C D E o .
"s w y d Bu |e n i e b e z w z g l d n e o d c i n k a A - B
[r = "s / s [r e d n i e w y d Bu |e n i e w z g l d n e o d c i n k a A - B
w y d Bu |e n i e w z g l d n e w p u n k c i e A w k i e r u n k u A - B
"s
= l i m
[ l i c z b a n i e m i a n o w a n a ]
s !0
s
P e Bn y o b r a z o d k s z t a Bc e D p o z n a m y , j e [l i w o t o c z e n i u p u n k t u A b d z n a n e
w y d Bu |e n i a w z g l d n e w e w s z y s t k i c h m o |l i w y c h k i e r u n k a c h .
k t o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o w p u n k c i e D
= l i m ( "C D E - "C ' D ' E ' )
[ r a d ]
C - D !0 , D - E !0
P e Bn y o b r a z o d k s z t a Bc e D p o s t a c i o w y c h w o t o c z e n i u p u n k t u D p o z n a m y , g d y
b d z n a n e k t y o d k s z t a Bc e D p o s t a c i o w y c h p r z y w s z y s t k i c h m o |l i w y c h
k i e r u n k a c h u s t a w i e D r a m i o n C D i D E .
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W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
1 . 6 . P r a w o H o o k e ' a , m o d u B Y o u n g a , w s p Bc z y n n i k P o i s s o n a
p r t
L
p r y z m a t y c z n y
k w a d r a t o w a s i a t k a
n a n i e s i o n a n a p o w i e r z c h n i
P r z e d o b c i |e n i e m
L + "
"L
"
"
F F
P o o b c i |e n i u
F a k t y d o [w i a d c z a l n e :
- o [ p r t a p o o b c i |e n i u p o z o s t a j e p r o s t a ,
- o d c i n e k p o m i a r o w y L z w i k s z a s w o j d Bu g o [ o "L ,
- n a r y s o w a n a p r z e d o b c i |e n i e m n a p o w i e r z c h n i p r t a p r o s t o k t n a s i a t k a
z a c h o w u j e p o o b c i |e n i u k t y p r o s t e i p r o s t e k r a w d z i e b e z w z g l d u n a
g e o m e t r i p r z e k r o j u p r t a ,
- d Bu g o [c i b o k w s i a t k i z w i k s z a j s i w k i e r u n k u d z i a Ba j c e j s i By i
z m n i e j s z a j w k i e r u n k u p o p r z e c z n y m ,
- j e d n a k o w e o c z k a s i a t k i z m i e n i a j s i p o o b c i |e n i u w t e n s a m s p o s b b e z
w z g l d u n a i c h p o Bo |e n i e ,
- o i l e s i Ba F n i e j e s t z a d u |a , t o d l a w i k s z o [c i m a t e r i a B w k o n s t r u k c y j n y c h
w y d Bu |e n i e "L o d c i n k a p o m i a r o w e g o j e s t p r o p o r c j o n a l n e d o j e g o
d Bu g o [c i L , s i By F , z a [ o d w r o t n i e p r o p o r c j o n a l n e d o p o l a p o w i e r z c h n i
p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o S 0 ,
- w y d Bu |e n i e "L z a l e |y o d m a t e r i a Bu , z k t r e g o w y k o n a n y j e s t p r t .
F " L
p r a w o H o o k e a
"L =
S 0 " E
E [ M P a ] m o d u B Y o u n g a ( w s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i w z d Bu |n e j )
s t a Ba m a t e r i a Bo w a
- 9 / 1 1 -
W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
n a p r |e n i e n o r m a l n e
F
S 0
=
( r o z c i g a j c e ,
F
S 0
[c i s k a j c e )
= c o n s t
"L
w y d Bu |e n i e w z g l d n e
=
L
P r a w o H o o k e a w p r z y p a d k u r o z c i g a n i a :
w y d Bu |e n i e w z g l d n e j e s t w p r o s t p r o p o r c j o n a l n e
=
d o n a p r |e n i a n o r m a l n e g o
E
P r a w o H o o k e a ( l i n i o w y z w i z e k m i d z y
R p w y d Bu |e n i e m w z g l d n y m a n a p r |e n i e m
n o r m a l n y m ) z a z w y c z a j n i e o b o w i z u j e w
c a By m z a k r e s i e o b c i a |e D m a t e r i a Bu .
Z a k r e s s t o s o w a l n o [c i p r a w a H o o k e a
w y z n a c z o n y j e s t p r z e z n a p r |e n i a R p z w a n e
g r a n i c p r o p o r c j a l n o [c i
( m a k s y m a l n a w a r t o [ n a p r |e D, p r z y k t r y c h
z a c h o w a n y j e s t j e s z c z e l i n i o w y z w i z e k ( ) ) .
"y
"
"
"
"x
= ,
x
w s p Bc z y n n i k ( l i c z b a )
"x
"
"
"
x y
- =
y
P o i s s o n a s t a Ba m a t e r i a Bo w a
- "y
x
=
y
y
x
- w s p Bc z y n n i k P o i s s o n a j e s t d l a d a n e g o m a t e r i a Bu s t a By w g r a n i c a c h
s t o s o w a l n o [c i p r a w a H o o k e a
- d l a m a t e r i a B w i z o t r o p o w y c h 0 < < 0 . 5 ( s t a l : H"0 . 3 )
- 1 0 / 1 1 -
H o o k e a
z a k r e s s t o s o w a l n o
[
c i p r a w a
W Y T R Z Y M A AO Z M A T E R I A A W w i a d o m o [c i p o d s t a w o w e
O r i e n t a c y j n e w a r t o [c i m o d u Bu Y o u n g a E i w s p Bc z y n n i k a P o i s s o n a
d l a r |n y c h m a t e r i a B w
M a t e r i a B E [ M P a ]
s t a l s p r |y n o w a 0 . 3 0
2 . 1 0 1 0 5
s t a l k o n s t r u k c y j n a z w y k Be j j a k o [c i 0 . 2 9
2 . 0 6 1 0 5
b r z 0 . 3 2
1 . 0 1 . 2 1 0 5
|e l i w o s z a r e
1 . 0 1 0 5 0 . 2 3 0 . 2 7
s t o p y a l u m i n i u m 0 . 3 3
0 . 6 7 0 . 7 4 1 0 5
1 . 7 . W y k r e s r o z c i g a n i a
P o d s t a w o w e w Ba s n o [c i m e c h a n i c z n e m a t e r i a Bu m o |e m y p o z n a d z i k i
s t a t y c z n e j p r b i e r o z c i g a n i a .
P o l e g a o n a n a p o w o l n y m r o z c i g a n i u s p e c j a l n i e p r z y g o t o w a n e j p r b k i
z a z w y c z a j a | d o z e r w a n i a . P o d c z a s t e g o p r o c e s u r e j e s t r o w a n y j e s t w y k r e s
r o z c i g a n i a F ( "
"L ) , b d c y p o d s t a w d o w y z n a c z e n i a s z e r e g u w Ba s n o [c i
"
"
m e c h a n i c z n y c h m a t e r i a Bu .
F
F
s t a l s p r |y n o w a
s t a l n i s k o w g l o w a
S 0
|e l i w o
m i e d z
a l u m i n i u m
"L
"
"
"
F
- 1 1 / 1 1 -
L
L +
"
L
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
2 . R O Z C I G A N I E ( ZC I S K A N I E ) P R T A
R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e )
p r z y p a d e k o b c i |e n i a p r t a , w
S ( x )
z
k t r y m w m y [l o w y m p r z e k r o j u ,
y
p r o s t o p a d By m d o o s i p r t a , i s t n i e j e
s i Ba n o r m a l n a N ( x ) .
N ( x )
x
x
W y n i k i e m d z i a Ba n i a s i By n o r m a l n e j
s n a p r |e n i a n o r m a l n e
N ( x )
( x ) =
S ( x )
p o s i a d a j c e w d a n y m p r z e k r o j u
r o z k Ba d r w n o m i e r n y ( w k a |d y m
( x )
p u n k c i e m a j j e d n a k o w e w a r t o [c i ) .
W p r a k t y c e z a Bo |e n i e o r w n o m i e r n o [c i r o z k Ba d u n a p r |e D n o r m a l -
n y c h n i e z a w s z e j e s t s p e Bn i o n e .
O b s z a r y r o z c i g a n y c h p r t w r z e c z y w i s t y c h , g d z i e n i e j e s t s p e Bn i o n e
z a Bo |e n i e o r w n o m i e r n o [c i n a p r |e D n o r m a l n y c h
( Z b . B r z o s k a , W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w , P W N W a r s z a w a 1 9 7 9 )
- 1 / 9 -
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
2 . 1 . A n a l i z a w y t r z y m a Bo [c i o w a p r t a r o z c i g a n e g o ( [c i s k a n e g o )
Z a Bo |e n i a :
- p r t j e s t p r o s t y ,
- p r t o b c i |o n y j e s t s i Ba m i d z i a Ba j c y m i o s i o w o :
o s k u p i o n y m i P i [ N ] ,
o r o z Bo |o n y m i w s p o s b c i g By q i [ N / m ] ,
- p r t z n a j d u j e s i w r w n o w a d z e ,
- p r t m o |e p o s i a d a z m i e n n e p o l e p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o
( s k o k o w o l u b w s p o s b c i g By ) ,
- p r t m o |e b y o d c i n k a m i z b u d o w a n y z r |n y c h m a t e r i a B w .
y
P i
q i
x
P e Bn a a n a l i z a w y t r z y m a Bo [c i o w a o b e j m u j e :
1 . w y z n a c z e n i e f u n k c j i s i By n o r m a l n e j N ( x )
n a p o d s t a w i e a n a l i z y r w n o w a g i m y [l o w o o d c i t e j c z [c i ,
2 . w y z n a c z e n i e f u n k c j i n a p r |e D n o r m a l n y c h
( x ) ,
N ( x )
( x ) =
S ( x )
S ( x ) p o l e p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r t a w m i e j s c u
o k r e [l o n y m w s p Br z d n x ,
3 . w y z n a c z e n i e f u n k c j i w y d Bu |e n i a w z g l d n e g o
( x )
( x )
( x ) =
z p r a w a H o o k e a
E ( x )
E m o d u B Y o u n g a m a t e r i a Bu ,
4 . w y z n a c z e n i e f u n k c j i p r z e m i e s z c z e n i a p r z e k r o j w u ( x )
x
u ( x ) =
+"( x ) d x
0
- 2 / 9 -
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
P r z y k Ba d
W y k o n a p e Bn a n a l i z w y t r z y m a Bo [c i o w p r t a O A o d Bu g o [c i l , p o l u p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o S , g s t o [c i m a t e r i a Bu
, z a w i e s z o n e g o
p i o n o w o i o b c i |o n e g o w Ba s n y m c i |a r e m . M o d u B Y o u n g a m a t e r i a Bu p r t a r w n y j e s t E .
D a n e : l = 1 0 0 m , S = 1 c m 2 , = 7 8 5 0 k g / m 3 , E = 2 . 1 "1 0 5 M P a , g H"1 0 m / s 2 .
G / S = G / ( S E ) =
y
N ( x ) u ( x )
"1 0 - 5
( x )
G = 7 7 0 N = 7 . 7 M P a ( x ) = 3 . 6 7 "
"
"
O
, S , E
l
N ( x ) = G ( x )
x
x
N ( x ) ( x )
( x ) = ( x ) =
S E
l - x
G ( x )
1 G
l = 1 . 8 4 m m
A
2 S E
l l l l
G ( x ) l - x
=
G l x x x x
x
x
!
u ( x ) =
+"( x ) d x =
l - x
0
G ( x ) = G
x
l
G l - x
c i |a r p r t a
= d x =
+"
S E l
G = l S g
0
G = 1 0 0 m "1 0 - 4 m 2 "7 8 5 0 k g / m 3 "9 . 8 1 m / s 2 = 7 7 0 N
G x 2
= x -
S E 2 l
- 3 / 9 -
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
2 . 2 . E n e r g i a o d k s z t a Bc e n i a p r z y r o z c i g a n i u
Z a Bo |e n i a :
L
- s i Ba r o z c i g a j c a n a r a s t a o d
S
z e r a d o s w o j e j m a k s y m a l n e j
w a r t o [c i F
- s p e Bn i o n e j e s t p r a w o H o o k e a
L
"
"L
"
"
F
F
s i Ba r o z c i g a j c a
F
E n e r g i a o d k s z t a Bc e n i a U z g r o m a d z o n a
w p r c i e r w n a j e s t p r a c y W s i By F
1
W
U = W = F " "L [ J ]
w y d Bu |e n i e
2
b e z w z g l d n e
"
"L
"
"
E n e r g i a o d k s z t a Bc e n i a n a j e d n o s t k o b j t o [c i
U 1 F "L 1
U v = = = " [ J / m 3 ]
L S 2 S L 2
=
p o u w z g l d n i e n i u p r a w a H o o k e a
E
2
1 1
2
U v = = E [ J / m 3 ]
2 E 2
E n e r g i a o d k s z t a Bc e n i a n a j e d n o s t k m a s y
2
U 1 1 1
2
U m = = " = = E [ J / k g ]
L S 2 2 E 2
- g s t o [ m a t e r i a Bu p r t a
- 4 / 9 -
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
2 . 3 . W s p Bc z y n n i k b e z p i e c z e Ds t w a
N a p r |e n i a w |a d n y m m i e j s c u k o n s t r u k c j i
n i e m o g p r z e k r o c z y d o p u s z c z a l n y c h w a r t o [c i k r
( m e t o d a n a p r |e D d o p u s z c z a l n y c h )
m a x d" k r
R m
R e
p r z y k Ba d o w y w y k r e s r o z c i g a n i a p r z y k Ba d o w y w y k r e s r o z c i g a n i a
d l a m a t e r i a Bu p l a s t y c z n e g o d l a m a t e r i a Bu k r u c h e g o
R e g r a n i c a p l a s t y c z n o [c i R m w y t r z y m a Bo [ n a r o z c i g a n i e
R e R m
k r = k r =
n e n m
w s p Bc z y n n i k b e z p i e c z e Ds t w a
n e , n m > 1
W a r t o [ w s p Bc z y n n i k a b e z p i e c z e Ds t w a p r z y j m u j e s i w z a l e |n o [c i o d :
- d o k Ba d n o [c i , z j a k z n a n e s o b c i |e n i a z e w n t r z n e ,
- c h a r a k t e r u o b c i |e D ( s t a Be , z m i e n n e ) ,
- j a k o [c i t e c h n o l o g i i ,
- w a r u n k w u |y t k o w a n i a ,
- d o k Ba d n o [c i d a n y c h m a t e r i a Bo w y c h ,
- s k u t k w a w a r i i ( k o s z t y n a p r a w y , e w . o f i a r y ) i t d . ! n o r m y
- 5 / 9 -
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
2 . 4 . A n a l i z a s t a n u n a p r |e n i a
S 0
B A
F F
O
A B
o
A
F
F
0 =
O
S 0
A
S 0
S
S =
B
n
c o s
F
F F
p = = c o s =
O
p
S S 0
= 0 c o s
B
= p c o s = 0 c o s 2
= p s i n = 0 s i n c o s
- d o d a t n i e , g d y d z i a Ba n a z e w n t r z r o z p a t r y w a n e j c z [c i
- d o d a t n i e , g d y d a j e w s p Bz e g a r o w y o b r t r o z p a t r y w a n e j c z [c i
- 6 / 9 -
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
+
/ 2
n
+
/ 2
O
+
+ 3
/ 2
= 0 c o s 2
+
= 0 s i n c o s
+ 3
/ 2
+ / 2 = 0 s i n 2
s i n ( + 2 ) = c o s
+ / 2 = - 0 s i n c o s
c o s ( + 2 ) = - s i n
+ = 0 c o s 2
s i n ( + ) = - s i n
+ = 0 s i n c o s
c o s ( + ) = c o s
+ 3 / 2 = 0 s i n 2
s i n ( + 3 2 ) = - c o s
c o s ( + 3 2 ) = s i n + 3 / 2 = - 0 s i n c o s
= + = 0 c o s 2
+ / 2 = + 3 / 2 = 0 s i n 2
= - + / 2 = + = - + 3 / 2 = 0 s i n c o s
z a s a d a s y m e t r i i n a p r |e D s t y c z n y c h
- 7 / 9 -
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
2 . 5 . A n a l i z a s t a n u o d k s z t a Bc e n i a
y
o o
A
x
O
D
P o o b c i |e n i u w s z y s t k i e w y m i a r y n a k i e r u n k u o s i O x d o z n a j w y d Bu |e n i a w z g l d n e g o
, z a [ n a k i e r u n k u o s i O y s k r c e n i a w z g l d n e g o .
y
p r z e d o b c i a |e n i e m
A
A [ a c o s ; a s i n ]
A 1
a
D [ a s i n ; - a c o s ]
x
O
k t A O D j e s t p r o s t y
9 0 0 -
p o o b c i a |e n i u
a
p u n k t A p r z e c h o d z i w A 1
D 1
A 1 [ a c o s ( 1 + ) ; a s i n ( 1 - ) ]
D
p u n k t D p r z e c h o d z i w D 1
D 1 [ a s i n ( 1 + ) ; - a c o s ( 1 - ) ]
k t A 1 O D 1 j e s t m n i e j s z y o d p r o s t e g o o w a r t o [
O A 1 = [ a c o s ( 1 + ) ] 2 + [ a s i n ( 1 - ) ] 2 H" a [ 1 + ( c o s 2 - s i n 2 ) ]
O D 1 = [ a s i n ( 1 + ) ] 2 + [ - a c o s ( 1 - ) ] 2 H" a [ 1 + ( s i n 2 - c o s 2 ) ]
( p o m i n i t o c z Bo n y 2 j a k o m a Be d r u g i e g o r z d u o r a z p r z y j t o p r z y b l i |e n i e
g d y c < < 1 )
1 + c H" 1 + c / 2
- 8 / 9 -
2 . R o z c i g a n i e ( [c i s k a n i e ) p r t a
a c o s ( 1 + ) a s i n ( 1 + ) - a s i n ( 1 - ) a c o s ( 1 - )
c o s ( 9 0 o - ) = =
O A 1 "O D 1
2 ( 1 + )
= s i n c o s H" 2 ( 1 + ) s i n c o s
1 + ( 1 - )
b o ( 1 - ) < < 1
c o s ( 9 0 o - ) = s i n s i n =
d l a m a By c h k t w
= 2 ( 1 + ) s i n c o s
o
z p r a w a H o o k e ' a
=
E
2 ( 1 + ) s i n c o s
=
k t o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o o
E
O A 1 - a
w y d Bu |e n i e w z g l d n e n a k i e r u n k u =
a
= ( c o s 2 - s i n 2 )
O D 1 - a
- / 2 =
w y d Bu |e n i e w z g l d n e n a k i e r u n k u -
- / 2
-
-
a
- / 2 = ( s i n 2 - c o s 2 )
- 9 / 9 -
3 . S k r c a n i e p r t a
3 . S K R C A N I E P R T A
3 . 1 . S t a n c z y s t e g o [c i n a n i a
+
/ 2
O
r o z c i g a n i e
+
/ 2
+
+ 3
/ 2
+
/ 2
O
+
+ 3
/ 2
+
+ 3
/ 2
+
/ 2
c z y s t e
O
z Bo |o n y s t a n n a p r |e D
[c i n a n i e
+
+ 3
/ 2
o d k s z t a Bc e n i e
s p o w o d o w a n e
O
d z i a Ba n i e m
n a p r |e D
n o r m a l n y c h
O
w y d Bu |e n i e
( s k r c e n i e )
o d k s z t a Bc e n i e
z Bo |o n y s t a n
s p o w o d o w a n e
o d k s z t a Bc e D
d z i a Ba n i e m
O
n a p r |e D
s t y c z n y c h
o d k s z t a Bc e n i e
p o s t a c i o w e
- 1 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
k t o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o
"a
A
B
A
= s i n c o s
B
0
T A B
2 ( 1 + ) s i n c o s
=
0
E
a
2 ( 1 + ) =
=
E
E
2 ( 1 + )
b
D
C
m o d u B s z t y w n o [c i
E
p r a w o H o o k e a
= G
p o s t a c i o w e j
=
p r z y [c i n a n i u
2 ( 1 + )
( m o d u B K i r c h h o f f a )
G
d l a s t a l i : E H"2 . 1 "1 0 5 M P a , H"0 . 3 ! H"0 . 8 1 "
! G H" "1 0 5 M P a
! H" "
! H" "
p r z y k Ba d : = 2 0 0 M P a , G H"0 . 8 1 "1 0 5 M P a !
! = 2 . 4 7 "1 0 - 3 r a d = 0 . 1 4 o H"8 . 5
!
!
3 . 2 . E n e r g i a w e w n t r z n a w s t a n i e c z y s t e g o [c i n a n i a
T A B = b h "
- w y p a d k o w a s i Ba d z i a Ba j c a n a b r z e g u A B ( h g r u b o [ k o s t k i )
E n e r g i a w e w n t r z n a U z g r o m a d z o n a w k o s t c e r w n a j e s t p r a c y s i By T A B n a
p r z e m i e s z c z e n i u "a = a
1 1
U = T A B "a = b h a [ J ]
2 2
E n e r g i a w e w n t r z n a n a j e d n o s t k o b j t o [c i
2 2
U 1 G
U v = = = = [ J / m 3 ]
a b h 2 2 G 2
- 2 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
3 . 3 . S k r c a n i e r u r y c i e n k o [c i e n n e j
r e a l i z a c j a s t a n u c z y s t e g o [c i n a n i a
M s
z
M s
y
O
M s
e l e m e n t a r n a
x
k o s t k a
d F = R d
d
R
2 2
2
M = R d F =
s
+" +"R d = 2 R 2
O
0 0
M s
=
2 R 2
s t a n c z y s t e g o
[c i n a n i a
z
M s
M s
x
e l e m e n t a r n a k o s t k a
w y c i t a z e [c i a n k i r u r y
i l u s t r a c j a k t a o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o
n a p o w i e r z c h n i s k r c a n e j r u r y
- 3 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
e
p
g r a n i c a p l a s t y c z n o [c i p r z y s k r c a n i u
g r a n i c a p r o p o r c j o n a l n o [c i
( g r a n i c a s t o s o w a l n o [c i p r a w a
H o o k e a ) p r z y s k r c a n i u
P r z y k Ba d o w y w y k r e s s k r c a n i a
P r b k a d o s t a t y c z n e j p r b y s k r c a n i a
( Z b . B r z o s k a , W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w , P W N W a r s z a w a , 1 9 7 9 )
- 4 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
3 . 4 . S k r c a n i e p r t a o p r z e k r o j u k o Bo w y m
S k r c a n i e p r z y p a d e k o b c i |e n i a k o n s t r u k c j i , g d y w m y [l o w y m
p r z e k r o j u i s t n i e j e m o m e n t s k r c a j c y M s .
l
M s
z
z
y
y
A
A
M s
x
x
p r z e d o b c i |e n i e m
p o o b c i |e n i u p r t a m o m e n t e m
- n a p o w i e r z c h n i p r t a s k r c a j c y m M s
n a r y s o w a n o p r o s t o k t n s i a t k
- s i a t k a p r o s t o k t n a z m i e n i a s i n a
o k r a w d z i a c h r w n o l e g By c h d o
u k o [n o k t n
o s i p r t a
- Bu k i k B p o z o s t a j n i e z m i e n i o n e
- l i n i e r w n o l e g Be d o o s i z m i e n i a j
s i n a l i n i e [r u b o w e n a c h y l o n e
p o d k t e m
- p r z e k r o j e k o Dc o w e o d c i n k a p r t a
s k r c a j s i w z g l d e m s i e b i e o
k t
H i p o t e z a p Ba s k i c h p r z e k r o j w :
P r z y s k r c a n i u p r t a k o Bo w e g o p r z e k r o j e p o p r z e c z n e n i e d o z n a j
|a d n y c h o d k s z t a Bc e D, a j e d y n i e o b r a c a j s i w o k B o s i p r t a .
- 5 / 1 3 -
w
w
d = 2 r
z
z
d = 2 r
3 . S k r c a n i e p r t a
E l e m e n t a r n a w s p B[r o d k o w a r u r a o
z
p r o m i e n i u r i g r u b o [c i d r u l e g a s k r c e n i u
d r
o t e n s a m k t , c o i c a By p r t .
A
B
A
r k t o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o
B r
r
y
e l e m e n t a r n e j r u r y
O
r
=
B B ' = l = r
r
!
r
l
e l e m e n t a r n a
z p r a w a H o o k e a d l a [c i n a n i a
w s p B[r o d k o w a
r
r u r a
r = G = G
r
l
E l e m e n t a r n y m o m e n t d M , j a k i n a p r |e n i a r r o z w i j a j w z g l d e m p u n k t u O
w y n o s i
r 3
d M = r 2 r 2 d r = 2 G d r
l
( p a t r z : s k r c a n i e r u r y c i e n k o [c i e n n e j ) .
M o m e n t w z g l d e m p u n k t u O o d w s z y s t k i c h m y [l o w o w y c i t y c h , w s p B[r o d k o -
w y c h r u r , p o k r y w a j c y c h c a Be p o l e p o w i e r z c h n i S p r z e k r o j u p r t a , m u s i b y
r w n o w a |n y m o m e n t o w i s k r c a j c e m u M s
r z r z
r 3
s
+"d M = +"2 G l d r = G +"2 r 3 d r = M
l
S r w r w
r z
4 4 4
( r 4 - r w ) = ( d z - d w )
3
z
J 0 =
+"2 r d r =
2 3 2
r w
b i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i
p r z e k r o j u k o Bo w e g o [ m 4 ]
- 6 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
M l M
s s
= = =
G J 0 l G J 0
k t s k r c e n i a j e d n o s t k o w y k t s k r c e n i a
[ r a d ] ( s k r c e n i e w z g l d n e ) [ r a d / m ]
G J 0 [ N m 2 ] s z t y w n o [ p r t a n a s k r c a n i e
F l "l F
a n a l o g i a d o "l = o r a z = = p r z y r o z c i g a n i u p r t a
E S l E S
M
s
= r
r
J 0
n a p r |e n i a s t y c z n e
p r z y s k r c a n i u p r z e k r o j u k o Bo w e g o
z
z
m a x r
m a x C r
r
m i n
r
y
y
O
O
d w = 2 r w
d w = 0
d z = 2 r z d z = 2 r z
r o z k Ba d n a p r |e D s t y c z n y c h
w p r z e k r o j u s k r c a n e g o p r t a k o Bo w e g o
- 7 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
M M M
s s s
= r m a x = =
m a x
J 0 W 0
J 0
r m a x
m a k s y m a l n e n a p r |e n i a s t y c z n e
4 4 4 4 3
J 0 ( r - r w ) ( d z - d w ) J 0 r 3 d z
z z
W 0 = = = W 0 = = =
r m a x 2 r 1 6 d z r m a x 2 1 6
z
d l a p r z e k r o j u d r |o n e g o d l a p r z e k r o j u p e Bn e g o
w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a s k r c a n i e
3 . 5 . E n e r g i a w e w n t r z n a w s k r c a n y m p r c i e
J e [l i z a c h o w a n e j e s t p r a w o H o o k e ' a p r z y s k r c a n i u ,
M s
t o e n e r g i a w e w n e t r z n a U z g r o m a d z o n a w p r c i e
r w n a j e s t p r a c y z e w n t r z n e j w y k o n a n e j p r z e z
m o m e n t s k r c a j c y M s n a p r z e m i e s z c z e n i u
W
2
1 M s l
U = W = M s = [ J ]
2 2 G J 0
E n e r g i a w e w n t r z n a n a j e d n o s t k d Bu g o [c i p r t a
2
U M s M s
U l = = = [ J / m ]
l 2 G J 0 2
- 8 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
3 . 6 . S k r c a n i e p r t w o p r z e k r o j a c h n i e k o Bo w y c h
O b r a z o d k s z t a Bc e D p r z y s k r c a n i u p r t a p r o s t o k t n e g o
( Z b . B r z o s k a , W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w , P W N W a r s z a w a , 1 9 7 9 )
p r z e d o b c i |e n i e m p o o b c i |e n i u m o m e n t e m
- p r o s t o k t n a s i a t k a s k r c a j c y m
n a n i e s i o n a n a b o c z n e j - s i a t k a o d k s z t a Bc a s i
p o w i e r z c h n i p r t a n i e j e d n a k o w o
- l i n i e p r o s t e i p r o s t o p a d Be d o o s i
p r t a s t a j s i z a k r z y w i o n e
( p i e r w o t n i e p Ba s k i p r z e k r j n i e
p o z o s t a j e p Ba s k i )
z T e o r i i S p r |y s t o [c i :
1 . p r z y s k r c a n i u p r y z m a t y c z n e g o p r t a w j e g o p r z e k r o j u p o p r z e c z -
n y m i s t n i e j t y l k o n a p r |e n i a s t y c z n e
,
2 . k i e r u n k i n a p r |e D s t y c z n y c h w y k a z u j a n a l o g i d o k i e r u n k u r u c h u
c z s t e k c i e c z y k r |c e j w p Ba s k i m n a c z y n i u o k s z t a Bc i e p r z e k r o j u
d a n e g o p r t a ( a n a l o g i a h y d r o d y n a m i c z n a ) ,
M s
l i n i e p r d u k r |c e j
c i e c z y ( t o r y c z s t e k )
p r d k o [ c z s t k i
p Ba s k i e
p r z e k r j
n a c z y n i e
p r t a
3 . s k r c e n i e w z g l d n e p r t a z a l e |y o d k s z t a Bt u i w y m i a r w p r z e -
k r o j u i j e s t p r o p o r c j o n a l n e d o m o m e n t u s k r c a j c e g o M s , a o d w r o t -
n i e p r o p o r c j o n a l n e d o m o d u Bu G .
- 9 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
M a k s y m a l n e n a p r |e n i a s t y c z n e m a x o r a z j e d n o s t k o w y k a t s k r c e n i a
o b l i c z a s i z e w z o r w :
M M s
s
= =
m a x
W s G J s
m a k s y m a l n e n a p r |e n i a j e d n o s t k o w y
s t y c z n e k t s k r c e n i a
W s [ m 3 ] , J s [ m 4 ] w i e l k o [c i c z y s t o g e o m e t r y c z n e z a l e |n e o d k s z t a Bt u i w y m i a -
r w p r z e k r o j u ( o d p o w i a d a j p a r a m e t r o m W 0 i J 0 p r z y s k r c a n i u p r z e k r o j u k o Bo w e g o )
G J s [ N m 2 ] s z t y w n o [ n a s k r c a n i e
E n e r g i a w e w n t r z n a n a j e d n o s t k d Bu g o [c i p r t a
2
M M
s s
U l = =
[ J / m ]
2 G J 2
s
P R O S T O K T
b
B h / b c 1 c 2 c 3
0 . 2 0 8 0 . 1 4 1 1 . 0 0 0
1 . 0
h e"
e" b
e"
e"
0 . 2 3 1 0 . 1 9 6 0 . 8 5 8
1 . 5
0 . 2 4 6 0 . 2 2 9 0 . 7 9 6
A A
2 . 0
h
0 . 2 6 7 0 . 2 6 3 0 . 7 5 3
3 . 0
0 . 2 9 9 0 . 2 9 8 0 . 7 4 3
6 . 0
0 . 3 3 3 0 . 3 3 3 0 . 7 4 3
"
B
h
0 . 3 5
0 . 3 3 3
W s = c 1 b 3
b
0 . 3 0
c
1
0 . 2 5
h
J s = c 2 b 4
0 . 2 0
b
c
2
0 . 1 5
A = m a x B = c 3 m a x
0 . 1 0
= 0 w n a r o |a c h
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
h / b
- 1 0 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
T R J K T R W N O B O C Z N Y
a 3 a 4
W s = J s =
A A
2 0 4 6 . 2
A
A = m a x = 0 w n a r o |a c h
a
S Z E ZC I O K T F O R E M N Y
A
A
A
W s = 0 . 1 8 9 a 3 J s = 0 . 1 1 5 a 4
a
A
A
A = m a x = 0 w n a r o |a c h
A
C I E N K O ZC I E N N Y P R O F I L O T W A R T Y
n n
1 1
W s = s i i 3 J s = s i i 3
" "
3 3
i = 1 i = 1
m a x
1
s 1
n
s n
i
m a x w [r o d k u d l u g i c h b o k w o d c i n k a
o g r u b o [c i m a x
s i
C I E N K O ZC I E N N A D O W O L N A R U R A
n
s
2
J s = 4 F
W s = 2 F "i
m i n
i = 1
i
1
s 1 F
n
s n
i
m a x w m i e j s c u , g d z i e g r u b o [ [c i a n k i j e s t
n a j m n i e j s z a
s i
F p o l e o g r a n i c z o n e l i n i [r o d k o w
- 1 1 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
3 . 7 . N a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a s p r |y n y [r u b o w e j
P
D = 2 R [r e d n i c a s p r |y n y
d = 2 r [r e d n i c a d r u t u
n l i c z b a z w o j w
k t n a c h y l e n i a z w o j w ( m a By )
P s i Ba r o z c i g a j c a s p r |y n
O
d = 2 r
( r y s u n k i s p r |y n z a c z e r p n i t o z :
N i e z g o d z i Ds k i M . E . , N i e z g o d z i Ds k i T . :
W y t r z y m a Bo [ m a t e r i a B w , P W N W a r s z a w a 2 0 0 2 )
R
P s i n P
P
P c o s
M s = P R
M c o s
O
O
M = P R
M s i n
O
W m y [l o w y m p r z e k r o j u D l a m a By c h k t w
d r u t u s p r |y n y d z i a Ba j : m o |n a p r z y j :
- s i Ba n o r m a l n a P s i n , 0
- s i B t n c a P c o s , P
- m o m e n t s k r c a j c y M c o s , M s
- m o m e n t g n c y M s i n , 0
- 1 2 / 1 3 -
3 . S k r c a n i e p r t a
N a p r |e n i a i s t n i e j c e w m y [l o w y m p r z e k r o j u d r u t u s p r |y n y s s u m n a p r |e D
o d [c i n a n i a s i B P i s k r c a n i a m o m e n t e m M s
P
P
M s
M s
m a x
M
P
d = 2 r
M s 1 6 M s
M = = =
m a x = + =
P M
W 0
d 3
4 P 4 4 P
= = 4 P 4 D
P
2
8 P D = + 2
3 3
r 2 d
2
=
3 d
d
d 3
j e [l i D > > d t o
8 P D
E"
m a x
3
d
O d k s z t a Bc e n i e s p r |y n y [r u b o w e j
M M
s s
d = d s d = R d = R d s
M s
G J 0 G J 0
A
d
d
A O 2 R n
M 2 P R 3 n 8 P D 3 n
s
= R d s = =
+"
4
d s
G J 0
r 4 G d
0
G
2
P
s p r |y n a [r u b o w a
o m a By m s k o k u j e s t
s z t y w n o [ s p r |y n y
s p r |y n l i n i o w
P G d 4
k = = = c o n s t
8 D 3 n
- 1 3 / 1 3 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
4 . Z G I N A N I E P R T A
4 . 1 . W i e l k o [c i c h a r a k t e r y z u j c e g e o m e t r i p r z e k r o j u
4 . 1 . 1 . Zr o d e k c i |k o [c i p r z e k r o j u
z
A C a Be p o l e A p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u p o d z i e l o n o n a
n c z [c i o p o l a c h p o w i e r z c h n i "A i
"A i
y i
M o m e n t y s t a t y c z n e p r z e k r o j u w z g l d e m o s i y i z
n n
y c
c
S y = z i "A i S z = y i "A i
" "
i = 1 i = 1
z i
z c
S y = z d A S z = y d A
+" +"
g d y n ! " i "A i !0
A A
y
W s p Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i p r z e k r o j u
O
S y
S z
y c = z c =
A A
g d y b y z c i e n k i e j b l a c h y w y c i e l e m e n t o k s z t a Bc i e
c
d a n e g o p r z e k r o j u i z a w i e s i g o n a n i c i w [r o d k u
c i |k o [c i t o b d z i e o n p o z o s t a w a B w r w n o w a d z e
w k a |d y m p o Bo |e n i u
T w i e r d z e n i a
1 . M o m e n t s t a t y c z n y w z g l d e m o s i p r z e c h o d z c e j p r z e z [r o d e k c i |k o [c i
p r z e k r o j u r w n y j e s t z e r u .
2 . J e [l i p r z e k r j p o s i a d a o [ s y m e t r i i t o [r o d e k c i |k o [c i l e |y n a t e j o s i .
3 . M o m e n t s t a t y c z n y s u m y p l w z g l d e m w y b r a n e j o s i r w n y j e s t s u m i e
m o m e n t w s t a t y c z n y c h t y c h p l w z g l d e m t e j |e o s i .
P r z e k r j d z i e l i m y n a n c z [c i o p o l a c h p o w i e r z c h n i A i , d l a k t r y c h z n a n e s
w s p Br z d n e y c i , z c i p o Bo |e n i a i c h [r o d k w c i |k o [c i c i .
z
W s p Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i c a Be g o p r z e k r o j u
o b l i c z a m y z e w z o r w
A 1 A 2
n n
A i y c i A i z c i
"
c "
y c
A n A i
S y i = 1
S z i = 1
y c = = z c = =
z c i
c i
A A A A
z c
n
y
A = A i - p o l e p o w i e r z c h n i c a Be j p r z e k r o j u
"
g d z i e :
O y c i
i = 1
- 1 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
P o Bo |e n i e [r o d k a c i |k o [c i w y b r a n y c h f i g u r
p r o s t o k t
c
a b a
h
c
t r a p e z
t r j k t
h
c
b
b
a
h / 3
w y c i n e k p i e r [c i e n i a
R
s i n
2
r 2 R 2 + R r + r
2
c
r c =
[ r a d ]
3 R + r
2
r c
p r z y p a d k i s z c z e g l n e
/ 2 =
= / 2
R
R
r = 0
c
c
r
4 R
3
r c
r c
4 2 R 2 + R r + r 2 4 2
r c = r c = R
3 R + r 3
- 2 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
P r z y k Ba d :
W y z n a c z y w s p Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i p r z e k r o j u A B C D E F G H p o k a z a n e g o n a
r y s u n k u ( w y m i a r y p o d a n o w m m ) .
z
H G
K o l e j n o [ p o s t p o w a n i a :
1 5
2
1 ) o b i e r a m y u k Ba d w s p Br z d n y c h y , z ,
E F
2 ) d z i e l i m y p r z e k r j n a c z [c i , k t r y c h
w s p Br z d n e [r o d k w c i |k o [c i m o |n a
Ba t w o o b l i c z y ,
5 0
c ( 1 1 . 6 7 , 2 1 . 6 7 )
3 ) n u m e r u j e m y t e c z [c i o d 1 d o n ,
4 ) p r z y g o t o w u j e m y t a b e l k w e d Bu g
D C
p o d a n e g o n i |e j w z o r u ,
3
1 5
5 ) d o t a b e l k i w p i s u j e m y p o l a p o w i e r z c h n i A i
y
k o l e j n y c h c z [c i o r a z w s p Br z d n e y c i , z c i
A B
1 0
i c h [r o d k w c i |k o [c i ,
6 ) w y k o n u j e m y o b l i c z e n i a w t a b e l i ( k o l u m n y
3 0
5 i 6 ) ,
7 ) k o l u m n y 2 , 5 i 6 p o d s u m o w u j e m y ,
8 ) o b l i c z a m y w s p Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i c a Be g o p r z e k r o j u w e d Bu g p o d a n y c h
w z o r w , p o Bo |e n i e [r o d k a c i |k o [c i n a n o s i m y n a r y s u n k u .
A i y c i z c i A i y c i A i z c i
i
[ m m 2 ] [ m m ] [ m m ] [ m m 3 ] [ m m 3 ]
1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 2 0 4 7 . 5 2 0 0 0 4 7 5 0
2 5 0 0 5 2 5 2 5 0 0 1 2 5 0 0
3 3 0 0 2 0 7 . 5 6 0 0 0 2 2 5 0
9 0 0 1 0 5 0 0 1 9 5 0 0
y c = 1 0 5 0 0 / 9 0 0 E"1 1 . 6 7 m m z c = 1 9 5 0 0 / 9 0 0 E"2 1 . 6 7 m m
M e t o d a p l u j e m n y c h
R o z p a t r y w a n y p r z e k r j m o |e m y p o t r a k t o w a j a k o z Bo |o n y z d w c h f i g u r :
1 p r o s t o k t a A B G H , 2 p r o s t o k t a C D E F a l e o p o l u u j e m n y m .
A i y c i z c i A i y c i A i z c i
i
[ m m 2 ] [ m m ] [ m m ] [ m m 3 ] [ m m 3 ]
1 2 3 4 5 6
1 1 5 0 0 1 5 2 5 2 2 5 0 0 3 7 5 0 0
2 6 0 0 2 0 3 0 1 2 0 0 0 1 8 0 0 0
9 0 0 1 0 5 0 0 1 9 5 0 0
y c = 1 0 5 0 0 / 9 0 0 E"1 1 . 6 7 m m z c = 1 9 5 0 0 / 9 0 0 E"2 1 . 6 7 m m
- 3 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
4 . 1 . 2 . M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u
C a Be p o l e A p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u p o d z i e l o n o n a
n c z [c i o p o l a c h p o w i e r z c h n i "A i
z
A
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i
"A i
g d y n ! " i "A i !0
y i
n
J = z 2 d A
J = z i 2 "A i
y
+"
"
y
A
r i i = 1
z i
n
J = y 2 d A
J = y i 2 "A i
z
+"
"
z
y
A
i = 1
O
B i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i
g d y n ! " i "A i !0
J O = r 2 d A = ( y 2 + z 2 ) d A =
+" +"
n
A A
J O = r 2 d A
J O = r i 2 "A i
+"
"
A = y 2 d A + z 2 d A = J + J
i = 1
z y
+" +"
A A
T w i e r d z e n i e
B i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i r w n y j e s t s u m i e m o m e n t w b e z w Ba d n o [c i
w z g l d e m d w c h w z a j e m n i e p r o s t o p a d By c h o s i p r z e c i n a j c y c h s i w b i e g u n i e .
M o m e n t o d [r o d k o w y ( d e w i a c j i , z b o c z e n i a )
g d y n ! " i "A i !0
T w i e r d z e n i e
n
J e [l i k t r a [ z o s i y , z j e s t o s i s y m e t r i i
J = y z d A
J = y i z i "A i
y z
+"
"
y z
p r z e k r o j u , t o m o m e n t o d [r o d k o w y J y z
A
i = 1
w z g l d e m t y c h o s i r w n y j e s t z e r u .
D e f i n i c j e
1 . O s i e y , z z a c z e p i o n e w [r o d k u c i |k o [c i p r z e k r o j u n a z y w a m y o s i a m i
c e n t r a l n y m i .
2 . O s i e y , z , w z g l d e m k t r y c h m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i J y o r a z J z o s i g a j
e k s t r e m a l n e w a r t o [c i n a z y w a m y o s i a m i g B w n y m i .
3 . O s i e c e n t r a l n e , b d c e r w n o c z e [n i e o s i a m i g B w n y m i n a z y w a m y g B w n y m i
c e n t r a l n y m i o s i a m i b e z w Ba d n o [c i ( G C O B )
G B w n e c e n t r a l n e o s i e b e z w Ba d n o [c i m a j s z c z e g l n e z n a c z e n i e
p r z y a n a l i z i e r o z k Ba d u n a p r |e D w p r t a c h z g i n a n y c h .
- 4 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i r w n o l e g By c h
z c
z
A
y c , z c o s i e c e n t r a l n e ( z a c z e p i o n e w
d A
[r o d k u c i |k o [c i p r z e k r o j u )
z
z c
y , z o s i e r w n o l e g Be d o o s i c e n t r a l n y c h ,
y 0
y p r z e s u n i t e o y 0 , z 0
0
z 0 y y c
E l e m e n t a r n e p o l e d A p o s i a d a
y c
c
w s p Br z d n e ( y c , z c ) w u k Ba d z i e
c e n t r a l n y m o r a z w s p Br z d n e ( y , z ) w
u k Ba d z i e p r z e s u n i t y m .
y = y c - y 0 z = z c - z 0
2
d J = y 2 d A = ( y c - y 0 ) d A =
d J = z 2 d A = ( z c - z 0 ) 2 d A =
z
y
2 2
2 2
= y c d A - 2 y c y 0 d A + y 0 d A
= z c d A - 2 z c z 0 d A + z 0 d A
2 2
2 2
J = y c d A - 2 y 0 y c d A + y 0 d A
J = z c d A - 2 z 0 z c d A + z 0 d A
z
+" +" +"
y
+" +" +"
A A A
A A A
J z
J
A A
y c c 0
0
2 2
J = J + z 0 A J z = J z c + y 0 A
y y c
w z o r y S t e i n e r a
T w i e r d z e n i e S t e i n e r a
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i j e s t r w n y s u m i e m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i
w z g l d e m r w n o l e g Be j o s i c e n t r a l n e j o r a z i l o c z y n u p o l a A f i g u r y p r z e z k w a d r a t
o d l e g Bo [c i m i d z y t y m i o s i a m i .
d J = y z d A = ( y c - y 0 ) ( z c - z 0 ) =
y z
= y c z c d A - z 0 y c d A - y 0 z c d A + y 0 z 0 d A
J = y c z c d A - z 0 y c d A - y 0 z c d A + y 0 z 0 d A
y z
+" +" +" +"
A A A A
J
0
0
A
y c z c
J = J + y 0 z 0 A
y z y c z c
T w i e r d z e n i e
M o m e n t o d [r o d k o w y w z g l d e m o s i u k Ba d u p r z e s u n i t e g o j e s t r w n y s u m i e
m o m e n t u o d [r o d k o w e g o w z g l d e m o s i u k Ba d u c e n t r a l n e g o o r a z i l o c z y n u p o l a A
f i g u r y p r z e z i l o c z y n w s p Br z d n y c h [r o d k a u k Ba d u p r z e s u n i t e g o .
- 5 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i o b r c o n y c h
z
d A y 1 , z 1 o s i e o b r c o n e w s t o s u n k u d o o s i
A
y , z o k t
z
z 1
y 1
E l e m e n t a r n e p o l e d A p o s i a d a w s p Br z -
d n e ( y , z ) w u k Ba d z i e y , z o r a z w s p Br z -
z 1
y 1
d n e ( y 1 , z 1 ) w u k Ba d z i e o b r c o n y m .
y
0 y
y 1 = y c o s + z s i n
z 1 = - y s i n + z c o s
2
2 2
d J = z 1 d A = ( - y s i n + z c o s ) d A = y 2 s i n d A - 2 y z s i n c o s d A + z 2 c o s 2 d A
y 1
2
J = s i n y 2 d A - s i n 2 y z d A + c o s 2 z 2 d A
y 1 +" +" +"
A A A
J y
J z
J y z
J = J c o s 2 + J z s i n 2 - J s i n 2
y 1 y y z
2
2
d J = y 1 d A = ( y c o s + z s i n ) d A = y 2 c o s 2 d A + 2 y z s i n c o s d A + z 2 s i n 2 d A
z 1
J = c o s 2 y 2 d A + s i n 2 y z d A + s i n 2 z 2 d A
y 1 +" +" +"
A A A
J y z
J y
J z
J z 1 = J s i n 2 + J z c o s 2 + J s i n 2
y y z
d J = y 1 z 1 d A = ( y c o s + z s i n ) ( - y s i n + z c o s ) d A =
y 1 z 1
2 2
= - s i n c o s y 2 d A + c o s 2 y z d A - s i n y z d A + s i n c o s z d A
J = - s i n c o s y 2 d A + c o s 2 y z d A + s i n c o s z 2 d A
y 1 z 1 +" +" +"
A A A
J y
J z J y z
1
J = J c o s 2 + ( J - J z ) s i n 2
y 1 z 1 y z y
2
- 6 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
O s i e g B w n e i g B w n e m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
Z a d a n i e
J J
N a l e |y z n a l e z t a k i k t = 0 o b r o t u o s i , a b y m o m e n t y o r a z o s i g a By
y 1 z 1
e k s t r e m a l n e w a r t o [c i .
d J
y 1
= - 2 s i n c o s J + 2 s i n c o s J - 2 c o s 2 J = 0
y z y z
d
s i n 2 ( J - J ) - 2 c o s 2 J = 0
z y y z
J
y z
t g 2 0 = 2
J - J
z y
O s i e o b r c o n e o t a k o k r e [l o n y k t 0 n a z y w a m y o s i a m i g B w n y m i .
P o p o d s t a w i e n i u k t a = 0 d o w y r a |e D n a m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w u k Ba d z i e o b r c o n y m i
w y k o r z y s t a n i u n a s t p u j c y c h z a l e |n o [c i t r y g o n o m e t r y c z n y c h
1 - c o s 2 1 + c o s 2 t g 2 1
2
s i n = c o s 2 = s i n 2 = c o s 2 =
2 2
2 2
1 + t g 2 1 + t g 2
o t r z y m u j e m y
g B w n e m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
( m o m e n t y w z g l d e m o s i g B w n y c h )
2
J z + J J z - J
y y
2
J = J m i n = -
+ J
y 1 y z
2 2
2
J z + J J z - J
y y
2
J z = J m a x = + + J
y z
1
2 2
J = 0
y 1 z 1
M o m e n t y g B w n e o s i g a j w a r t o [c i e k s t r e m a l n e ( n a j w i k s z i n a j m n i e j s z )
s p o [r d w s z y s t k i c h m o |l i w y c h w a r t o [c i u z y s k a n y c h p r z y o b r o c i e u k Ba d u
w s p Br z d n y c h o d o w o l n y k t .
M o m e n t o d [r o d k o w y ( d e w i a c j i ) w z g l d e m o s i g B w n y c h o s i g a w a r t o [ 0 .
- 7 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
K o Bo M o h r a d l a m o m e n t w b e z w Ba d n o [c i
( g e o m e t r y c z n a i n t e r p r e t a c j a w z o r w )
2
J J z + J J z y
- J
y z y
2
t g 2 0 = 2 J m i n , m a x = m + J
y z
J - J 2 2
z y
J y z
A
J y z
2
J
- J
z y 2
+ J
y z
2
J + J
y z
2 J y J z
J m i n J z
J m a x
J y
C
0
2
- J y z
B
K o l e j n o [ p o s t p o w a n i a :
1 ) r y s u j e m y u k Ba d w s p Br z d n y c h : o [ p o z i o m a J y J z , o [ p i o n o w a J y z ,
2 ) z a z n a c z a m y p u n k t y : A ( J y , J y z ) , B ( J z , J y z ) ,
3 ) p u n k t y A i B Bc z y m y o d c i n k i e m , k t r y p r z e c i n a j c s i z p o z i o m o s i w y z n a c z a
[r o d e k C k o Ba M o h r a ,
4 ) z a k r e [l a m y k o Bo M o h r a p r o m i e n i e m C A ,
5 ) a b y o t r z y m a g B w n e m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i J m i n , J m a x n a l e |y [r e d n i c A B
o b r c i o k t 2 t a k , a b y s t a Ba s i [r e d n i c p o z i o m ,
6 ) a b y o t r z y m a k i e r u n k i o s i g B w n y c h n a l e |y o s i e y , z o b r c i n a r y s u n k u p r z e k r o j u
o k t w t s a m s t r o n , c o [r e d n i c A B .
- 8 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w y b r a n y c h f i g u r
p r o s t o k t
z
c
y
a b 3 b a 3
b
J = J =
J = 0
y z
y z
1 2 1 2
a
z
t r j k t
p r o s t o k t n y
b
a b 3 b a 3 a 2 b 2
y
c
J = J z = J = -
y y z
3 6 3 6 7 2
b / 3
a / 3
a
R 4 - r 4 1
- s i n 2
w y c i n e k
z J =
y
p i e r [c i e n i a
8 2
R
R 4 - r 4 1
+ s i n 2
J z =
c
r
8 2
R 4 - r 4
y
J = ( 1 - c o s 2 )
y z
1 6
z
R 4 D 4
y
c
J = J z = =
J = 0
y
y z
4 6 4
D = 2 R
- 9 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
P r z y k Ba d :
W y z n a c z y m o m e n t y g B w n e i g B w n e c e n t r a l n e o s i e b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u
A B C D E F G H p o k a z a n e g o n a r y s u n k u ( w y m i a r y p o d a n o w m m ) .
K o l e j n o [ p o s t p o w a n i a :
z
1 ) w y z n a c z a m y p o Bo |e n i e [r o d k a c i |k o [c i
H G
p r z e k r o j u ( p a t r z p o p r z e d n i p r z y k Ba d )
1 5
2
2 ) w p r o w a d z a m y d l a k a |d e j c z [c i p o l a l o k a l n y
E F
o k Ba d w s p Br z d n y c h u i , v i z a c z e p i o n y w j e j
z c
[r o d k u c i |k o [c i i o s i a c h r w n o l e g By c h d o
o s i u k Ba d u g l o b a l n e g o y , z
5 0
y c
c ( 1 1 . 6 7 , 2 1 . 6 7 )
v i
D C
u i
3
b i
c i
1 5
y
a i
A B
1 0
3 ) p r z y g o t o w u j e m y t a b e l k w e d Bu g p o d a n e g o
3 0
n i |e j w z o r u ,
4 ) d o t a b e l k i w p i s u j e m y p o l a p o w i e r z c h n i w y m i a r y a i , b i k o l e j n y c h c z [c i o r a z
w s p Br z d n e i c h [r o d k w c i |k o [c i y c i , z c i w u k Ba d z i e g l o b a l n y m y , z ,
5 ) o b l i c z a m y p o l a p o w i e r z c h n i A i c z [c i o r a z i c h m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m
J u i = a i b i 3 / 1 2 J v i = b i a i 3 / 1 2 J u v i = 0
l o k a l n y c h o s i u i , v i : , ,
6 ) k o r z y s t a j c z t w i e r d z e n i a S t e i n e r a o b l i c z a m y m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i c z [c i
w z g l d e m o s i u k Ba d u y , z ( k o l u m n y 1 0 , 1 1 i 1 2 )
2 2
J = J u i + A i z c i J = J v i + A i y c i J = J u v i + A i y c i z c i
,
y i z i y z i
7 ) k o l u m n y 1 0 , 1 1 i 1 2 p o d s u m o w u j e m y ,
8 ) k o r z y s t a j c z t w i e r d z e n i a S t e i n e r a o b l i c z a m y m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m
o s i c e n t r a l n y c h y c , z c
2 2
J = J - z c A i J = A i J = A i
" " "J - y c " "J - y c z c "
y c y i z c z i y z c y z i
a i b i y c i z c i A i J u i J v i J u v i
i
[ m m ] [ m m ] [ m m ] [ m m ] [ m m 2 ] [ m m 4 ] [ m m 4 ] [ m m 4 ]
1 2 3 5 6 4 7 8 9
1 2 0 5 2 0 4 7 . 5 1 0 0 2 0 8 3 3 3 3 0
2 1 0 5 0 5 2 5 5 0 0 1 0 4 1 6 7 4 1 6 7 0
3 2 0 1 5 2 0 7 . 5 3 0 0 5 6 2 5 1 0 0 0 0 0
9 0 0
J y c = 6 6 5 0 0 0 - 2 1 . 6 7 2 "9 0 0 = 2 4 2 3 7 0 m m 4
J y i J z i J y z i
[ m m 4 ] [ m m 4 ] [ m m 4 ]
J z c = 1 9 0 0 0 0 - 1 1 . 6 7 2 "9 0 0 = 6 7 4 3 0 m m 4
1 0 1 1 1 2
2 2 5 8 3 3 4 3 3 3 3 9 5 0 0 0
J y z c = 2 0 2 5 0 0 - 1 1 . 6 7 "2 1 . 6 7 "9 0 0 = - 2 5 1 0 0 m m 4
4 1 6 6 6 7 1 6 6 6 7 6 2 5 0 0
2 2 5 0 0 1 3 0 0 0 0 4 5 0 0 0
6 6 5 0 0 0 1 9 0 0 0 0 2 0 2 5 0 0
- 1 0 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
9 ) w c e l u z n a l e z i e n i a p o Bo |e n i a o s i g B w n y c h i m o m e n t w g B w n y c h m o |e m y
w y k o r z y s t a k o Bo M o h r a
J y z c
J y c = 2 4 2 3 7 0
9 1 0 0 0
J y c J z c
J m i n = 6 3 9 0 0
1 5 . 4 0 J m a x = 2 4 5 9 0 0
J y z c = - 2 5 1 0 0
J z c = 6 7 4 3 0
J + J
y c z c
= 1 5 4 9 0 0 m m 4 J m i n = J z 0 = 1 5 4 9 0 0 - 9 1 0 0 0 = 6 3 9 0 0 m m 4
2
2
J
- J
z c y c
2
+ J = 9 1 0 0 0 m m 4 J m a x = J y 0 = 1 5 4 9 0 0 + 9 1 0 0 0 = 2 4 5 9 0 0 m m 4
y z c
2
t g 2 = 0 . 2 8 7 ! 2 = 1 5 . 4 0
z 0
5
1 1 . 6 7
y 0
5 0
7 . 7 0
c
1 5
1 0
3 0
- 1 1 / 2 6 -
1 5 4 9 0 0
2 1 . 6 7
4 . Z g i n a n i e p r t a
4 . 2 . R o d z a j e z g i n a n i a
Z g i n a n i e s p o s b o b c i |e n i a p r t a ,
k t r y p o w o d u j e i s t n i e n i e w m y [l o w y m
p r z e k r o j u p r o s t o p a d By m d o j e g o o s i
z
m o m e n t u g n c e g o M g
M g
M o m e n t o w i g n c e m u t o w a r z y s z y
M g z
y
z a z w y c z a j s i Ba t n c a T .
T y
c
M g y
y , z g B w n e c e n t r a l n e o s i e
x
b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u
T
T z
Z g i n a n i e :
- c z y s t e w m y [l o w y m p r z e k r o j u i s t n i e j e j e d y n i e m o m e n t g n c y M g
- p o p r z e c z n e m o m e n t o w i M g t o w a r z y s z y s i Ba t n c a T
Z g i n a n i e :
- p r o s t e w y p a d k o w y m o m e n t g n c y M g m a k i e r u n e k j e d n e j z g B w n y c h
c e n t r a l n y c h o s i b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u y , z
- u k o [n e w y p a d k o w y m o m e n t g n c y d a j e n i e z e r o w e s k Ba d o w e n a o b i e o s i e y , z
z
z
y
x
c
M g z M g y
x
M g y
I n n y s p o s b p r z e d s t a w i e n i a w e k t o r a m o m e n t u g n c e g o
- 1 2 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
4 . 3 . W y k r e s y m o m e n t w g n c y c h i s i B t n c y c h
P r t o b c i |o n y s i Ba m i o r a z m o m e n t a m i s i B, k t r y c h w e k t o r y s p r o s t o p a d Be d o j e g o
o s i , n a z y w a m y b e l k .
q i ( x )
z
P i
M g i
x
A B
x
d x
O b c i |e n i e b e l k i :
1 . s i By c z y n n e
- s i By s k u p i o n e P i [ N ]
- s k u p i o n e m o m e n t y g n c e M g i [ N m ]
- o b c i |e n i e c i g Be q i ( x ) [ N / m ]
2 . s i By b i e r n e
- r e a k c j e p o d p r
Z w i z e k m i d z y o b c i |e n i e m c i g By m , m o m e n t e m g n c y m i s i B t n c
q ( x )
F z = 0 T ( x ) - q ( x ) d x - [ T ( x ) + d T ( x ) ] = 0
"
!
T ( x )
M g ( x ) + d M g ( x )
K
d T ( x )
M g ( x )
= - q ( x )
T ( x ) + d T ( x )
d x
x d x
d x
[ T ( x ) + d T ( x ) ] d x - [ M ( x ) + d M ( x ) ] = 0
"M = 0 M ( x ) + q ( x ) d x +
K g g g
2
p o p o m i n i c i u m a By c h d r u g i e g o r z d u : d x d x , d T ( x ) d x o t r z y m u j e m y
d M g ( x )
= T ( x )
d x
- 1 3 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
A b y w y k o n a w y k r e s y m o m e n t w g n c y c h M g ( x ) o r a z s i B t n c y c h T ( x ) w o g l n y m
p r z y p a d k u n a l e |y :
1 . w y z n a c z y r e a k c j e p o d p r
q i ( x )
z
P i
M g i
x
A B
R B
R A
2 . d o k o n a m y [l o w e g o p r z e k r o j u b e l k i - w m i e j s c u o k r e [l o n y m
w s p Br z d n x
q i ( x )
z
P i
M g i
x
A B
R B
R A
x
3 . w y z n a c z y s i By w e w n t r z n e M g ( x ) , T ( x ) z w a r u n k w r w n o w a g i l e w e j l u b
p r a w e j m y [l o w o o d c i t e j c z [c i
q i ( x )
z
P i
M g i
T ( x )
M g ( x )
x
A B
R B
R A M g ( x )
T ( x )
x x
- 1 4 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
P r z y k Ba d :
W y k o n a w y k r e s m o m e n t w g n c y c h M g ( x ) o r a z s i B t n c y c h T ( x ) d l a b e l k i p o k a z a -
n e j n a r y s u n k u .
z
q
l 1 = 1 m
l 2 = 1 m
M g
l 3 = 2 m
x
l 4 = 2 m
A
E
B C D
M g = 5 k N m
P
q = 2 k N / m
l 1 l 2 l 3 l 4
P = 1 0 k N
U w a g a :
W o g l n y m p r z y p a d k u n i e d a s i o p i s a j e d n y m r w n a n i e m p r z e b i e g u f u n k c j i M g ( x )
o r a z T ( x ) n a c a Be j b e l c e . R w n a n i a t e t r z e b a p i s a n i e z a l e |n i e d l a p o s z c z e g l n y c h
p r z e d z i a B w b e l k i . G r a n i c e p r z e d z i a B w w y z n a c z o n e s p r z e z p u n k t y p r z y Bo |e n i a s i B
s k u p i o n y c h i m o m e n t w s k u p i o n y c h j a k r w n i e | p o c z t e k i k o n i e c o b c i |e n i a
c i g Be g o .
1 ) O b l i c z e n i a r e a k c j i
z
q ( l 3 + l 4 )
q
M g
x
A
E
B C D
R D
R A
P
l 1 l 2 l 3 l 4
l 3 + l 4
+ R D ( l 1 + l 2 + l 3 ) + P ( l 1 + l 2 + l 3 + l 4 ) = 0
"M = 0 M - q ( l 3 + l 4 ) l 1 + l 2 +
A g
2
R D = - 8 . 2 5 k N
"F = 0 R A - q ( l 3 + l 4 ) + R D + P = 0
z
R A = 6 . 2 5 k N
- 1 5 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
z
q = 2 k N / m
M g = 5 k N m
x
A
E
B C D
R A = 6 . 2 5 k N
R D = 8 . 2 5 k N P = 1 0 k N
l 1 = 1 m l 2 = 1 m l 3 = 2 m l 4 = 2 m
2 ) W k o l e j n y c h p r z e d z i a Ba c h b e l k i w y k o n u j e m y m y [l o w e p r z e k r o j e i z w a r u n k w
r w n o w a g i l e w e j l u b p r a w e j c z [c i w y z n a c z a m y f u n k c j e M g ( x ) o r a z T ( x )
p r z e d z i a B A - B
M g ( x )
F z = 0 R A - T ( x ) = 0 T ( x ) = R A = 6 . 2 5
! k N
"
K
A
! k N m
"M = 0 M ( x ) - R A x = 0 M ( x ) = R A x = 6 . 2 5 x
K g g
R A T ( x )
x
p r z e d z i a B B - C
M g
F z = 0 R A - T ( x ) = 0 T ( x ) = R A = 6 . 2 5
! k N
"
M g ( x )
K
A
B
"M = 0 M ( x ) - R A x + M = 0
K g g
T ( x )
R A
M ( x ) = R A x - M = ( 6 . 2 5 x - 5 )
k N m
g g
l 1 = 1 m
x
p r z e d z i a B C - D
q
M g
M g ( x )
K
A
"F = 0 R A - q [ x - ( l 1 + l 2 ) ] - T ( x ) = 0
z
B C
T ( x )
R A T ( x ) = R A - q [ x - ( l 1 + l 2 ) ]
l 1 l 2
T ( x ) = [ 6 . 2 5 - 2 ( x - 2 ) ]
k N
x
- ( l 1 + l 2 ) ]
= 0
"M = 0 M ( x ) - R A x + M + q [ x - ( l 1 + l 2 ) ] [ x
K g g
2
2
[ x - ( l 1 + l 2 ) ]
M ( x ) = R A x - M - q M ( x ) = 6 . 2 5 x - 5 - ( x - 2 ) 2
k N
g g g
2
- 1 6 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
p r z e d z i a B D - E
q
"F = 0 T ( x ) - q [ ( l 1 + l 2 + l 3 + l 4 ) - x ] + P = 0
z
T ( x )
T ( x ) = q [ ( l 1 + l 2 + l 3 + l 4 ) - x ] - P
K
E
M g ( x )
T ( x ) = 2 [ 6 - x ] - 1 0
k N
P
x
l 1 + l 2 + l 3 + l 4
"M = 0
K
1
M ( x ) + q [ ( l 1 + l 2 + l 3 + l 4 ) - x ] [ ( l + l 2 + l 3 + l 4 ) - x ] - P [ ( l 1 + l 2 + l 3 + l 4 ) - x ] = 0
g
2
2
[ ( l 1 + l 2 + l 3 + l 4 ) - x ]
M ( x ) = P [ ( l 1 + l 2 + l 3 + l 4 ) - x ] - q
g
2
2
M ( x ) = 1 0 [ 6 - x ] - [ 6 - x ]
k N m
g
3 ) W y k o n u j e m y w y k r e s y
T [ k N ]
6 . 2 5
2 . 2 5
E x
A
B C D
- 6
- 1 0
1 6
M g [ k N m ]
7 . 5
6 . 2 5
1 . 2 5
x
B C D E
A
O t r z y m a n e w y k r e s y s i B w e w n t r z n y c h s t a n o w i p o d s t a w d a l s z e j a n a l i z y
w y t r z y m a Bo [c i o w e j b e l k i .
- 1 7 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
4 . 4 . O d k s z t a Bc e n i a i n a p r |e n i a p r z y c z y s t y m z g i n a n i u b e l k i
p r y z m a t y c z n e j
C z y s t e z g i n a n i e t a k i s p o s b o b c i |e n i a b e l k i , |e w p r z e k r o j a c h n a p e w n y m j e j
o d c i n k u p a n u j e j e d y n i e m o m e n t g n c y M g ( s i Ba t n c a T = 0 ) .
P o n i e w a | d M g / d x = T , t o p r z y c z y s t y m z g i n a n i u M g = c o n s t .
M g = P a = c o n s t
M g ( x )
P P
D
x
A
C
B
a
o d c i n e k b e l k i p o d d a n y
a
c z y s t e m u z g i n a n i u
P r z y k Ba d r e a l i z a c j i s t a n u c z y s t e g o z g i n a n i a b e l k i
Z a Bo |e n i a :
- z g i n a n i e n a s t p u j e w p Ba s z c z y zn i e r y s u n k u
( o [ z j e s t o s i g B w n )
z
z
M g M g
x
x
l
P r z e d o b c i |e n i e m : P o o b c i |e n i u m o m e n t e m g n c y m M g :
- n a p o w i e r z c h n i p r t a n a r y s o w a n o - l i n i e s i a t k i r w n o l e g Be d o o s i p r t a
p r o s t o k t n s i a t k ( w z d Bu |n e ) s t a j s i f r a g m e n t a m i
w s p B[r o d k o w y c h o k r g w ,
- l i n i e s i a t k i p r o s t o p a d Be d o o s i p o z o s t a j
p r o s t e i p r o s t o p a d Be d o l i n i i w z d Bu |n y c h .
W n i o s k i :
- p r z e k r o j e p Ba s k i e p r o s t o p a d Be d o o s i b e l k i p r z e d o d k s z t a Bc e n i e m p o z o s t a j p Ba s k i e
i p r o s t o p a d Be d o z a k r z y w i o n e j p o o d k s z t a Bc e n i u o s i b e l k i ,
- j e d n e w z d Bu |n e w B k n a b e l k i u l e g a j w y d Bu |e n i u , i n n e s k r c e n i u ,
- i s t n i e j e w a r s t w a o b o j t n a , k t r e j w B k n a n i e z m i e n i a j s w o j e j d Bu g o [c i .
- 1 8 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
l d Bu g o [ w B k i e n w a r s t w y o b o j t n e j
p r o m i e D w a r s t w y o b o j t n e j
l ( z ) d Bu g o [ w B k i e n w a r s t w y , k t r e j
p o Bo |e n i e o k r e [l o n e j e s t w s p Br z d n z
x
( p r o m i e n i e m - z )
- z
l ( z ) l z
= l ( z ) = l 1 -
!
z
- z
M g M g
x
( z ) o d k s z t a Bc e n i e w z g l d n e w B k i e n
o w s p Br z d n e j z
l
l ( z ) - l z
w a r s t w a
( z ) = = -
o b o j t n a l
P r z y c z y s t y m z g i n a n i u o d k s z t a Bc e n i a w z g l d n e w B k i e n b e l k i s p r o p o r c j o n a l n e
d o i c h o d l e g Bo [c i o d w a r s t w y o b o j t n e j :
- d l a z > 0 ( p o w y |e j w a r s t w y o b o j t n e j ) ( z ) < 0 ( [c i s k a n i e )
- d l a z < 0 ( p o n i |e j w a r s t w y o b o j t n e j ) ( z ) > 0 ( r o z c i g a n i e )
Z a Bo |e n i a :
- n a p r |e n i a w k i e r u n k u p o p r z e c z n y m d o w B k i e n b e l k i m o |n a z a n i e d b a k a |d e
w B k n o p r a c u j e n a r o z c i g a n i e l u b [c i s k a n i e j a k e l e m e n t a r n y p r t ( z T e o r i i
S p r |y s t o [c i ) ,
( z ) z
( z ) ( z )
- s p e Bn i o n e j e s t p r a w o H o o k e a : = ! = E ( z ) = - E
E
s i Ba w y p a d k o w a o d n a p r |e D d z i a Ba j c y c h
n a e l e m e n t a r n y m p o l u d A :
M g z
d A
E
d F x = " d A = - z d A
y
F x = 0
"
E
x
F x = " d A = - z d A = 0
( z )
+" +"
A A
a z a t e m m o m e n t s t a t y c z n y p r z e k r o j u
z d A = 0
w z g l d e m o s i y :
+"
A
A p o l e p o w i e r z c h n i
p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o
- 1 9 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
w n i o s e k : o [ y p r z e c h o d z i p r z e z [r o d e k
c i |k o [c i p r z e k r o j u ( j e s t o s i
c e n t r a l n )
E
d M = - z d F x = - z 2 d A
e l e m e n t a r n y m o m e n t w z g l d e m o s i y o d s i By d F x : y
E
d M + M = 0 - z 2 d A + M = 0
M = 0
" ! y g ! g
+" +"
y
A A
z 2 d A = J
y - m o m e n t b e z w Ba d n o [c i p o l a p r z e k r o j u w z g l d e m o s i y
+"
A
z w i z e k m i d z y :
M o b c i |e n i e m M g ,
1
g
=
s z t y w n o [c i n a z g i n a n i e E J y ,
E J
y i p r o m i e n i e m k r z y w i z n y w a r s t w y o b o j t n e j
p r z y c z y s t y m z g i n a n i u b e l k i p r y z m a t y c z n e j
M
n a p r |e n i a p r z y c z y s t y m z g i n a n i u
g
M
z ( z ) = - z
g
b e l k i p r y z m a t y c z n e j
( z ) = - E = - z
J
y
J
y
W n i o s k i :
- p r z y c z y s t y m z g i n a n i u b e l k i p r y z m a t y c z n e j o [ o b o j t n a ( w B k n a b e l k i , w
k t r y c h n a p r |e n i a = 0 ) p r z e c h o d z i p r z e z [r o d e k c i |k o [c i p r z e k r o j u ,
- n a p r |e n i a r o s n l i n i o w o w r a z z o d l e g Bo [c i w B k i e n o d o s i o b o j t n e j
( e k s t r e m a l n e n a p r |e n i a w y s t p u j w e w B k n a c h , k t r y c h o d l e g Bo [ o d o s i
o b o j t n e j j e s t n a j w i k s z a i m a j p r z e c i w n e z n a k i )
M
g
M M
J
g g
y
=
= - z m a x =
= W y m a x
m a x
W y
J
J
y
z m a x
y
z m a x
W y w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a z g i n a n i e
z
z
y , z g B w n e c e n t r a l n e
o s i e b e z w Ba d n o [c i
p r z e k r o j u p r t a
y
M g
M g
x
c
z
( z )
w a r s t w a o b o j t n a
z m a x
x
( z )
o [ o b o j t n a
m a x
- 2 0 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
4 . 5 . N a p r |e n i a s t y c z n e p r z y z g i n a n i u p o p r z e c z n y m
b e l k i p r y z m a t y c z n e j
Z g i n a n i e p o p r z e c z n e z g i n a n i e b e l k i z u d z i a Be m s i By t n c e j T .
z
x
P
P r z e d o b c i |e n i e m : P o o b c i |e n i u s i B p o p r z e c z n P :
- n a p o w i e r z c h n i p r t a n a r y s o w a n o - k t y m i d z y b o k a m i o d k s z t a Bc o n e j s i a t k i
p r o s t o k t n s i a t k n i e s n a o g B p r o s t e ,
- n a j b a r d z i e j z m i e n i o n e z o s t a j k t y w
p o b l i |u o s i p r t a ,
- z m i a n a k a t w p r z y w B k n a c h s k r a j n y c h
j e s t p r a w i e n i e z a u w a |a l n a
W n i o s e k :
p o n i e w a | n a p r |e n i a s t y c z n e s p r o p o r c j o n a l n e
z
d o k a t a o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o t o r o z k Ba d
n a p r |e D s t y c z n y c h w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m
p r t a n i e j e s t r w n o m i e r n y .
b z
p o l e o d c i t e l i n i
o w s p Br z d n e j z
w z r {u r a w s k i e g o
y
( z )
z
T S
y
z
=
z
b z J
y
T
x
z [r e d n i a w a r t o [ z - o w e j s k Ba d o w e j
n a p r |e D s t y c z n y c h w w a r s t w i e
p r z e k r j
o w s p Br z d n e j z
z w a r t y
T s i Ba t n c a w p r z e k r o j u
( z )
S m o m e n t s t a t y c z n y p o l a p r z e k r o j u o d c i t e g o w s p Br z d n z
y
b z s z e r o k o [ w a r s t w y
J y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u w z g l d e m o s i y
- 2 1 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
r o z k Ba d n a p r |e D s t y c z n y c h r o z k Ba d n a p r |e D s t y c z n y c h
w p r z e k r o j u p r o s t o k t n y m w p r z e k r o j u k o Bo w y m
z z
z z
z
T
h
y y
T
b d
3 4
= =
m a x [r z m a x [r
2 3
T 4 T
= =
[r [r
2
b h
d
2
3 z
2 4
= 1 -
= s i n 2
z [r
z [r
2 h
3
P r z y z g i n a n i u p o p r z e c z n y m z t e c h n i c z n d o k Ba d n o [c i m o |n a s t o s o w a w z o r y
n a n a p r |e n i a i p r o m i e D k r z y w i z n y b e l k i j a k p r z y c z y s t y m z g i n a n i u :
M ( x ) M ( x ) M ( x )
1
g g g
= ( z ) = - z = d" k g
m a x
E J J W y
y y
k g d o p u s z c z a l n e n a p r |e n i a n a z g i n a n i e
- 2 2 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
z
P
d
2 3
x
d d
A =
W =
y
B
A
4 3 2
l
M
3 2 P l
M g ( x )
g m a x
= - =
m a x
3
x
W y
d
T 4 P 4 1 6 P
= =
- P l
[r = =
m a x [r
2 2
A 3
d 3 d
T ( x )
P
l
m a x
= 6
x
d
m a x
p r z y k Ba d : d l a l / d = 1 0 m a x H"1 . 7 % m a x
W n i o s e k : w b e l k a c h s m u k By c h , g d z i e d Bu g o [ j e s t d u |o w i k s z a o d
w y m i a r u p o p r z e c z n e g o , n a p r |e n i a o d [c i n a n i a s p o m i j a l n i e m a Be w
p o r w n a n i u z n a p r |e n i a m i o d z g i n a n i a .
Z a p o m i n i c i e m n a p r |e D s t y c z n y c h w b e l k a c h s m u k By c h p r z e m a w i a r w n i e | f a k t , |e
w p u n k t a c h p r z e k r o j u g d z i e p a n u j n a j w i k s z e n a p r |e n i a n o r m a l n e ( p u n k t y
n a j b a r d z i e j o d d a l o n e o d o s i o b o j t n e j ) n a p r |e n i a s t y c z n e s r w n e z e r u a z a t e m
w z a j e m n e d z i a Ba n i e n a p r |e D s t y c z n y c h i n o r m a l n y c h s u m u j e s i w b a r d z o m a By m
s t o p n i u .
T
P
T =
P
P
2
d
P
8 P
m a x = d" k t
T
2
3
d
k t n a p r |e n i a d o p u s z c z a l n e n a [c i n a n i e
s w o r z e D
P r z y k Ba d k o n s t r u k c j i , w k t r e j n a p r |e n i a s t y c z n e p e Bn i r o l d o m i n u j c
( p o Bc z e n i e s w o r z n i o w e )
- 2 3 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
4 . 6 . Z g i n a n i e u k o [n e
Z g i n a n i e u k o [n e - p r z y p a d e k z g i n a n i a b e l k i , w k t r y m w y p a d k o w y m o m e n t g n c y
M g w p r z e k r o j u n i e p o k r y w a s i z |a d n z g B w n y c h c e n t r a l n y c h
o s i b e z w Ba d n o [c i
Z g i n a n i e u k o [n e t r a k t u j e s i j a k o s u p e r p o z y c j d w c h s t a n w z g i n a n i a p r o s t e g o :
1 . m o m e n t e m M g y
2 . m o m e n t e m M g z
z z
z
y
y
B B
B
z
z
1
M g y 2
y
y
y
c
c
M g
M g z
c
x
x
x
z g i n a n i e z g i n a n i e z g i n a n i e
m o m e n t e m M g m o m e n t e m M g y m o m e n t e m M g z
( z g i n a n i e u k o [n e ) ( z g i n a n i e p r o s t e ) ( z g i n a n i e p r o s t e )
M g y = M g c o s M g z = M g s i n
- k t n a c h y l e n i a p Ba s z c z y z n y d z i a Ba n i a m o m e n t u g n c e g o M g d o p Ba s z c z y z n y x - y
M M c o s M M s i n
g y g g z g
1 = - z = - z = - y = - y
2
J J J J
y y z z
M c o s M s i n
g g
= 1 + = - z - y
2
J J
y z
- 2 4 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
z
R w n a n i e o s i o b o j t n e j ( = 0 )
M c o s M s i n
g g
- z - y = 0
J J
y z
!
y
J
y
z = - y t g
M g
c J z
x
J
y
t g = - t g
o [ o b o j t n a
J
z
p r z e k r o j u
O [ o b o j t n a p r z y z g i n a n i u u k o [n y m p r z e c h o d z i p r z e z [r o d e k c i |k o [c i p r z e k r o j u
i w p r z y p a d k u o g l n y m n i e j e s t p r o s t o p a d Ba d o p Ba s z c z y z n y d z i a Ba n i a m o m e n t u M g .
E k s t r e m a l n e n a p r |e n i a w y s t p u j w p u n k t a c h n a j b a r d z i e j o d d a l o n y c h o d o s i
o b o j t n e j .
- 2 5 / 2 6 -
4 . Z g i n a n i e p r t a
4 . 7 . L i n i a u g i c i a b e l k i
C - p u n k t n a o s i b e l k i
z o k r e [l o n y w s p Br z d n x
( x )
z ( x ) - u g i c i e b e l k i w
P
z ( x )
p u n k c i e C
C
( x )
A
x
( x ) - k t u g i c i a b e l k i
B
w p u n k c i e C
x
( x ) - p r o m i e D k r z y w i -
l
z n y b e l k i w p u n k c i e C
2
1 d z
d l a m a By c h k t w u g i c i a
=
( x )
d x 2
2
M ( x )
d z M ( x )
g d z
g
= z ( x ) =
( x ) = = d x
+"( x ) d x
+"
E J
d x 2
d x E J
y
y
P r z y k Ba d : W y z n a c z y r w n a n i e l i n i i u g i c i a b e l k i w s p o r n i k o w e j p o k a z a n e j p o w y |e j .
M g ( x )
M g ( x ) = P ( l - x )
x
A B
d z P ( l - x ) d x = P x 2
-
( x ) = = + c 1
l x
+"
d x E J E J 2
y y
s t a B c a Bk o w a n i a c 1 w y z n a c z a m y z w a r u n k w b r z e g o w y c h : d l a x = 0 ( x ) = 0
! c 1 = 0
0 = 0 + c 1
P x 2 P x 2 x 3
-
z ( x ) =
l x d x = - + c 2
l
+"
E J 2 E J 2 6
y y
s t a B c a Bk o w a n i a c 2 w y z n a c z a m y z w a r u n k w b r z e g o w y c h : d l a x = 0 z ( x ) = 0
! c 2 = 0
0 = 0 + c 2
P l 3
P x 2 x 3
z B = z ( l ) =
O s t a t e c z n i e U g i c i e n a k o Dc u
z ( x ) =
l -
3 E J
E J 2 6
y
y
- 2 6 / 2 6 -
5 . A n a l i z a s t a n u n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
5 . A N A L I Z A S T A N U N A P R {E N I A I O D K S Z T A AC E N I A
5 . 1 . A n a l i z a p Ba s k i e g o s t a n u n a p r |e n i a
P Ba s k i s t a n n a p r |e n i a - n a m y [l o w o
w y c i t , e l e m e n t a r n k o s t k d z i a Ba j
2
n a p r |e n i a w j e d n e j p Ba s z c z y zn i e ( 1 - 2 )
2
2
1 , 2 o s i e g B w n e
2
1 , 2 n a p r |e n i a
1 g B w n e
1
1 ( b r a k n a p r |e D
s t y c z n y c h )
1
3
1
1
2
2
2 2
2 2 2
' "
1 1
1 1 1
' "
2 2
' "
' "
= 1 c o s 2 = s i n 2
= +
2
' " ' "
= + = 1 s i n c o s = - 2 s i n c o s
1 + 2 1 - 2
= + c o s 2
2 2
1 -
2
= s i n 2
2
- 1 / 6 -
5 . A n a l i z a s t a n u n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
K o Bo M o h r a d l a n a p r |e D
Z a d a n i e : D a n e s n a p r |e n i a g B w n e 1 , 2 . Z n a l e z n a p r |e n i a n a [c i a n k a c h k o s t k i
o b r c o n e j o k t .
2
2
+ / 2
+ / 2
2 +
1
2
2 + / 2 1
1
1
+ / 2
2
( 1 + 2 ) / 2
K o l e j n o [ p o s t p o w a n i a :
1 . r y s u j e m y u k Ba d w s p Br z d n y c h , ,
2 . n a o s i p o z i o m e j z a z n a c z a m y n a p r |e n i a 1 i 2 ,
3 . z e [r o d k a ( 1 + 2 ) / 2 r y s u j e m y o k r g p r z e c h o d z c y p r z e z p u n k t y 1 i 2 ,
4 . p o z i o m [r e d n i c k o Ba o b r a c a m y o k t 2 ,
5 . o d c z y t u j e m y n a p r |e n i a
- d l a k r a w d z i n a c h y l o n e j p o d k t e m : , ,
- d l a k r a w d z i p r o s t o p a d Be j : + / 2 , + / 2 .
Z a d a n i e o d w r o t n e : N a [c i a n k a c h k o s t k i d a n e s n a p r |e n i a x , y , . Z n a l e z
p o Bo |e n i e o s i g B w n y c h i n a p r |e n i a g B w n e .
y
y
2
x
2
1
2
y
x x 2
1
x
x
1
1
2
-
y
- 2 / 6 -
5 . A n a l i z a s t a n u n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
5 . 2 . U p r o s z c z o n a a n a l i z a t r j o s i o w e g o s t a n u n a p r |e n i a
2
T r j o s i o w y s t a n n a p r |e n i a n a
2
w s z y s t k i c h [c i a n a c h k o s t k i d z i a Ba j
n a p r |e n i a
3
1 , 2 , 3 o s i e g B w n e
1
1
1 , 2 , 3 n a p r |e n i a g B w n e
1
3
2
3
1
2
3
3 2 1
2
2
2
1
1
1
3
3
3
1 . P o s z c z e g l n e k o Ba r e p r e z e n t u j s t a n n a p r |e D w p Ba s z c z y z n a c h r w n o l e g By c h d o
o d p o w i e d n i c h o s i .
2 . P u n k t w e w n t r z w y r |n i o n e g o o b s z a r u r e p r e z e n t u j e s t a n n a p r |e D w d o w o l n i e
u s t a w i o n y m p r z e k r o j u ( z T e o r i i S p r |y s t o [c i ) .
3 . M a k s y m a l n e n a p r |e n i a s t y c z n e r w n e s p r o m i e n i o w i n a j w i k s z e g o k o Ba .
- 3 / 6 -
5 . A n a l i z a s t a n u n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
5 . 3 . U p r o s z c z o n a a n a l i z a s t a n u o d k s z t a Bc e n i a
2
E l e m e n t a r n a m y [l o w o w y c i t a k o s t k a , z n a j d u j c a
s i w p Ba s k i m s t a n i e o d k s z t a Bc e n i a , d o z n a j e
w y d Bu |e D w z g l d n y c h j a k n a r y s u n k u :
- n a k i e r u n k u 1 : 1
- n a k i e r u n k u 2 : 2
1
2
N a k i e r u n k u n a c h y l o n y m p o d k t e m
o d k s z t a Bc e n i a k o s t k i w y n i o s :
- w y d Bu |e n i e w z g l d n e
= 1 c o s 2 + s i n 2
2
1
- k t o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o
= 2 ( 1 - 2 ) s i n c o s
1 , 2 g B w n e o s i e o d k s z t a Bc e n i a
1 , 2 o d k s z t a Bc e n i a g B w n e
( p a t r z : A n a l i z a s t a n u o d k s z t a Bc e n i a r o z c i g a n e g o p r t a )
K o Bo M o h r a d l a p Ba s k i e g o s t a n u o d k s z t a Bc e n i a
/ 2
/ 2
2 +
2
2 + / 2
1
+ / 2 / 2
( 1 + 2 ) / 2
K o l e j n o [ p o s t p o w a n i a :
1 . r y s u j e m y u k Ba d w s p Br z d n y c h , / 2 ,
2 . n a o s i p o z i o m e j z a z n a c z a m y w y d Bu |e n i a 1 i 2 ,
3 . z e [r o d k a ( 1 + 2 ) / 2 r y s u j e m y o k r g p r z e c h o d z c y p r z e z p u n k t y 1 i 2 ,
4 . p o z i o m [r e d n i c k o Ba o b r a c a m y o k t 2 ,
5 . o d c z y t u j e m y o d k s z t a Bc e n i a
- d l a k r a w d z i n a c h y l o n e j p o d k t e m : , / 2 ,
- d l a k r a w d z i p r o s t o p a d Be j : + / 2 , + / 2 / 2 .
- 4 / 6 -
5 . A n a l i z a s t a n u n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
T r j w y m i a r o w y s t a n o d k s z t a Bc e n i a
/ 2
2
1
2 1
3
2
3
3
1
1 , 2 , 3 o s i e g B w n e
1 , 2 , 3 o d k s z t a Bc e n i a g B w n e
1 . P o s z c z e g l n e k o Ba r e p r e z e n t u j s t a n o d k s z t a Bc e n i a w p Ba s z c z y z n a c h
r w n o l e g By c h d o o d p o w i e d n i c h o s i .
2 . P u n k t w e w n t r z w y r |n i o n e g o o b s z a r u r e p r e z e n t u j e s t a n o d k s z t a Bc e n i a w
d o w o l n i e u s t a w i o n y m p r z e k r o j u ( z T e o r i i S p r |y s t o [c i ) .
3 . M a k s y m a l n y k t o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o r w n y j e s t [r e d n i c y
n a j w i k s z e g o k o Ba .
4 . W k a |d y m s t a n i e o d k s z t a Bc e n i a i s t n i e j t y l k o 3 k i e r u n k i g B w n e ( 1 , 2 , 3 ) , m i d z y
k t r y m i p i e r w o t n e k t y p r o s t e n i e u l e g a j z m i a n i e . O d p o w i a d a j c e t y m
k i e r u n k o m o d k s z t a Bc e n i a 1 , 2 , 3 z w a n e s o d k s z t a Bc e n i a m i g B w n y m i .
- 5 / 6 -
5 . A n a l i z a s t a n u n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
5 . 4 . U o g l n i o n e p r a w o H o o k e a
2
1
1 = [ 1 - ( 2 + 3 ) ]
2
E
3
1
1
2 = [ 2 - ( 1 + 3 ) ]
1
3
1 E
3
1
3 = [ 3 - ( 1 + 2 ) ]
E
2
2 2 2
2
3
1 1 1
1
2
1
3
2
3 3 3
2
3
3
3
2
1 1
1
1
3
2
1 = 1 = - 1 = -
E E E
1 3
2
2 = - 2 = 2 = -
E E E
3
1
2
3 = - 3 = - 3 =
E E E
y
O g l n y p r z y p a d e k o b c i |e n i a e l e m e n t a r n e j k o s t k i
( g d y o s i e x , y , z n i e s o s i a m i g B w n y m i )
y
z
x
S t a n n a p r |e n i a o p i s a n y j e s t
z
j e d n o z n a c z n i e p r z e z 6 s k Ba d o w y c h :
x
y
z
x x y z n a p r |e n i a n o r m a l n e
y x
y
x
x y z n a p r |e n i a s t y c z n e
y
x z
z
z
x
z
y
- 6 / 6 -
6 . H i p o t e z y w y t r z y m a Bo [c i o w e i w y t r z y m a Bo [ z Bo |o n a p r t a
6 . H I P O T E Z Y W Y T R Z Y M A AO ZC I O W E
I W Y T R Z Y M A AO Z Z AO {O N A P R T A
6 . 1 . H i p o t e z y w y t r z y m a Bo [c i o w e
H i p o t e z y w y t r z y m a Bo [c i o w e p r z y b l i |o n e u j c i e i l o [c i o w e z Bo |o n y c h z j a w i s k
t o w a r z y s z c y c h p o j a w i e n i u s i w m a t e r i a l e m a -
k r o s k o p o w y c h o d k s z t a Bc e D t r w a By c h .
H i p o t e z a
e n e r g i i o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o
( H u b e r a )
m i a r n i e b e z p i e c z e Ds t w a , j a k i e p r z e d s t a w i a d a n y s t a n n a p r |e n i a
z u w a g i n a p o j a w i e n i e s i p i e r w s z y c h m a k r o s k o p o w y c h t r w a By c h
o d k s z t a Bc e D j e s t
e f e k t y w n e n a p r |e n i e s t y c z n e e f
j e [l i z n a n e s n a p r |e n i a g B w n e
1
2 2 2
= [ ( 1 - ) + ( - ) + ( - 1 ) ]
e f 2 2 3 3
1 5
w p r z y p a d k u o g l n e g o s t a n u n a p r |e D
1
2 2 2
2 2 2
e f = [ ( - ) + ( - ) + ( - ) + 6 ( + + ) ]
x y y z z x x y z
1 5
H i p o t e z a
m a k s y m a l n y c h n a p r |e D s t y c z n y c h
( m a x , C o u l o m b a - T r e s k i )
m i a r n i e b e z p i e c z e Ds t w a , j a k i e p r z e d s t a w i a d a n y s t a n n a p r |e n i a
z u w a g i n a p o j a w i e n i e s i p i e r w s z y c h m a k r o s k o p o w y c h t r w a By c h
o d k s z t a Bc e D j e s t
m a k s y m a l n e n a p r |e n i e s t y c z n e m a x
( p o d e j [c i e u p r o s z c z o n e )
T e n s t a n n a p r |e n i a j e s t d l a m a t e r i a Bu b a r d z i e j n i e b e z p i e c z n y , d l a k t r e g o
e f e k t y w n e n a p r |e n i e s t y c z n e e f ( w g h i p o t e z y H u b e r a )
l u b
m a k s y m a l n e n a p r |e n i e s t y c z n e m a x ( w g h i p o t e z y m a x )
j e s t w i k s z e .
- 1 / 5 -
6 . H i p o t e z y w y t r z y m a Bo [c i o w e i w y t r z y m a Bo [ z Bo |o n a p r t a
6 . 2 . N a p r |e n i a z r e d u k o w a n e
2
z Bo |o n y s t a n n a p r |e D
2
3
1
1
2 2 2
= [ ( 1 - ) + ( - ) + ( - 1 ) ]
1
e f 2 2 3 3
3
1
1 5
3
( h i p . H u b e r a )
2
J E D N A K O W O N I E B E Z P I E C Z N Y
2
s t a n p r o s t e g o r o z c i g a n i a
( s t a t y c z n a p r b a r o z c i g a n i a )
1
r e d
2
2
r e d
e f =
r e d ( h i p . H u b e r a )
1 5
3
Z z a Bo |e n i a e f e k t y w n e n a p r |e n i a s t y c z n e o b u s t a n w s j e d n a k o w e , s k d
n a p r |e n i a z r e d u k o w a n e
1
= [ ( 1 - ) 2 + ( - 3 ) 2 + ( 3 - 1 ) 2 ]
r e d 2 2
2
w p r z y p a d k u n a j b a r d z i e j o g l n y m
1
2 2
2 2 2
= [ ( - ) + ( - ) + ( - ) 2 + 6 ( + + ) ]
r e d x y y z z x x y z
2
N a p r |e n i a z r e d u k o w a n e n a p r |e n i a w s t a n i e p r o s t e g o r o z c i g a n i a t a k s a m o
n i e b e z p i e c z n e d l a m a t e r i a Bu , j a k d a n y z Bo |o n y s t a n
n a p r |e D
U m o |l i w i a j p o r w n a n i e z Bo |o n e g o s t a n u n a p r |e D z w y n i k a m i s t a t y c z n e j p r b y
r o z c i g a n i a .
- 2 / 5 -
6 . H i p o t e z y w y t r z y m a Bo [c i o w e i w y t r z y m a Bo [ z Bo |o n a p r t a
N a p r |e n i a z r e d u k o w a n e w e d Bu g h i p o t e z y m a x
2
m a x
2
3
1
1
3
1
3
2
m a x = p r o m i e D n a j w i k s z e g o k o Ba M o h r a
J E D N A K O W O N I E B E Z P I E C Z N Y
s t a n p r o s t e g o r o z c i g a n i a
( s t a t y c z n a p r b a r o z c i g a n i a )
2
m a x
1
r e d
r e d
r e d
3
= / 2
m a x r e d
P o n i e w a | z z a Bo |e n i a o b a s t a n y s d l a m a t e r i a Bu j e d n a k o w o n i e b e z p i e c z n e , t o
= 2 m a x
r e d
R e
r e d d"k r =
n e
k r n a p r |e n i a d o p u s z c z a l n e n a r o z c i g a n i e
R e g r a n i c a p l a s t y c z n o [c i m a t e r i a Bu
n e > 1 w s p Bc z y n n i k b e z p i e c z e Ds t w a
- 3 / 5 -
6 . H i p o t e z y w y t r z y m a Bo [c i o w e i w y t r z y m a Bo [ z Bo |o n a p r t a
P o r w n a n i e w y n i k w h i p o t e z w y r t z y m a Bo [c i o w y c h H u b e r a i m a x
P r z y p a d k i s z c z e g l n e N a p r |e n i a z r e d u k o w a n e
z Bo |o n y c h s t a n w n a p r |e n i a w g h i p o t e z y H u b e r a w g h i p o t e z y m a x
m a x =
= 3
r e d
r e d
r e d = 2
c z y s t e [c i n a n i e
m a x
r e d
2 2
r e d = + 3
-
2 2
= + 4
[c i n a n i e z r o z c i g a n i e m
r e d
( [c i s k a n i e m )
r e d = 0
r e d = 0
h y d r o s t a t y c z n e [c i s k a n i e
- 4 / 5 -
6 . H i p o t e z y w y t r z y m a Bo [c i o w e i w y t r z y m a Bo [ z Bo |o n a p r t a
6 . 3 . W y t r z y m a Bo [ z Bo |o n a p r t a
O w y t r z y m a Bo [c i z Bo |o n e j m w i m y w w c z a s , g d y w m y [l o w y m p r z e k r o j u p r t a
i s t n i e j e w i c e j n i | j e d e n e l e m e n t w y s i Bk u p r z e k r o j u .
M
y
s
=
W 0
M
g
M g
=
W
M s
2 2
z = + 3 =
x
r e d
2
2
Z g i n a n i e z e s k r c a n i e m M
M
g
= + 3 s =
( w a By z k o Ba m i z b a t y m i )
W 2 W
W z = W y = W - w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a z g i n a n i e
2 2
M + 0 . 7 5 M
g s
W 0 w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a s k r c a n i e
=
W 0 = 2 W
W
2 2
m o m e n t z a s t p c z y ( n a p o d s t . h i p o t e z y H u b e r a )
M = M + 0 . 7 5 M
z g s
2 2
m o m e n t z a s t p c z y ( n a p o d s t . h i p o t e z y m a x )
M = M + M
z g s
M
z
= d" k g
r e d
W
k g n a p r |e n i a d o p u s z c z a l n e n a z g i n a n i e
- 5 / 5 -
7 . W y b o c z e n i e p r t a
7 . W Y B O C Z E N I E P R T A
7 . 1 . M i m o [r o d o w e [c i s k a n i e p r t a
y
E J z = c o n s t P
A
e y
x
B
l
P r t [c i s k a n y m o m o [r o d o w o ( e y - m i m o [r d )
y
P
P
e y
B
M z
B
C
C
x
A y y B
N
T
x
O d k s z t a Bc o n a o [ p r t a R w n o w a g a m y [l o w o
o d c i t e j c z [c i
M = P ( e y + y B - y )
z
2
P ( e y + y B - y )
1 d y M
z
= = =
E J z E J z
d x 2
2
d y
2 2
P
+ k z y = k z ( e z + y B ) .
P o d s t a w i a j c k z = o t r z y m u j e m y r w n a n i e
E J z d x 2
R o z w i z a n i e t e g o r w n a n i a r |n i c z k o w e g o m a p o s t a
y = C 1 s i n k z x + C 2 c o s k z x + e y + y B .
S t a Be C 1 i C 2 w y z n a c z a n y z w a r u n k w b r z e g o w y c h :
x = 0 y = 0 d y / d x = 0
d l a
x = l y = y B
d l a
C 1 = 0 C 2 = - ( e y + y B )
o t r z y m u j c :
O s t a t e c z n i e r w n a n i e l i n i i u g i c i a p r z y j m u j e p o s t a
e y
P
1 - c o s P
y = x
l ! y ! "
. P r z y .
E J
P
z
E J 2
z
c o s l
E J
z
- 1 / 6 -
7 . W y b o c z e n i e p r t a
P
l =
S i B P = P k r , p r z y k t r e j n a z y w a m y s i B e u l e r o w s k l u b s i B k r y t y c z n .
E J z 2
2
E J z
P k r =
S i Ba k r y t y c z n a
( 2 l ) 2
S i Ba k r y t y c z n a - s i Ba , p r z y k t r e j [c i s k a n y ( b e z m i m o [r o d u ) p r t m o |e m i e
d w i e p o s t a c i e r w n o w a g i :
- p i e r w o t n - o o s i p r o s t o l i n i o w e j ,
- n o w - o o s i w y g i t e j .
P r t o b c i |o n y s i B k r y t y c z n z n a j d u j e s i w s t a n i e r w n o w a g i o b o j t n e j .
Z j a w i s k o w y g i n a n i a s i p r t a p o d w p By w e m s i By [c i s k a j c e j n o s i n a z w
u t r a t y s t a t e c z n o [c i l u b w y b o c z e n i a p r t a .
P o n i e w a | p r z y o b c i |e n i u s i B k r y t y c z n u g i c i e y p r t a w z r a s t a
n i e o g r a n i c z e n i e t o s i Ba k r y t y c z n a j e s t s i B n i s z c z c p r t .
7 . 2 . W y b o c z e n i e p r t a w z a k r e s i e s p r |y s t y m
r w n o w a g a t r w a Ba o b o j t n a c h w i e j n a
P < P k r P = P k r P > P k r
- 2 / 6 -
7 . W y b o c z e n i e p r t a
2
E J z
P k r =
2
l w
w z r E u l e r a n a s i B k r y t y c z n
l w = n l
l w - d Bu g o [ w y b o c z e n i o w a
n - w s p Bc z y n n i k z a l e |n y o d s p o s o b u m o c o w a n i a k o Dc w p r t a
n = 2 n = 1 n H"0 . 7 n = 0 . 5
P k r
k r =
N a p r |e n i a k r y t y c z n e :
A
A - p o l e p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r t a .
W z r E u l e r a w o l n o s t o s o w a , j e [l i n a p r |e n i a k r y t y c z n e n i e p r z e k r a c z a j g r a n i c y
p r o p o r c j o n a l n o [c i R p ( g r a n i c y s t o s o w a l n o [c i p r a w a H o o k e ' a )
k r d" R p .
J e [l i k r d"R p t o w y b o c z e n i e n a z y w a m y s p r |y s t y m ( p o o d c i |e n i u p r t p o w r a c a d o
d"
d"
d"
s w o j e j p r o s t o l i n i o w e j p o s t a c i ) .
J e [l i k r > R p t o w y b o c z e n i e n a z y w a m y s p r |y s t o - p l a s t y c z n y m l u b p l a s t y c z n y m ( p o
o d c i |e n i u p r t n i e p o w r c i d o s w o j e j p r o s t o l i n i o w e j p o s t a c i ) .
- 3 / 6 -
7 . W y b o c z e n i e p r t a
W p r o w a d z a j c o z n a c z e n i a :
J z
i = r a m i b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o
A
l w
s m u k Bo [ p r t a p a r a m e t r z a l e |n y o d g e o m e t r i i p r t a
=
i s p o s o b u z a m o c o w a n i a k o Dc w ,
i
2
o t r z y m u j e m y w z r n a n a p r |e n i a k r y t y c z n e
E
=
w p o s t a c i h i p e r b o l i E u l e r a
k r
2
S m u k Bo [ p r t a , p r z y k t r e j n a p r |e n i a k r y t y c z n e o s i g a j w a r t o [
E
g r =
R p g r a n i c y p r o p o r c j o n a l n o [c i n a z y w a m y s m u k Bo [c i g r a n i c z n
S m u k Bo [ g r a n i c z n a p a r a m e t r z a l e |n y w y Bc z n i e o d m a t e r i a Bu p r t a
( d l a s t a l i g r H"1 0 0 )
I n n a p o s t a k r y t e r i u m s t o s o w a l n o [c i w z o r u E u l e r a n a s i B k r y t y c z n :
e" g r ( k r d"R p w y b o c z e n i e s p r |y s t e ) w z r w o l n o s t o s o w a
e"
e"
e"
< g r ( k r > R p w y b o c z e n i e s p r |y s t o - p l a s t y c z n e ) w z o r u n i e w o l n o s t o s o w a
4 0 0
m a t e r i a B: s t a l k o n s t r u k c y j n a
( 0 . 1 5 % C E = 2 . 1 0 5 M P a )
3 0 0
h i p e r b o l a E u l e r a
R
p
2 0 0
w y b o c z e n i e z a k r e s s t o s o w a l n o [c i w z o r u E u l e r a
s p r |y s t o - p l a s t y c z n e ( w y b o c z e n i e s p r |y s t e )
1 0 0
g r
0
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
P r z y k Ba d o w a z a l e |n o [ n a p r |e D k r y t y c z n y c h k r o d s m u k Bo [c i p r t a
- 4 / 6 -
[ M P a ]
k r
7 . W y b o c z e n i e p r t a
7 . 3 . W y b o c z e n i e p r t a w z a k r e s i e s p r |y s t o - p l a s t y c z n y m
( k r > R p
< g r )
D l a s t a l i k o n s t r u k c y j n e j
n a p r |e n i a k r y t y c z n e w z a k r e s i e
k r z y w a d o [w i a d c z a l n a
s m u k Bo [c i ( <"2 0 , g r ) p r z y b l i |y
p r o s t a T e t m a j e r a
m o |n a p r o s t T e t m a j e r a
= a - b
A
k r
R e
R e - R p
B
R p
b = -
a = R e
g r
h i p e r b o l a E u l e r a
g r
<"2 0
W z o r y , t a b e l e , w y k r e s y d o o b l i c z e D k o n s t r u k c j i s t a l o w y c h n a w y b o c z e n i e
P N - 9 0 / B - 0 3 2 0 0
d u r a l e ,
m o s i d z e ,
p a r a b o l a J o h n s o n a - O s t e n f e l d a
b r z y
A = a - b 2
k r
R e
2
E
2 E
b = 0 =
w i e r z c h o Be k a = R e
R e
4
0
B
h i p e r b o l a E u l e r a
w s p l n a
s t y c z n a
g r 0
- 5 / 6 -
7 . W y b o c z e n i e p r t a
P r z y k Ba d
P / 2
W y z n a c z y s i B k r y t y c z n d l a p o k a z a n e g o p r t a .
P / 2
M a t e r i a B S t 3 : E = 2 . 1 "1 0 5 M P a , R p = R e = 4 0 0 M P a .
l = 1 m a = 2 0 m m b = 3 0 m m
R o z w i z a n i e
1 - s z a p o s t a
w y b o c z e n i a
E 2 . 1 "1 0 5
( y - z )
g r = = = 7 2
R p 4 0 0
A = a b = 2 0 "3 0 = 6 0 0
m m 2
l
I s t n i e j 2 m o |l i w e p o s t a c i e w y b o c z e n i a p r t a :
z
2 - g a p o s t a
w y b o c z e n i a
1 . - w p Ba s z c z y zn i e y - z
( x - z )
2 . - w p Ba s z c z y zn i e x - z
W a r i a n t 1 ( w y b o c z e n i e w p Ba s z c z y zn i e y - z )
n = 0 . 5 l w = 0 . 5 l = 5 0 0 m m
b a 3 3 0 " 2 0 3
J = = = 2 0 0 0 0 m m 4
x
y
P / 2
1 2 1 2
x
P / 2
J 2 0 0 0 0
x
i = = = 5 . 7 7
b
a
A 6 0 0
2 2
l w 5 0 0 E 2 . 1 "1 0 5
= = = 8 6 . 7 > g r k r = = = 2 7 6 M P a
i 5 . 7 7
2 8 6 . 7 2
P k r = A = 6 0 0 " 2 7 6 = 1 6 5 6 0 0 N = 1 6 5 . 6 k N
k r
W a r i a n t 2 ( w y b o c z e n i e w p Ba s z c z y zn i e x - z )
J
a b 3 2 0 " 3 0 3 4 5 0 0 0
y
J = = = 4 5 0 0 0 m m 4 = = = 8 . 6 6
n = 1 l w = l = 1 0 0 0 m m i
y
1 2 1 2 A 6 0 0
2 2
l w 1 0 0 0 E 2 . 1 "1 0 5
= = = 1 1 5 . 5 > g r k r = = = 1 5 5 M P a
i 8 . 6 6
2 1 1 5 . 5 2
P k r = A = 6 0 0 "1 5 5 = 9 3 0 0 0 N = 9 3 k N
k r
O d p o w i e d z
W y b o c z e n i e n a s t p i w p Ba s z c z y zn i e x - z a s i Ba k r y t y c z n a w y n o s i 9 3 k N
- 6 / 6 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
8 . M E T O D Y E N E R G E T Y C Z N E
M e t o d y e n e r g e t y c z n e m e t o d y a n a l i z y o d k s z t a Bc e D k o n s t r u k c j i p r t o w y c h n a p o d s t a w i e
e n e r g i i p o t e n c j a l n e j z g r o m a d z o n e j w o b c i |o n e j k o n s t r u k c j i
8 . 1 . E n e r g i a s p r |y s t a w k o n s t r u k c j i p r t o w e j
E n e r g i a p o t e n c j a l n a ( s p r |y s t a , o d k s z t a Bc e n i a ) r w n a j e s t p r a c y s i B z e w n t r z n y c h
o b c i |a j c y c h k o n s t r u k c j .
E n e r g i a s p r |y s t a w p r c i e
n a j e d n o s t k j e g o d Bu g o [c i
S p o s b o b c i |e n i a p r z e k r o j u p r t a
[ J / m ]
r o z c i g a n i e 2
N
N [ N ] s i Ba n o r m a l n a w p r z e k r o j u
2 E A
A [ m 2 ] p o l e p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u
s k r c a n i e
M s [ N m ] m o m e n t s k r c a j c y
2
M
s
C [ N m 2 ] s z t y w n o [ n a s k r c a n i e
2 C
C = G J 0 d l a p r z e k r o j u k o Bo w e g o
C = G J s d l a p r z e k r o j u n i e k o Bo w e g o
z g i n a n i e
2 2
M g y , M g z [ N m ] m o m e n t y g n c e w k i e r u n k u o s i
M M
g y g z
y i z
2 E J 2 E J
y z
J y , J z [ m 4 ] m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u
w z g l d e m o s i y i z
[c i n a n i e
T y , T z [ N ] s i By t n c e w k i e r u n k u o s i y i z
T y 2
T z 2
y , z b e z w y m i a r o w e w s p Bc z y n n i k i z a l e |n e
y z
2 G A 2 G A
o d k s z t a Bt u p r z e k r o j u
( d l a p r z e k r o j u k o Bo w e g o y = z = 3 2 / 2 7 )
E [ P a ] m o d u B Y o u n g a , G [ P a ] m o d u B s z t y w n o [c i p o s t a c i o w e j
y , z g B w n e c e n t r a l n e o s i e b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u
z
W p r z y p a d k u o g l n y m e l e m e n t y w y s i Bk u
M g z ( x )
p r z e k r o j u N , M s , M g y , M g z , T y , T z z a l e | o d
y
M g y ( x )
p o Bo |e n i a p r z e k r o j u , a z a t e m s f u n k c j a m i
T z ( x )
w s p Br z d n e j x :
N ( x ) , M s ( x ) , M g y ( x ) , M g z ( x ) , T y ( x ) , T z ( x ) .
T y ( x )
N ( x )
x
M s ( x )
- 1 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
E n e r g i a z g r o m a d z o n a w k o n s t r u k c j i p r t o w e j
2 2
2
l 2 l l l l
M M T y 2 l T z 2
N M
g y g z
s
U = d x + d x + d x + d x +
y z
+" +" +" +" +" 2 E A d x + +" 2 E A d x
2 E A 2 C 2 E J 2 E J
y z
0 0 0 0 0 0
d o p o m i n i c i a
x w s p Br z d n a o k r e [l a j c a p o Bo |e n i e p r z e k r o j u ,
w p r z y p a d k u k o n s t r u k c j i z b u d o w a n e j
l d Bu g o [ c a Be j k o n s t r u k c j i p r t o w e j
z p r t w s m u k By c h
2 2
l 2 l 2 l l
M M
N M s
g y g z
U = d x + d x + d x + d x
+" +" +" +"
2 E A 2 C 2 E J y 0 2 E J z
0 0 0
n a o g B d o p o m i n i c i a
w k o n s t r u k c j a c h
z g i n a n y c h i s k r c a n y c h
8 . 2 . S i By u o g l n i o n e , w s p Br z d n e u o g l n i o n e , u k Ba d C l a p e y r o n a
( B e n o i t P a u l E m i l C l a p e y r o n 1 7 9 9 - 1 8 6 4 )
w s p Br z d n a u o g l n i o n a
s i Ba u o g l n i o n a
p r z e m i e s z c z e n i e o d p o w i a d a j c e s i l e
d o w o l n e o b c i |e n i e d z i a Ba j c e n a c i a Bo
u o g l n i o n e j
P
f
s i Ba s k u p i o n a P p r z e m i e s z c z e n i e f
A
p u n k t u p r z y Bo |e n i a s i By
n a k i e r u n k u l i n i i d z i a Ba n i a s i By
A 1
k t s k r c e n i a w y w o Ba n y d z i a Ba n i e m
m o m e n t s k r c a j c y M s
m o m e n t u s k r c a j c e g o M s
k t u g i c i a w y w o Ba n y d z i a Ba n i e m
m o m e n t g n c y M g
m o m e n t u g n c e g o M g
p o l e z a k r e s k o w a n e n a r y s u n k u
o b c i |e n i e c i g Be q
- 2 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
U k Ba d C l a p e y r o n a t o u k Ba d m e c h a n i c z n y , w k t r y m :
1 . m a t e r i a B j e s t i d e a l n i e s p r |y s t y ,
2 . w |a d n y m p u n k c i e n a p r |e n i a n i e p r z e k r a c z a j g r a n i c y p r o p o r c j o n a l n o [c i ,
3 . m o |n a s t o s o w a z a s a d s u p e r p o z y c j i ( d z i a Ba n i e j e d n y c h s i B u o g l n i o n y c h n i e
z m i e n i a c h a r a k t e r u d z i a Ba n i a i n n y c h s i B)
J e [l i s i By u o g l n i o n e d z i a Ba j c e n a u k Ba d p r z y k Ba d a n e s j e d n o c z e [n i e , w z r a s t a j
r w n o m i e r n i e i o s i g a j s w o j e k o Dc o w e w a r t o [c i w t e j s a m e j c h w i l i
t o
e n e r g i a s p r |y s t a u k Ba d u r w n a j e s t p r a c y s i B u o g l n i o n y c h
n
1 1 1 1 1
U = P 1 f 1 + P 2 f 2 + . . . + P i f i + . . . + P n f n = P i f i
"
2 2 2 2 2
i = 1
8 . 3 . Z a s a d a w z a j e m n o [c i p r a c i z a s a d a w z a j e m n o [c i p r z e m i e s z c z e D
u k Ba d C l a p e y r o n a ( b e l k a )
S t a n 1
W p u n k c i e C b e l k a P 1
C D
o b c i |o n a z o s t a j e s i B P 1 ,
B
A
k t r a w y w o Bu j e u g i c i e f C 1
w p u n k c i e C o r a z f D 1 w
f C 1
f D 1
p u n k c i e D .
1
e n e r g i a s p r |y s t a U 1 = P 1 f C 1
2
S t a n 2
P 2
P 1
W p u n k c i e D b e l k a z o s t a j e
C D
B
A
d o d a t k o w o o b c i |o n a s i B
P 2 , k t r a w y w o Bu j e
f C 2 f D 2
d o d a t k o w e u g i c i a b e l k i f C 2 ,
f D 2 .
1 1
U = P 1 f C 1 + P 2 f D 2 + P 1 f C 2
k o Dc o w a e n e r g i a s p r |y s t a
2
2 2
b e z c z y n n i k a b o c a Ba s i Ba o w a r t o [c i P 1
w y k o n u j e p r a c n a d r o d z e f C 2
G d y b y s i By p r z y k Ba d a n e b y By w o d w r o t n e j k o l e j n o [c i ( n a j p i e r w P 2 , p o t e m P 1 ) t o k o Dc o w a
e n e r g i a s p r |y s t a u k Ba d u w y r a z i Ba b y s i w z o r e m
1 1
U 2 = P 2 f D 2 + P 1 f C 1 + P 2 f D 1
2 2
- 3 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
P o n i e w a | k o Dc o w a e n e r g i a s p r |y s t a n i e m o |e z a l e |e o d k o l e j n o [c i p r z y k Ba d a n i a s i B, t o
1 1 1 1
P 1 f C 1 + P 2 f D 2 + P 1 f C 2 = P 2 f D 2 + P 1 f C 1 + P 2 f D 1
2 2 2 2
!
!
!
!
P 1 f C 2 = P 2 f D 1
z a s a d a w z a j e m n o [c i p r a c ( B e t t i e g o )
( E n r i c o B e t t i 1 8 2 3 - 1 8 9 2 )
P r a c a s i B p i e r w s z e g o s t a n u o b c i |e n i a
n a p r z e m i e s z c z e n i a c h u o g l n i o n y c h w y w o Ba n y c h p r z e z s t a n d r u g i
r w n a j e s t
p r a c y s i B d r u g i e g o s t a n u o b c i |e n i a
n a p r z e m i e s z c z e n i a c h u o g l n i o n y c h w y w o Ba n y c h p r z e z s t a n p i e r w s z y .
J e [l i P 1 = P 2 t o
f C 2 = f D 1
z a s a d a w z a j e m n o [c i p r z e m i e s z c z e D ( M a x w e l l a )
( J a m e s C l a r k M a x w e l l 1 8 3 1 - 1 8 7 9 )
S i Ba u o g l n i o n a p r z y Bo |o n a n a k i e r u n k u p i e r w s z y m
w y w o Ba n a k i e r u n k u d r u g i m p r z e m i e s z c z e n i e
r w n e p r z e m i e s z c z e n i u ,
j a k i e n a k i e r u n k u p i e r w s z y m
w y w o Ba t a s i Ba p r z y Bo |o n a n a k i e r u n k u d r u g i m
P B
P r z y k Ba d
B B
f B
f C
A C A C P C
P i o n o w a s i Ba P B w y w o Bu j e p o z i o m e J a k i e b d z i e p i o n o w e p r z e m i e s z c z e n i e
p r z e s u n i c i e p u n k t u C o w a r t o [ f C . p u n k t u B , j e [l i d o p u n k t u C p r z y Bo |o n a
z o s t a n i e p o z i o m a s i Ba P C ?
R o z w i z a n i e
P C
f B = f C
P B f B = P C f C
Z z a s a d y w z a j e m n o [c i p r a c !
P B
- 4 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
8 . 4 . T w i e r d z e n i e C a s t i g l i a n o ( C a r l o A l b e r t o C a s t i g l i a n o 1 8 4 7 - 1 8 8 4 )
P i
P 1
P n
u k Ba d C l a p e y r o n a
B
A
( b e l k a o b c i |o n a
s i Ba m i P 1 P n )
f 1
f i f n
n
1
U = P i f i
"
e n e r g i a s p r |y s t a u k Ba d u
2
i = 1
P i
P i
P 1
P n
s i Ba P i d o z n a j e
B
A
p r z y r o s t u o m a B
w a r t o [
P i
f i
f i
"U
U 1 = U + P i
e n e r g i a s p r |y s t a u k Ba d u
"P i
T e n s a m e f e k t k o Dc o w y u z y s k a m o |n a p r z y k Ba d a j c s i By w i n n e j k o l e j n o [c i
P i
o b c i |a m y u k Ba d
B
A
m a B s i B P i
f i
1
U = P i f i
e n e r g i a s p r |y s t a u k Ba d u
2
P i
P 1
P n
P i
d o d a j e m y
B
A
z a s a d n i c z y u k Ba d s i B
P 1 P n
f 1
f n
f i
f i
1
U 2 = P i f i + U + P i f i
e n e r g i a s p r |y s t a u k Ba d u
2
b e z c z y n n i k a b o c a Ba s i Ba o w a r t o [c i
P i w y k o n u j e p r a c n a d r o d z e f i
- 5 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
K o Dc o w e e n e r g i e s p r |y s t e u k Ba d u s r w n e
U 1 = U 2
"U 1
U + P i = P i f i + U + P i f i
"P i 2
d o p o m i n i c i a ( m a Ba d r u g i e g o r z d u )
!
!
!
!
"U
= f i
t w i e r d z e n i e C a s t i g l i a n o
"P i
P o c h o d n a c z s t k o w a e n e r g i i s p r |y s t e j u k Ba d u w z g l d e m s i By u o g l n i o n e j
r w n a j e s t w s p Br z d n e j u o g l n i o n e j o d p o w i a d a j c e j t e j s i l e .
- 6 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
P r z y k Ba d
S t o s u j c t w i e r d z e n i e
y
a
P C a s t i g l i a n o w y z n a c z y
f B f C
E J = c o n s t u g i c i a f B i f C w p u n k t a c h B
A B C x
C i C o r a z k t u g i c i a C w
p u n k c i e C b e l k i w s p o r n i k o -
l
w e j p o k a z a n e j n a r y s u n k u .
R o z w i z a n i e
A b y m c o b l i c z y w s p Br z d n e u o g l n i o n e w p u n k c i e C ( u g i c i e , k t u g i c i a ) m u s i m y
c h w i l o w o p r z y Bo |y t a m s i By u o g l n i o n e o d p o w i a d a j c e t y m w s p Br z d n y m : s i B R
i m o m e n t g n c y M ( o s t a t e c z n i e p r z y j m i e m y , |e R = 0 o r a z M = 0 )
y
P
R
A x
B C
M
M g
l
O b l i c z a m y e n e r g i
a
s p r |y s t u k Ba d u
x
( u w z g l d n i a m y j e d y n i e
A B C
m o m e n t g n c y , [c i n a n i e
p o m i j a m y )
M g B - C = - R ( l - x ) - M
2 2
a l
M M
g A - B g B - C
U = d x + d x
+" +"
2 E J 2 E J
0 a
M g A - B = - P ( a - x ) - R ( l - x ) - M
2 2
a l
[ - P ( a - x ) - R ( l - x ) - M ] [ - R ( l - x ) - M ]
U = d x + d x =
+" +"
2 E J 2 E J
0 a
1
= [ a 3 ( P + R ) 2 - 3 a 2 ( P + R ) ( P a + R l + M ) + 3 a ( P a + R l + M ) 2 ] +
6 E J
1
+ [ ( l 3 - a 3 ) R 2 - 3 ( l 2 - a 2 ) R ( R l + M ) + 3 ( l - a ) ( R l + M ) 2 ]
6 E J
"U P a 3 "U P a 2 ( 3 l - a ) "U P a 2
f B = = f C = = C = =
"P 3 E J "R 6 E J "M 2 E J
p r z y R = 0 , M = 0
- 7 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
8 . 5 . T w i e r d z e n i e M e n a b r e a ( L u i g i F e d e r i c o M e n a b r e a 1 8 0 9 - 1 8 9 6 )
B e l k a t r j p o d p o r o w a p r z y k Ba d u s t r o j u s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n e g o
y
P
C
B x
A
f
R A R C R B
N a l e |y w y z n a c z y 3 n i e w i a d o m e r e a k c j e : R A , R B , R C .
F y = 0 M = 0
D o d y s p o z y c j i m a m y 2 r w n a n i a r w n o w a g i :
" "
K
M = 0 M = 0
a l b o
" "
K J
( K , J d o w o l n i e w y b r a n e p u n k t y p Ba s z c z y z n y )
F x = 0
T r z e c i e r w n a n i e w y r a |a j c e r w n o w a g s i B w k i e r u n k u o s i x : j e s t s p e Bn i o n e .
"
L i c z b a n i e w i a d o m y c h p r z e w y |s z a o 1 l i c z b r w n a D r w n o w a g i . U k Ba d j e s t z a t e m
j e d n o k r o t n i e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y .
P r z y w y z n a c z a n i u r e a k c j i w u k Ba d a c h s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y c h
w y k o r z y s t u j e m y i n f o r m a c j e d o t y c z c e o d k s z t a Bc e D k o n s t r u k c j i .
y
P
C
B x
A
f
R A R C = X R B
1 . J e d n z p o s z u k i w a n y c h r e a k c j i , n p . R C u z n a j e m y z a s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n .
2 . B e l k t r a k t u j e m y t a k , j a k b y b y Ba p o d p a r t a n a 2 p o d p o r a c h ( A i B ) a w i c j a k
s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n i o b c i |o n a d o d a t k o w o c h w i l o w o n i e z n a n s i B R C = X .
3 . S i B X w y z n a c z a m y z w a r u n k u , |e u g i c i e b e l k i n a p o d p o r z e r w n e j e s t 0 .
4 . W y k o r z y s t u j e m y t w i e r d z e n i e C a s t i g l i a n o
r w n a D t e g o r o d z a j u m o |n a n a p i s a t y l e ,
"U i l e j e s t r e a k c j i s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y c h
= 0
t w i e r d z e n i e M e n a b r e a
"X
P o c h o d n a c z s t k o w a e n e r g i i s p r |y s t e j u k Ba d u
w z g l d e m r e a k c j i s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n e j j e s t r w n a z e r u .
- 8 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
P r z y k Ba d
y
W y k o r z y s t u j c t w i e r d z e n i e
a
P
M e n a b r e a w y z n a c z y r e a k c j e
E J = c o n s t
A B C
x
p o d p r b e l k i p o k a z a n e j n a
r y s u n k u i w y k o n a w y k r e s
l
m o m e n t w g n c y c h .
R o z w i z a n i e
M g
M g A - B = X ( l - x ) - P ( a - x ) M g B - C = X ( l - x ) 1 . U w a l n i a m y u k Ba d o d
P
w i z w .
M A
2 . S t w i e r d z a m y , |e b e l k a
A B C
x
j e s t j e d n o k r o t n i e s t a t y -
c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
R C = X
R A
3 . D o w o l n z r e a k c j i u z n a -
j e m y z a s t a t y c z n i e
R o b o c z y w y k r e s m o m e n t w g n c y c h
n i e w y z n a c z a l n ( R C ) .
4 . W y k o n u j e m y r o b o c z y w y k r e s m o m e n t w g n c y c h .
5 . O b l i c z a m y e n e r g i s p r |y s t
2 2
M M
a l
g A - B g B - C
U = d x + d x
+" +"
0 a
2 E J 2 E J
2
l l
M "M
"U 1
g
= M d x
U w a g a : j e |e l i U = g d x t o
+" +" g
2 E J "X E J "X
0 0
a l
"M "M
1 1
g A - B g B - C
M d x + M d x = 0
g A - B g B - C
a z a t e m +" +"
E J "X E J "X
0 a
a l
[ X ( l - x ) - P ( a - x ) ] ( l - x ) d x + X ( l - x ) ( l - x ) d x = 0
+" +"
0 a
a 2 ( 3 l - a )
a 2 ( 3 l - a )
X = P
R A = P - X = P 1 -
s t d o t r z y m u j e m y :
2 l 3
2 l 3
M g
a 2 ( 3 l - a ) ( l - a )
M = P
B
2 l 3
A C
B
x
a
a ( 3 l - a )
l
M = P a - 1
A
2 l 2
W y k r e s m o m e n t w g n c y c h
- 9 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
8 . 6 . O b l i c z a n i e p r z e m i e s z c z e D w k o n s t r u k c j i p r t o w e j n a p o d s t a w i e w z o r u
M a x w e l l a - M o h r a ( C h r i s t i a n O t t o M o h r 1 8 3 5 - 1 9 1 8 )
y
P i
P 1
P n
u k Ba d C l a p e y r o n a
x
B
K
A
( b e l k a o b c i |o n a
s i Ba m i P 1 P n )
f K
C e l e m j e s t o b l i c z e n i e p r z e m i e s z c z e n i a w p u n k c i e K b e l k i
P K = 0
y
S t o s u j e m y t w i e r d z e n i e
P i
C a s t i g l i a n o :
P 1
P n
1 . W p u n k c i e K
B x
K
A
p r z y k Ba d a m y s i B
u o g l n i o n P K ,
f K
o d p o w i a d a j c
p r z e m i e s z c z e n i u f K .
2 . O b l i c z a m y e n e r g i s p r |y s t u k Ba d u U i r |n i c z k u j e m y p o s i l e P K , o s t a t e c z n i e
p r z y j m u j c P K = 0
"U
f K =
"P K
P K = 0
E n e r g i s p r |y s t o b l i c z a m y n a p o d s t a w i e m o m e n t u g n c e g o p a n u j c e g o n a b e l c e .
M o m e n t g n c y w y z n a c z a m y j a k o s u p e r p o z y c j d w c h s t a n w :
M g ( x )
P i
1 . o b c i |e n i a z a s a d n i c z e g o
P 1
P n
( s i Ba m i P 1 P n )
B x
K
A
P K = 1
m g ( x )
2 . o b c i |e n i a d o d a t k o w e g o
B x
u o g l n i o n s i B P K = 1
K
A
W y k r e s m g ( x ) w y k o n u j e m y d l a j e d n o s t k o w e j w a r t o [c i P K = 1 s i By u o g l n i o n e j .
W p r z y p a d k u d o w o l n e j s i By P K w a r t o [c i m o m e n t u g n c e g o o d t e j s i By b d r w n e
"
m g ( x ) "P K
"
"
- 1 0 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
S u m a r y c z n y m o m e n t g n c y p a n u j c y n a b e l c e r w n y j e s t
M g ( x ) + m g ( x ) P K
l
2
( M ( x ) + m g ( x ) P K )
g
E n e r g i a s p r |y s t a
U = d x
+"
2 E J
0
l
"U 1
P r z e m i e s z c z e n i e w p u n k c i e K f K = = ( M g ( x ) + m g ( x ) P K ) m g ( x ) d x
+"
"P K 0 E J
W r z e c z y w i s t o [c i P K = 0 , o s t a t e c z n i e o t r z y m u j e m y
l
M g ( x ) m g ( x )
f K = d x
+"
w z r M a x w e l l a - M o h r a
E J
0
W o g l n y m w y p a d k u , g d y e n e r g i a s p r |y s t a p o c h o d z i o d :
- r o z c i g a n i a ( [c i s k a n i a ) ! N ( x ) - r o z k Ba d s i By n o r m a l n e j w z d Bu | k o n s t r u k c j i p r t o w e j
w y w o Ba n y o b c i |e n i e m r z e c z y w i s t y m ,
- [c i n a n i a ! T ( x ) - r o z k Ba d s i By t n c e j . . . ,
- s k r c a n i a ! M s ( x ) - r o z k Ba d m o m e n t u s k r c a j c e g o . . . ,
- z g i n a n i a ! M g ( x ) - r o z k Ba d m o m e n t u g n c e g o . . .
w z r M a x w e l l a - M o h r a p r z y j m u j e p o s t a :
l l l l
M g ( x ) m g ( x )
N ( x ) n ( x ) d x + T ( x ) t ( x ) d x + M s ( x ) m s ( x ) d x +
f K = d x
+" +" +" +"
E A G A G J s E J
0 0 0 0
g d z i e :
- n ( x ) - r o z k Ba d s i By n o r m a l n e j w z d Bu | k o n s t r u k c j i p r t o w e j w y w o Ba n y j e d n o s t k o w s i B
u o g l n i o n P K o d p o w i a d a j c p r z e m i e s z c z e n i u f K ,
- t ( x ) - r o z k Ba d s i By t n c e j . . . ,
- m s ( x ) - r o z k Ba d m o m e n t u s k r c a j c e g o . . . ,
- m g ( x ) - r o z k Ba d m o m e n t u g n c e g o . . . .
- 1 1 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
b
8 . 7 . M e t o d a W e r e s z c z a g i n a o b l i c z a n i a c a Be k t y p u M ( x ) m ( x ) d x
+"
a
M ( x )
d o w o l n a f u n k c j a &! b
c a Bk o w a l n a
s c
M ( x ) m ( x ) d x = &! " h
+"
a
x
x s c
a
b
m ( x )
&! - z a k r e s k o w a n e p o l e
s c - [r o d e k c i |k o [c i p o l a &!
f u n k c j a l i n i o w a
h = m ( x s c ) - w a r t o [ f u n k c j i
l i n i o w e j d l a a r g u m e n t u x s c
h
x
a x s c
b
W p o d r c z n i k a c h d o W y t r z y m a Bo [c i M a t e r i a B w p o d a n e s t a b e l e u Ba t w i a j c e o b l i c z a n i e
c a Be k m e t o d W e r e s z c z a g i n a d l a w y b r a n y c h p r z e b i e g w f u n k c j i p o d c a Bk o w y c h .
b
a
l
e
1
l [ a ( 2 d + e ) + b ( d + 2 e ) ]
d
6
l
- 1 2 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
P r z y k Ba d 1
S t o s u j c w z r M a x w e l l a -
y
a
P M o h r a w y z n a c z y u g i c i a f B
f B f C
E J = c o n s t i f C w p u n k t a c h B i C o r a z
A B C x
C k t u g i c i a C w p u n k c i e C
b e l k i w s p o r n i k o w e j
l
p o k a z a n e j n a r y s u n k u .
R o z w i z a n i e
M g
a
S t a n 0
a / 3 P
A B C
x
s c
- P a
1
&!
&! = ( - P a ) a
2
O b l i c z e n i a u g i c i a w p u n k c i e B
m g
a
s t a n 1
a / 3
1
A B C
x
h
2
- a
h = ( - a )
3
l
1 1 1 2 P a 3
f B = M m g d x = ( - ( - =
g
+"
2 P a ) a a )
E J E J 3 3 E J
0
&! h
O b l i c z e n i a u g i c i a w p u n k c i e C
m g
l
s t a n 1
a / 3
1
A C
x
h
a
- l
h = - l
3
l
1 1 1 a P a 2 ( 3 l - a )
f C = M m g d x = ( - -
g
+" 2 P a ) a l =
E J E J 3 6 E J
0
- 1 3 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
O b l i c z e n i a k t a u g i c i a w p u n k c i e C
m g
l
s t a n 1
a / 3
A C
x
1
- 1
h = - 1
l
1 1 1 P a 2
C = M m g d x = ( - =
g
+"
2 P a ) a ( - 1 )
E J E J 2 E J
0
- 1 4 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
f C
P
P r z y k Ba d 2
C
K o r z y s t a j c z e w z o r u M a x w e l l a - M o h r a
E J = c o n s t
b
o b l i c z y u g i c i a f C i f D r a m y p o k a z a n e j n a
r y s u n k u .
a / 2
f D
B
A
D
a
R o z w i z a n i e
O b l i c z e n i a u g i c i a r a m y w p u n k c i e C
P 1
C C
b b
M g m g
a a
B B
A A
P b b
S t a n " 0 " s t a n " 1 "
l
M m g a M m g b M m g
g g g
f C = d x = d x + d x =
+" +" +"
E J E J E J
0 0 0
1 1 2 1 1 2 P b 2
= = ( a + b )
2 a P b " b + 2 b P b " b
E J 3 E J 3 3 E J
- 1 5 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
O b l i c z e n i a u g i c i a r a m y w p u n k c i e D
P
C
C
m g
M g
a
b
a / 2
a
a / 2
1
D
D
B B
A A
P b
a / 4
P b / 2
S t a n " 0 " s t a n " 1 "
l
M m g a M m g b M g m g
g g
f D = d x = d x + d x =
+" +" +"
E J E J E J
0 0 0
1 1 a a 2 P b 1 a a P b 1 P b P b a 2
= " + + 0 =
2 " +
E J 2 4 3 2 2 2 4 2 3 2 1 6 E J
- 1 6 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
8 . 8 . R w n a n i a M a x w e l l a - M o h r a ( r w n a n i a k a n o n i c z n e m e t o d y s i B)
y
U k Ba d C l a p e y r o n a
P 2
P k
P 1
b e l k a n a n + 2 p o d p o r a c h
B x
A
( u k Ba d n - k r o t n i e
s t a t y c z n i e
n i e w y z n a c z a l n y )
R A X 1 X i X n R B
( 0 )
M
g
S t a n 0
P 2
P k
P 1
M
B x
A
(
m g 1 )
s t a n 1
B x
A
( 1 ) (
M = m g 1 ) X 1
g
1
(
m g i )
s t a n i
B x
A
( i ) (
M = m g i ) X i
g
1
(
m g n )
s t a n n
B x
A
( n ) (
M = m g n ) X
g n
1
- 1 7 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
S u m a r y c z n y m o m e n t g n c y n a b e l c e
( 0 ) ( ( (
M = M + m g 1 ) X 1 + . . . + m g i ) X + . . . + m g n ) X
g g i n
2
l
M
g
U = d x
+"
E n e r g i a s p r |y s t a u k Ba d u
2 E J
0
Z t w i e r d z e n i a M e n a b r e a w y n i k a , |e
"U "U "U
= 0 = 0 = 0
"X 1 . . . "X i . . . "X
n
l l
"M
"U 1 1
g
(
= M d x = M m g i ) d x =
g g
+" +"
"X i 0 E J "X i E J
0
( 0 ) ( ( ( ( (
l l l l
M m g i ) m g 1 ) m g i ) m g n ) m g i )
m i ( i ) m i ( i )
g
= d x + X 1 d x + . . . + X i d x + . . . + X d x = 0
n
+" +" +" +"
E J E J E J E J
0 0 0 0
i 0 i 1 i i i n
R w n a n i e j a k w y |e j m o |n a n a p i s a d l a k a |d e j z w i e l k o [c i X 1 , . . . , X n , o t r z y m u j e s i w i c
t y l e r w n a D, i l e j e s t r e a k c j i s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y c h .
1 1 X 1 + L + 1 i X i + L + 1 n X + 1 0 = 0
n
u k Ba d
M
r w n a D
i 1 X 1 + L + i i X i + L + i n X + i 0 = 0
M a x w e l l a
n
- M o h r a
M
n 1 X 1 + L + n i X i + L + n n X + n 0 = 0
n
( (
( 0 ) (
l l
m g j ) m g i )
M m g i )
g
i j = d x i 0 = d x
+" +"
i j =
j i
E J E J
0 0
R o z w i z u j c u k Ba d r w n a D M a x w e l l a - M o h r a
w y z n a c z a s i r e a k c j e s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n e X 1 , . . . , X n
- 1 8 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
P r z y k Ba d 1
y
W y k o r z y s t u j c r w n a n i a
a
P
M a x w e l l a - M o h r a w y z n a c z y
E J = c o n s t
A C B
x r e a k c j e p o d p r b e l k i
p o k a z a n e j n a r y s u n k u
l
i n a r y s o w a w y k r e s
m o m e n t w g n c y c h
R o z w i z a n i e
y
B e l k a j e s t 1 - k r o t n i e
P
s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
A C B
x
J a k o w i e l k o [ s t a t y c z n i e
M A
n i e w y z n a c z a l n
R A
p r z y j m u j e m y r e a k c j n a
p o d p o r z e B .
R B = X 1
( 0 )
M
g
a
P
A B x
S t a n 0
C
- P a
(
m g 1 )
l
A B x
s t a n 1
1
l
1 1 X 1 + 1 0 = 0
W s p Bc z y n n i k i i j o b l i c z a m y m e t o d W e r e s z c z a g i n a :
( (
l
m g 1 ) m g 1 )
1 1 2 l 3
1 1 = d x = " =
+"
2 l 2 l
E J E J 3 3 E J
0
l
( 0 )
M m ( 1 ) 1 1
a P a 2 ( 3 l - a )
g g
1 0 = d x =
2 a ( - P a ) "l - = -
+"
E J E J 3 6 E J
0
- 1 9 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
P a 2 ( 3 l - a )
l 3 P a 2 ( 3 l - a )
X 1 = = R B
!
X 1 - = 0
2 l 3
3 E J 6 E J
P o w y z n a c z e n i u r e a k c j i s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n e j R B b e l k a s t a j e s i s t a t y c z n i e
w y z n a c z a l n a i n i e w i a d o m e r e a k c j e R A , M A o b l i c z a m y z w a r u n k w r w n o w a g i :
a ( 2 l 2 - 3 a l + a 2 )
A
A
A
"M = 0 ! M - P a + R B l = 0 ! M = P a - R B l = P
2 l 2
2 l 3 - 3 a 2 l + a 3
"F = 0 ! R A - P + R B = 0 ! R A = P - R B = P
2 l 3
M C
a ( 2 l 2 - 3 a l + a 2 )
M g
M A = P
2 l 2
a
P
M C = R B ( l - a ) =
A C B x
a 2 ( 3 l - a ) ( l - a )
= P
l
2 l 3
M A
R o z k Ba d m o m e n t u g n c e g o n a b e l c e
0 . 2 0
k
A
k
C M = P l " k A
A
0 . 1 5
M C = P l " k C
0 . 1 0
0 . 0 5
d l a a / l H"0 . 5 8 6
0 . 0 0
0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0
M A = M C H"0 . 1 7 2 P l
a / l
- 2 0 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
P r z y k Ba d 2
a
P
W y k o r z y s t u j c u k Ba d r w n a D
E J = c o n s t
A B
M a x w e l l a - M o h r a w y z n a c z y
r e a k c j e w b e l c e p o k a z a n e j n a
C
l
r y s u n k u i w y k o n a w y k r e s
m o m e n t w g n c y c h .
R o z w i z a n i e
B e l k a j e s t 2 - k r o t n i e
P
s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n a .
A B J a k o w i e l k o [c i
M B = X 2
M A
s t a t y c z n i e
C
R A
n i e w y z n a c z a l n e
R B = X 1
p r z y j m u j e m y R B i M B .
( 0 )
M
g
a
P
A B x
S t a n 0
C
- P a
(
m g 1 )
l
s t a n 1
A B x
1
l
(
m g 2 )
A B x
s t a n 2
1
- 1
1 1 X 1 + 1 2 X 2 + 1 0 = 0
2 1 X 1 + 2 2 X 2 + 2 0 = 0
- 2 1 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
W s p Bc z y n n i k i i j o b l i c z a m y m e t o d W e r e s z c z a g i n a :
( (
l
m g 1 ) m g 1 )
1 1 2 l 3
1 1 = d x = " =
+"
2 l 2 l
E J E J 3 3 E J
0
( (
l
m g 1 ) m g 2 )
1 1 l 2
1 2 = 2 1 = d x = "( - 1 ) = -
+"
2 l 2
E J E J 2 E J
0
( 0 ) (
l
M m g 1 )
1 1 a P a 2 ( 3 l - a )
g l
1 0 = d x =
+" 2 a ( - P a ) " - = -
E J E J 3 6 E J
0
( (
l
m g 2 ) m g 2 )
1 l
2 2 = d x = [ l ( - 1 ) "( - 1 ) ] =
+"
E J E J E J
0
( 0 ) (
l
M m g 2 )
1 1 P a 2
g
2 0 = d x = =
+"
2 a ( - P a ) "( - 1 )
E J E J 2 E J
0
2
l 3 l P a 2 ( 3 l - a )
X 1 - X - = 0
2
3 E J 2 E J 6 E J
2
l l P a 2
- X 1 + X + = 0
2
2 E J E J 2 E J
P o r o z w i z a n i u u k Ba d u r w n a D o t r z y m u j e m y
a 2 ( 3 l - 2 a ) a 2 ( l - a )
X 1 = P = R B X 2 = P = M B
l 3 l 2
P o w y z n a c z e n i u r e a k c j i s t a t y c z n i e n i e w y z n a c z a l n y c h R B , M B b e l k a s t a j e s i s t a t y c z n i e
w y z n a c z a l n a i n i e w i a d o m e r e a k c j e R A , M A o b l i c z a m y z w a r u n k w r w n o w a g i :
a ( l - a ) 2
A B
A B
A
"M = 0 ! M - P a + R B l - M = 0 ! M = P a - R B l + M = P
l 2
( l - a ) 2 ( 2 a + l )
"F = 0 ! R A - P + R B = 0 ! R A = P - R B = P
l 3
- 2 2 / 2 3 -
8 . M e t o d y e n e r g e t y c z n e
M g
a ( l - a ) 2
a
M = P
A
l 2
P
M C
a 2 ( l - a )
A B x
M = P
B
l 2
C
l
M A
M C = R A a - M =
A
M B
a ( l - a ) ( l 2 - 2 a 2 )
= P
l 3
R o z k Ba d m o m e n t u g n c e g o n a b e l c e
0 . 2 0
M = P l " k A
A
0 . 1 5
k
B
0 . 1 0
M B = P l " k B
k
A
0 . 0 5
M C = P l " k C
0 . 0 0
k
C
- 0 . 0 5
- 0 . 1 0
d l a a = l / 2
0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 0
M A = M B = M C = P l / 8
a / l
- 2 3 / 2 3 -
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