MEiL  Mathematical Methods of Mechanics II
Test 2
19th of January 2010
1. [5p] Using the method of characteristics, solve the equation
ut(t, x) + xux(t, x) =1
u(0, x) =x2.
Sketch the characteristics.
2. [5p] Compute weak derivatives of the following functions
(a) [2.5p] f(x) = x3|x| (b) [2.5p] g(x) = sin |x|.
3. [5p] Let f(x) = ax. Find a > 0 such that f 4 = 1.
3
L (-1,1)
4. [5p] Write the definition of the space H1(-1, 1). Check that f(x) = |x| " H1(-1, 1).
5. [5p] The equation
ut(t, x) + u(t, x)ux(t, x) =0
-1, x d" 0
u(0, x) =
2, x > 0
has many solutions. Find at least one of them, which has 3 discontinuity lines (shock waves) and
satisfies the Rankine-Hugoniot condition along all of the shocks.
Good luck!
MEiL  Matematyczne Metody Mechaniki II
Kolokwium 2
19 stycznia 2010
I
1. [5p] Metodą charakterystyk rozwiąż równanie
ut(t, x) + 3u2(t, x)ux(t, x) =0
"0, x d" 0
u(0, x) =
x, x > 0.
2. [5p] Podaj definicjÄ™ pochodnej dystrybucji. Oblicz pochodnÄ… dystrybucji
1
T (Ć) = Ć(x)dx.
0
3. [5p] SformuÅ‚uj nierówność Höldera dla przestrzeni Lp(0, 1) i sprawdz
jÄ… dla f(x) = 1 " L4(0, 1),
4
3
g(x) = x " L (0, 1).
4. [5p] Niech
3
4
x , 0 < x < 1
f(x) =
1, 1 d" x.
Pokaż, że f " H1(0, 2).
5. [5p] Sformułuj warunek Rankine a-Hugoniot dla prawa zachowania
ut(t, x) + [F (u(t, x))]x = 0.
Podaj rozwiÄ…zanie problemu
ut(t, x) + u2(t, x)ux(t, x) =0
1, x < 0
u(0, x) =
0, x e" 0,
spełniające ten warunek.
Powodzenia!
MEiL  Metody Matematyczne Mechaniki II
Kolokwium 2
19 stycznia 2010
II
1. [5p] Metodą charakterystyk rozwiąż równanie
ut(t, x) + 2u4(t, x)ux(t, x) =0
"0, x d" 0
u(0, x) =
4
x, x > 0.
2. [5p] Podaj definicjÄ™ pochodnej dystrybucji. Oblicz pochodnÄ… dystrybucji
T (Ć) = Ć (2) - Ć (0).
3. [5p] Sformułuj nierówność Marcinkiewicza w przestrzeni Lp(0, 1) i sprawdz
jÄ… dla f(x) = x, g(x) = 1
i p = 3.
4. [5p] Niech
1, 0 < x d" 1
f(x) = 3
x- 4
, 1 < x.
Pokaż, że f " H1(0, ").
5. [5p] Sformułuj warunek Rankine a-Hugoniot dla prawa zachowania
ut(t, x) + [F (u(t, x))]x = 0.
Podaj rozwiÄ…zanie problemu
ut(t, x) + u3(t, x)ux(t, x) =0
1, x < 0
u(0, x) =
-2, x e" 0,
spełniające ten warunek.
Powodzenia!