Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie
EGZAMIN MATURALNY 2011
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
Kryteria oceniania odpowiedzi
MAJ 2011
2 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 1. (0 1)
Poprawna
Obszar standardów Opis wymagań odpowiedz

(1 p.)
Wykorzystanie i tworzenie Wykorzystanie pojęcia wartości
C
informacji bezwzględnej
Zadanie 2. (0 1)
Wykorzystanie Wykonanie obliczeń procentowych
B
i interpretowanie reprezentacji
Zadanie 3. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Rozłożenie wielomianu na czynniki
informacji z zastosowaniem wyłączenia wspólnego B
czynnika poza nawias
Zadanie 4. (0 1)
Modelowanie matematyczne Rozwiązanie układu równań D
Zadanie 5. (0 1)
Wykorzystanie Rozwiązanie równania liniowego
i interpretowanie reprezentacji i sprawdzenie czy rozwiązanie należy D
do danego przedziału
Zadanie 6. (0 1)
Wykorzystanie Sprawdzenie, które z podanych liczb
i interpretowanie reprezentacji spełniają nierówność i wybranie z nich B
najmniejszej
Zadanie 7. (0 1)
Wykorzystanie Zinterpretowanie rozwiązania
i interpretowanie reprezentacji nierówności kwadratowej i liniowej na osi C
liczbowej
Zadanie 8. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie definicji logarytmu
B
i interpretowanie reprezentacji
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 3
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 9. (0 1)
Wykorzystanie Określenie funkcji za pomocą wzoru
i interpretowanie reprezentacji i interpretowanie wykresów funkcji A
kwadratowych
Zadanie 10. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie miejsca zerowego funkcji
D
i interpretowanie reprezentacji liniowej
Zadanie 11. (0 1)
Wykorzystanie Zastosowanie wzory na n-ty wyraz ciągu
D
i interpretowanie reprezentacji geometrycznego
Zadanie 12. (0 1)
Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu
C
arytmetycznego
Zadanie 13. (0 1)
Wykorzystanie Wyznaczenie wartości pozostałych
i interpretowanie reprezentacji funkcji tego samego kąta ostrego, gdy A
dana jest wartość jednej z nich
Zadanie 14. (0 1)
Wykorzystanie Zastosowanie prostych związków między
i interpretowanie reprezentacji funkcjami trygonometrycznymi kąta B
ostrego
Zadanie 15. (0 1)
Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych
C
w przestrzeni
Zadanie 16. (0 1)
Wykorzystanie Skorzystanie ze związków między kątem
B
i interpretowanie reprezentacji środkowym i kątem wpisanym
Zadanie 17. (0 1)
Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych
A
w figurach płaskich
4 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 18. (0 1)
Wykorzystanie Zbadanie równoległości i prostopadłości
i interpretowanie reprezentacji prostych na podstawie ich równań C
kierunkowych
Zadanie 19. (0 1)
Wykorzystanie Posłużenie się równaniem okręgu
2 2
2
i interpretowanie reprezentacji
(x - a) + (y - b) = r i sprawdzanie B
czy dana prosta jest styczną
Zadanie 20. (0 1)
Wykorzystanie Wyznaczenie związków miarowych
D
i interpretowanie reprezentacji w sześcianie
Zadanie 21. (0 1)
Wykorzystanie Wyznaczenie związków miarowych
B
i interpretowanie reprezentacji w bryłach obrotowych
Zadanie 22. (0 1)
Modelowanie matematyczne Zastosowanie twierdzenia znanego jako
klasyczna definicja prawdopodobieństwa
D
do obliczenia prawdopodobieństwa
zdarzenia
Zadanie 23. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie średniej arytmetycznej
D
i interpretowanie reprezentacji
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 5
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 24. (0 2)
Wykorzystanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej
i interpretowanie reprezentacji
Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:
I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 3x2 -10x + 3
" obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
10 -8 1 10 + 8
"= 100 - 4�"3�"3 = 64 i stąd x1 = = oraz x2 = = 3
6 3 6
albo
" stosujemy wzory ViŁte a:
10 1
x1 + x2 = oraz x1 �" x2 = 1 i stąd x1 = oraz x2 = 3
3 3
albo
" podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu, lub zaznaczając na wykresie
1 1
ś#
x1 = , x2 = 3 lub 3�# x - ( - 3
x
)
ś# ź#
3 3
�# #
lub
y
6
5
4
3
2
1
1
3
0
x
 4  3  2  1 1 2 3 4 5 6
 1
 2
 3
II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego 3x2 -10x + 3 i zapisujemy
nierówność w postaci, np.
2 2
Ą#
10 64 10 64ń#
ś# ś#
3�# x - - d" 0 , stąd 3ó#�# x - - d" 0
ś# ź# ś# ź#Ą#
6 12
�# #
ó#Ś#
Ł#�# 6 # 36Ą#
a następnie
6 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
" przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci
iloczynowej
10 8 10 8
ś# �#ś#
3�# x - - x - + d" 0
ś#ź#�"ś#ź#
6 6 6 6
�# # �# #
1 ś#
3 x - 3 �"�# x - d" 0
( )
ś# ź#
3
�# #
albo
" przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości
bezwzględnej
2
10 64 10 8
�# ś#
x - d" x - d"
ś# ź#
6 36 6 6
�# #
Drugi etap rozwiązania:
1 1 1
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: d" x d" 3 lub , 3 lub x " , 3
.
3 3 3
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
" zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
1
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = , x = 3 i na tym
3
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f x = 3x2 -10x + 3 i na tym
( )
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
1
ś#
o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 3�# x - �" x - 3 i na
( )
ś# ź#
3
�# #
tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność
10 8
o zapisze nierówność x - d" i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze
6 6
zbiór rozwiązań nierówności
albo
" realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)
i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.
o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
nierówność
10
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów ViŁte a, np.: x1 + x2 = -
3
10
i x1 �" x2 = 1 lub x1 + x2 = i x1 �" x2 =-1 i konsekwentnie do popełnionego
3
błędu rozwiąże nierówność
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 7
Kryteria oceniania odpowiedzi
10 8
o błędnie zapisze nierówność, np. x + d" i konsekwentnie do popełnionego
6 6
błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy:
1 1 1
" poda zbiór rozwiązań nierówności: , 3 lub x " , 3 lub d" x d" 3 ,
3 3 3
albo
" sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
1
nierówności w postaci: x e" , x d" 3
3
albo
" poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
3 x
1
3
Uwaga
1
Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 = i x2 = 3 i zapisze np.
3
1
x " - , 3 , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za
3
takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Zadania 25. (0 2)
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem
wzorów skróconego mnożenia
I sposób rozwiązania
2
Ponieważ a + b = 1, więc a + b = 1, czyli
( )
a2 + 2ab + b2 =1.
2
Ponieważ a2 + b2 = 7 , więc 2ab + 7 = 1. Stąd mamy, że ab = -3 i a2b2 = ab = 9 .
( )
Stosując wzory skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie a4 + b4 = 31 w postaci:
2
a2 + b2 - 2a2b2 = 31 czyli 72 - 2�"9 = 31 co należało uzasadnić.
( )
II sposób rozwiązania
Przekształcamy tezę w sposób równoważny:
a4 + b4 = 31
2
a2 + b2 - 2a2b2 = 31
( )
49 - 2a2b2 = 31
a2b2 = 9 .
8 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Korzystając z założeń a2 + b2 = 7 i a + b = 1, otrzymujemy 2ab + 7 = 1.
Stąd ab =-3. Zatem a2b2 = 9 , co kończy dowód.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy:
" korzystając z założeń obliczy, że ab = -3 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia
błędy
albo
" przekształci tezę w sposób równoważny do postaci a2b2 = 9 i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
III sposób rozwiązania
Tak jak w sposobie I obliczamy, że ab = -3.
Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
4 2
a + b = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = a4 + 4ab a2 + b2 + 6 ab + b4 =
( ) ( )
( )
2
= a4 + b4 + 4 �"7 + 6�" = a4 + b4 - 84 + 54 = a4 + b4 - 30
(-3
) (-3
)
Stąd a4 + b4 = 31.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy
" poda lub obliczy wartość wyrażenia ab = -3 i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy
albo
" wykorzysta wzór dwumianowy Newtona i zapisze np.
42
a + b = a4 + 4ab a2 + b2 + 6 ab + b4 .
( ) ( )
( )
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
IV sposób rozwiązania
Rozwiązujemy układ równań, wyznaczając a i b :
ż#
a2 + b2 = 7
stąd:
�#
a + b = 1
�#
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 9
Kryteria oceniania odpowiedzi
ż# ż#
1- 13 1+ 13
�#a = �#a =
�# �#
2 2
lub
�# �#
�#b = 1+ 13 �#b = 1- 13
�# �#
�# 2 �# 2
ż#
a2 + b2 = 7
Układ równań
�#
a + b = 1
�#
możemy rozwiązać jednym z podanych sposobów.
I sposób
Podstawiamy b = 1- a do równania a2 + b2 = 7 , stąd otrzymujemy równanie
2
a2 + 1- a = 7 , które jest równoważne równaniu 2a2 - 2a - 6 = 0 , czyli
( )
a2 - a - 3 = 0 .
Obliczamy "= 13 oraz
ż# ż#
1- 13 1+ 13
�#a = �#a =
�# �#
2 2
lub
�# �#
�#b = 1+ 13 �#b = 1- 13
�# �#
�# 2 �# 2
II sposób
1 1
Oznaczamy: a = + x , b = - x .
2 2
1 13 13 13 13
Wtedy a2 + b2 = + 2x2 = 7 , stąd 2x2 = , czyli x2 = , więc x = , x =- .
2 2 4 2 2
Stąd otrzymujemy:
ż# ż#
1- 13 1+ 13
�#a = �#a =
�# �#
2 2
lub
�# �#
�#b = 1+ 13 �#b = 1- 13
�# �#
�# 2 �# 2
III sposób
Obliczamy ab =-3 tak jak w I sposobie rozwiązania. Mamy zatem układ równań:
a + b =1
ż#
�#ab =-3
�#
Stąd otrzymujemy:
ż# ż#
1- 13 1+ 13
�#a = �#a =
�# �#
2 2
lub
�# �#
�#b = 1+ 13 �#b = 1- 13
�# �#
�# 2 �# 2
10 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
44
2 4
Obliczamy a4 + b4 , korzystając ze wzoru c + d + c - d = 2c4 +12c2d + 2d :
( ) ( )
44
�#1+ 13 ś# �#1- 13 ś#
a4 + b4 = + =
ś#ź# ś#ź#
22
�# # �# #
44
�#ś# �#ś#
1 13 1 13
= + + - =
ś#ź# ś#ź#
2 2 2 2
�# # �# #
24
42
�# ś# �# ś#
11 13 13
= 2�"�# ś# +12�"�# ś# �"ś# ź# + 2�"ś# ź# =
ś# ź# ś# ź#
22 2 2
�# # �# #�# # �# #
1 13 169 248
= + 3�" + = = 31
8 4 8 8
Uwaga
Zdający może także obliczyć:
2
4 2 2 2
�#�#1+ 13 ś#2 ś#
�#1+ 13 ś# �#1+ 2 13 +13 ś# �#14 + 2 13 ś# �# ś#
7 + 13
ś#ś# ź#
a4 == = =ź# ś# ź#
= =
ś#ź# ź# ś# ź# ś#
ś#ź# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2 ś#ś# 2 ź# 4 4 2
�# # # �# # �# # �# #
�#�# #
4
�#1- 13 ś#
49 +14 13 +13 62 +14 13 31+ 7 13 31- 7 13
== = albo a4 = =
ś#ź#
ś#ź#2
44 2 2
�# #
oraz
2
4 2 2 2
�#�#1- 13 ś#2 ś#
�#1- 13 ś# �#1- 2 13 +13 ś# �#14 - 2 13 ś# �# ś#
7 - 13
ś#ś# ź#
b4 == = =ź# ś# ź#
= =
ś#ź# ź# ś# ź# ś#
ś#ź# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
2 ś#ś# 2 ź# 4 4 2
�# # # �# # �# # �# #
�#�# #
4
�#1+ 13 ś#
49 -14 13 [phone]+ 7 13
== = albo b4 = =
ś#ź#
ś#ź#2
44 2 2
�# #
31+ 7 13 31- 7 13
Zatem a4 + b4 =+= 31.
22
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
1- 13 1+ 13 1+ 13 1- 13
gdy obliczy jedną z wartości a1 = lub a2 = lub b1 = lub b2 =
2 2 2 2
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwaga
1- 13 1+ 13 1+ 13
Jeżeli zdający obliczy jedną z wartości a1 = lub a2 = , lub b1 = ,
2 2 2
1- 13
lub b2 = i uzasadni tezę tylko dla tej jednej wartości, to otrzymuje 2 punkty.
2
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 11
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 26. (0 2)
Wykorzystanie i tworzenie Odczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartości oraz
informacji maksymalnego przedziału, w którym funkcja maleje
Rozwiązanie
Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji: -2, 3 .
Zapisujemy przedział maksymalnej długości, w którym funkcja jest malejąca: -2, 2 .
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje............................................................................................................. 1 pkt
gdy:
" zapisze zbiór wartości funkcji f : -2, 3 i na tym poprzestanie
albo
" zapisze zbiór wartości funkcji f : -2, 3 i błędnie zapisze przedział maksymalnej
długości, w którym ta funkcja jest malejąca
albo
" zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca: -2, 2
i na tym poprzestanie
albo
" zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, np.:
-2, 2 i błędnie zapisze zbiór wartości funkcji f .
Zdający otrzymuje............................................................................................................. 2 pkt
gdy zapisze zbiór wartości funkcji f : -2, 3 oraz przedział maksymalnej długości,
w którym funkcja f jest malejąca: -2, 2 .
Uwagi
1. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,
w postaci -2 d" x d" 2 lub x " -2, 2 , lub x " -2,2 , lub x "
(-2,2
)
) (-2,2 , lub x " .
2. Zdający może zapisać zbiór wartości funkcji f, w postaci -2 d" y d" 3 lub x " -2,3 .
3. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,
w postaci -2,0 *" 0,2 .
4. Nie akceptujemy, jeżeli zdający zapisze przedział maksymalnej długości, w którym
funkcja f jest malejąca, w postaci .
{-2,2
}
12 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadania 27. (0 2)
Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
lub wykorzystanie własności trzech kolejnych wyrazów
tego ciągu
I sposób rozwiązania
Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, stąd 2 y = x +19 .
Zapisujemy więc układ równań
2y = x +19
ż#
�#x + y = 8
�#
którego rozwiązaniem jest x =-1 i y = 9 .
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze równanie np. 2 y = x +19 i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy: x = -1 i y = 9 .
Uwaga
Zdający może jako rozwiązanie podać ciąg 9, 19 i wtedy również otrzymuje 2 punkty.
(-1,
)
II sposób rozwiązania
Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Niech r będzie różnicą tego
ciągu i x = a1, y = a2 = a1 + r , 19 = a3 = a1 + 2r .
Otrzymujemy układ równań
a1 + a1 + r = 8
ż#
�#
+ 2r = 19
�#a1
Rozwiązaniem tego układu jest a1 =-1, r = 10 . Stąd: x = a1 =-1, y = a2 = 9 .
Uwaga
Możemy również otrzymać następujące układy równań:
y = x + r
ż#
2a1 + r = 8
ż#
�# �#
lub = x + 2r
�#a1 +19 �#19
= a1 + r
�# �#x + y = 8
�# 2
�#
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy wprowadzi oznaczenia x = a1, y = a2 = a1 + r i zapisze równanie a1 + 2r = 19 i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy: x = -1 i y = 9 .
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 13
Kryteria oceniania odpowiedzi
III sposób rozwiązania
Wprowadzamy oznaczenia x = a1, y = a2 , 19 = a3 .
Obliczamy:
S3 = x + y +19 = 8 +19 = 27 .
Korzystając ze wzoru na sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
a1 +19
otrzymujemy �"3 = 27 .
2
Stąd a1 =-1, zatem x =-1, y = 9 .
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje............................................................................................................. 1 pkt
a1 + a3
gdy wprowadzi oznaczenia x = a1, y = a2 , 19 = a3 i zapisze równanie �"3 = 27 i na tym
2
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje............................................................................................................. 2 pkt
gdy obliczy: x = -1 i y = 9 .
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze x = -1 i y = 9 bez obliczeń i nie uzasadni, że jest to jedyne
rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.
Zadanie 28. (0 2)
Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie prostych związków między funkcjami
trygonometrycznymi kąta ostrego
I sposób rozwiązania
siną cosą
Sprowadzamy wyrażenie + = 2 do wspólnego mianownika i otrzymujemy
cosą siną
sin2 ą + cos2 ą
= 2 . Korzystając z tożsamości sin2 ą + cos2 ą =1, otrzymujemy
siną cosą
1 1
= 2 , a stąd siną cosą = .
siną cosą 2
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy:
siną cosą
" sprowadzi wyrażenie + = 2 do wspólnego mianownika i na tym
cosą siną
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
albo
siną cosą
" doprowadzi wyrażenie + = 2 do postaci sin2 ą + cos2 ą = 2siną cosą
cosą siną
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy obliczy, że siną cosą = .
2
14 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
II sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz
a b
zaznaczamy kąt ostry ą taki, że siną = lub cosą = .
c c
c
a
b
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej: c2 = a2 + b2 .
siną cosą a b a2 + b2 c2
Ponieważ + = 2 , więc + = 2 , czyli = 2 . Stąd = 2 .
cosą siną b a a �"b a �"b
a �"b 1
Ponieważ siną cosą = , to siną cosą = .
c2 2
III sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz
a b
zaznaczamy kąt ostry ą taki, że siną = lub cosą = .
c c
c
a
b
siną cosą
Ponieważ + = 2 , więc otrzymujemy kolejno:
cosą siną
a b a2 + b2
+ = 2 , = 2 , a2 + b2 = 2ab ,
b a ab
2 Ą
stąd a - b = 0 , więc a = b . Zatem ą = 45� = .
( )
4
2 2
Wtedy siną = sin 45� = i cosą = cos 45� = .
2 2
2 2 1
Obliczamy siną cosą = �" = .
2 2 2
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 15
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania II i III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie
kąt ą i zapisze:
a b a2 + b2
" siną = , cosą = i = 2 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy
c c a �"b
albo
a b
" siną = , cosą = i a2 + b2 = 2a �"b i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
c c
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy obliczy, że siną cosą = .
2
Uwaga
Zdający może także odczytać z tablic przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych
i obliczyć: sin 45��" cos45� H"0,7071�"0,7071 H" 0,4999 H" 0,5 .
Nie akceptujemy innych przybliżeń.
IV sposób rozwiązania
siną cosą 1
Wyrażenie + = 2 zapisujemy w postaci tgą + = 2 .
cosą siną tgą
Stąd tg2ą - 2tgą +1 = 0 .
2 2 1
Zatem tgą = 1 i stąd ą = 45�. Obliczamy wartość wyrażenia, sin 45��"cos 45� = �" = .
2 2 2
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
1
gdy zapisze równanie tgą + = 2 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
tgą
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy obliczy siną cosą = .
2
V sposób rozwiązania
Zauważamy, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba
siną 2 2 1
jest równa 1. Zatem tgą = = 1 i stąd ą = 45�, a więc sin 45��"cos 45� = �" = .
cosą 2 2 2
16 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania V sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy zapisze, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba
siną
jest równa 1, zapisze tgą = 1 lub = 1 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
cosą
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
1
gdy obliczy siną cosą = .
2
Uwaga
Jeżeli zdający w V sposobie rozwiązania zapisze bez uzasadnienia:
siną
" tgą = 1 lub = 1 lub ą = 45� i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,
cosą
to otrzymuje 0 punktów.
siną 1
" tgą = 1 lub = 1 lub ą = 45� i poprawnie obliczy siną cosą = , to otrzymuje
cosą 2
1 punkt.
Zadania 29. (0 2)
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty
I sposób rozwiązania
Niech CED = ą . Ponieważ trójkąt DCE jest równoramienny i EC = CD ,
to EDC = CED = ą . Zatem DCE = 180� - 2ą .
Podobnie, ponieważ trójkąt ABE jest równoramienny i AEB = EAB = � ,
to ABE = 180� - 2� .
Kąty ABE i DCE są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i DCE + ABE = 180� .
Stąd 180�- 2ą +180�- 2� = 180�, czyli
2ą + 2� = 180�
ą + � = 90� .
Zatem AED = 180� - CED - AEB = 180� -ą - � = 180� -(ą + � = 90�.
)
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy napisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,
np. DCE = 180� - 2ą i ABE = 180� - 2� i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90� .
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 17
Kryteria oceniania odpowiedzi
II sposób rozwiązania
D C
ą
ą
ą
E
F
�
�
�
A
B
Niech CED = ą i AEB = �
Trójkąty DCE i ABE są równoramienne. Zatem EDC = CED = ą oraz
AEB = EAB = � .
Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD.
Kąty naprzemianległe CDE i DEF mają równe miary, zatem EDC = DEF = ą .
Analogicznie EAB = AEF = � .
Zatem BEC = 180� = 2ą + 2� , więc ą + � = 90� .
Stąd AED = 90� , co kończy dowód.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne, dorysuje odcinek EF równoległy
do podstaw trapezu ABCD i zapisze, że EDC = DEF = ą i EAB = AEF = � .
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90� (uzasadnienie równości kątów może być
przedstawione na rysunku).
18 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
III sposób rozwiązania
D C
ą
180�-ą
2
ą
ą 2
2
F E
ą
90�-
2
ą
90�-
2
ą
90�-
ą
2
A
B
Niech ABC = ą , stąd BCD = 180� -ą .
Ponieważ CE = CD i EB = BA , więc trójkąty DCE i ABE są równoramienne.
180�-ą ą ą
Zatem AEB = EAB = = 90� - oraz EDC = CED = .
22 2
Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD, więc
ą ą
zachodzi równość: EDC = CED = DEF = i AEB = EAB = AEF = 90� -
2 2
ą ą
Stąd otrzymujemy AED = AEF + DEF = 90� - + = 90� .
2 2
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne i przyjmie, że ABC = ą ,
dorysuje odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD i zapisze,
180�-ą ą
że AEB = EAB = AEF = i EDC = CED = DEF = .
2 2
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90� (uzasadnienie równości kątów może być
przedstawione na rysunku).
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 19
Kryteria oceniania odpowiedzi
IV sposób rozwiązania
D C
ą
ą
E
�
�
A
B
Niech CED = ą . Ponieważ trójkąt DCE jest równoramienny i EC = CD ,
to EDC = CED = ą . Podobnie, ponieważ trójkąt ABE jest równoramienny,
to AEB = EAB = �
Kąty ADC i BAD są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i ADC + BAD = 180� .
Stąd ADE + EAD = 180� - (ą + � .
)
Zatem w trójkącie DAE mamy: AED = 180�- Ą# (ą )Ś#
.
Ł#180�- + � ń# = ą + �
Stąd BEC = 180� = DEC + AED + AEB = 2ą + 2� , czyli ą + � = 90� .
Zatem AED = 90� .
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,
np. EDC = CED = ą oraz AEB = EAB = � i zapisze, że ADC + BAD = 180� .
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90� .
Uwaga
Jeżeli zdający przyjmie dodatkowe założenia o trapezie ABCD, przez co rozważa tylko
szczególny przypadek, np. ABC = 90� lub DEC = 45� , to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów.
20 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zadanie 30. (0 2)
Użycie i tworzenie strategii Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
I sposób rozwiązania (metoda klasyczna)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary a ,b liczb z podanego zbioru. Jest to model
( )
klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: � = 72 .
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na
otrzymaniu liczb, których suma jest podzielna przez 3, np. wypisując je i zliczając:
A = 1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 2,7 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5 5,1 , 5,4 , 5,7 , 6,3 , 6,6 , 7,2 , 7,5 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
czyli A = 16
16
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
II sposób rozwiązania (metoda tabeli)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary a ,b liczb z podanego zbioru. Jest to model
( )
klasyczny. Tworzymy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu
1 2 3 4 5 6 7
1 X X
2 X X X
3 X X
4 X X
5 X X X
6 X X
7 X X
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: � = 72 .
Zliczamy oznaczone krzyżykami zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: A = 16 .
16
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy
" obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: � = 72 = 49
albo
" obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A = 16
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
16
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 21
Kryteria oceniania odpowiedzi
III sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie. Prawdopodobieństwo na każdym
1
odcinku tego drzewa jest równe .
7
1
1
7
1 1
1 1
7 1
7 7
7 7
7
3 4 5
7
2
6
1
1
1
7
7
2 5
3 6
1 4 7
1 4 7 2 5
3 6
2 5
1 1 16
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = 16�" �" = .
7 7 49
IV sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie i zapisujemy na nich
prawdopodobieństwo.
2
2
3
7
7
7
2,5
{ }
3,6 1, 4,7
{ } { }
2 2 3
7 7 7
3,6 1, 4,7
{ } { }
2,5
{ }
2 2 3 2 2 3 16
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P A = �" + �" + �" =
( )
7 7 7 7 7 7 47
22 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
" narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo
albo
" narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
16
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
Uwagi
1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P(A) > 1, to otrzymuje za całe
rozwiązanie 0 punktów.
2. Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie
obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 1 punkt.
3. Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np.
16 4
P(A) = = , to otrzymuje 2 punkty.
49 7
Zadanie 31. (0 4)
Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej
z okręgiem
I sposób rozwiązania
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy m prostej prostopadłej do prostej o równaniu
1
y = 2x - 3 : m =- .
2
Zapisujemy równanie prostej prostopadłej do stycznej i przechodzącej przez punkt S = 3,7 :
( )
1 17
y = - x + .
2 2
Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:
y = 2x
ż# - 3
�#
�# 1 17
�#y =- x + 2
�# 2
1 17
- x + = 2x - 3
2 2
23
x =
5
31
Stąd y = .
5
23 31
ś#
Zatem punkt styczności ma współrzędne: �# , .
ś# ź#
5 5
�# #
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 23
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej o równaniu
1
y = 2x - 3 , np. m =- .
2
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
y = 2x
ż# - 3
�#
Zapisanie układ równań
�# 1 17
�#y =- x + 2
�# 2
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np.
1 17 1 3 17
- x + = 2x - 3 lub y =- y - + .
2 2 4 4 2
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
23 31
ś#
Obliczenie współrzędnych punktu styczności: �# , .
ś# ź#
5 5
�# #
Uwaga
Jeśli zdający zapisał układ równań liniowych i odgadł jego rozwiązanie, to otrzymuje
4 punkty
II sposób rozwiązania
Obliczamy odległość d środka okręgu S = (3,7) od prostej y = 2x - 3 :
6 - 7 - 3
4
d == .
4 +1 5
Punkt P = (x, 2x - 3) jest punktem styczności okręgu o środku w punkcie S = (3,7)
i prostej y = 2x - 3 . Zatem PS = d oraz PS = (x - 3)2 + (2x -10)2 .
4 16
Przekształcamy równanie (x - 3)2 + (2x -10)2 = do postaci 5x2 - 46x +109 - = 0
5
5
4 23
Rozwiązujemy równanie 5x2 - 46x +105 = 0 , stąd x = .
5 5
23 31
�# ś#
Zatem punkt styczności ma współrzędne: P = , .
ś# ź#
5 5
�# #
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
6 - 7 - 3
4
" obliczenie odległości punktu S od danej prostej d ==
4 +1 5
albo
" zapisanie długości odcinka PS : PS = (x - 3)2 + (2x -10)2 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
y = 2x
ż# - 3
�#
Zapisanie układ równań, np.
�# 2
(x - 3)2 + y - 7 =
( )4
�#
5
�#
24 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt
4
Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. 5x2 - 46x +105 = 0
5
4
albo (x - 3)2 + (2x -10)2 = .
5
Rozwiązanie pełne..............................................................................................................4 pkt
23 31
ś#
Obliczenie współrzędnych punktu P styczności: �# , .
ś# ź#
5 5
�# #
III sposób rozwiązania
Punkt P = x, y jest punktem styczności okręgu o środku S = (3,7) i prostej y = 2x - 3 .
( )
ż# - 3)2 + (y - 7)2 = r2
(x
Zapisujemy układ równań:
�#
�#y = 2x - 3
Przekształcamy układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą x:
(x - 3)2 + (2x -10)2 = r2
5x2 - 46x +109 - r2 = 0 .
Zapisujemy warunek "= 0 , dla którego okrąg ma jeden punkt wspólny z prostą y = 2x - 3
i obliczamy r2 :
64 16
"=-64 + 20r2 , 20r2 - 64 = 0 , 20r2 = 64 , r2 = = .
20 5
Rozwiązujemy równanie:
16
5x2 - 46x +109 - = 0
5
4
5x2 - 46x +105 = 0
5
23
x = .
5
23 31
�# ś#
Zatem punkt styczności ma współrzędne: P = , .
ś# ź#
5 5
�# #
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania...........................................................................................................1 pkt
Zapisanie układu równań i warunku pozwalającego wyznaczyć promień okręgu:
ż# - 3)2 + (y - 7)2 = r2
(x
�#
�#y = 2x - 3
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt
Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą 5x2 - 46x +109 - r2 = 0 , zapisanie
16
warunku "= 0 i obliczenie r2 : r2 = .
5
Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt
4
Zapisanie równania kwadratowego, np. 5x2 - 46x +105 = 0 .
5
Rozwiązanie pełne..............................................................................................................4 pkt
23 31
�# ś#
Obliczenie współrzędnych punktu styczności: P = , .
ś# ź#
5 5
�# #
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 25
Kryteria oceniania odpowiedzi
Uwaga
Jeśli zdający popełnił błąd rachunkowy, przekształcając układ równań do równania
kwadratowego, rozwiązał to równanie i otrzymał dwa punkty styczności, to za całe
rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 32. (0 5)
Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego
z jedną niewiadomą
I sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y  liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem x�" y =112 .
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
wówczas zapisujemy równanie: x + 3 �" y -12 = 112 .
( ) ( )
ż#
�#x �" y =112
Zapisujemy układ równań, np.
�#
x + 3 �" y
( ) ( -12 =112
)
�#
�#
Z pierwszego równania wyznaczamy
112 112
y = x =
x y
podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy
�#ś#
112
x + 3
( )�#112 -12ś# = 112
+ 3ź# y -12 =112
( )
ś#ź#
ś#
x
y
�# #
�# #
Przekształcamy to równanie do równania
Przekształcamy to równanie do równania
kwadratowego, np. x2 + 3x - 28 = 0.
kwadratowego, np. y2 -12y - 448 = 0
"= 9 +112 = 121 = 112
"= 144 +1792 = 1936 = 442
-3-11
12 - 44
x1 == -7 sprzeczne z zał. x > 0
y1 = =-16 sprzeczne z zał. y > 0
2
2
-3+11
12 + 44
x2 == 4
y2 = = 28
2
2
112
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
Obliczamy y: y = = 28
4
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
II sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y  liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem x�" y =112 .
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
wówczas zapisujemy równanie: x + 3 �" y -12 = 112 .
( ) ( )
ż#
�#x �" y =112
Zapisujemy układ równań, np.
�#
x + 3 �" y
( ) ( -12 =112
)
�#
�#
x �" y = 112
ż#
Stąd otrzymujemy kolejno
�#x �" y -12x + 3y - 36 = 112
�#
26 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
x �" y = 112
ż#
�#112 -12x + 3y - 36 = 112
�#
x �" y = 112
ż#
�#
�#-12x + 3y - 36 = 0
W równaniu -12x + 3y - 36 = 0 obie strony dzielimy przez .
(-3
)
Otrzymujemy 4x - y +12 = 0 , stąd wyznaczamy
y = 4x +12 1
x = y - 3
4
podstawiamy do równania pierwszego i rozwiązujemy
x �" 4x +12 = 112 1
( ) �#
y - 3ś# �" y = 112
ś# ź#
4
�# #
4x2 +12x -112 = 0
1
x2 + 3x - 28 = 0
y2 - 3y -112 = 0
4
"= 9 +112 = 121 = 112
y2 -12y - 448 = 0
-3-11
x1 == -7 sprzeczne z zał. x > 0
2 "= 144 +1792 = 1936 = 442
-3+11 12 - 44
x2 == 4 y1 = =-16 sprzeczne z zał. y > 0
2 2
Obliczamy y: y = 4�"4 +12 = 28 12 + 44
y2 = = 28
2
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania ......................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie zależności między przebytą drogą, liczbą dni wędrówki oraz liczbą kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę, np.:
" x + 3 �" y -12 = 112
( ) ( )
albo
" x �" y =112 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .................................................................... 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y  odpowiednio: liczbą dni wędrówki i liczbą
ż#
�#x �" y =112
kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np.
�#
x + 3 �" y
( ) ( -12 =112
)
�#
�#
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:
�#ś#
112
x + 3
( )�#112 -12ś# =112 lub + 3ź# y -12 =112, lub x �" 4x +12 = 112 ,
( ) ( )
ś#ź# ś#
x y
�# #
�# #
1
�#
lub y - 3ś#�" y = 112
ś# ź#
4
�# #
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 27
Kryteria oceniania odpowiedzi
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt
" rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę
albo
" rozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę.
Rozwiązanie pełne ........................................................................................................... 5 pkt
Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.
III sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y  liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez
turystę. Liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę opisujemy równaniem
112
y = .
x
Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,
112 112
wówczas zapisujemy równanie: = +12 .
x x + 3
Przekształcamy to równanie do postaci x2 + 3x - 28 = 0.
-3-11
Rozwiązaniem równania są: x1 = =-7 sprzeczne z założeniem x > 0
2
-3+11
i x2 == 4
2
112
Obliczamy y: y = = 28
4
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt
Przyjęcie oznaczeń: x - liczba dni wędrówki, y  liczba kilometrów przebytych każdego dnia
przez turystę i zapisanie zależności, np.
112
" y =
x
albo
112
" y = +12 .
x + 3
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 3 pkt
112 112
Zapisanie równania z jedną niewiadomą: = +12 .
x x + 3
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt
" rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów
przebytych każdego dnia przez turystę
albo
" rozwiązanie równania z niewiadomą x błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, przy czym
obliczona liczba kilometrów musi być większa od 12.
28 Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy
Kryteria oceniania odpowiedzi
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt
Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.
Uwagi
1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający odgadnie liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i nie
uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.
Zadanie 33. (0 4)
Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie
Rozwiązanie
L
H
G
E
F
M
C
D
K
A B
2
2 1 2 5
�# ś#
Trójkąt ABK jest trójkątem prostokątnym, zatem AK = +1. Stąd AK = .
ś# ź#
2 4
�# #
2
2 2 2 1 5 3
�# ś#
Trójkąt MAK jest trójkątem prostokątnym, zatem MK = MA + AK = + = .
ś# ź#
2 4 2
�# #
Analogicznie dla trójkątów MEL i LGK obliczamy kwadraty długości boków ML i KL:
2 2 3
ML = KL = .
2
2 2 2
Ponieważ ML = KL = MK , więc trójkąt KLM jest równoboczny.
3
2
�" 3
MK 3
3
2
Zatem jego pole wyraża się wzorem P = , stąd P = = 3 .
4 4 8
Uwaga
Zdający nie musi obliczać kwadratów długości boków ML i KL. Wystarczy, że korzystając
z przystawania trójkątów MAK , MEL , LGK uzasadni równość boków: ML = KL = MK .
Egzamin maturalny z matematyki  poziom podstawowy 29
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
2 5
Obliczenie kwadratu długości odcinka AK : AK = .
4
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
" obliczenie kwadratów długości lub długości boków trójkąta KLM:
2 2 2 3 6
ML = KL = MK = lub ML = KL = MK = i na tym poprzestanie lub
2 2
dalej popełni błędy
albo
" zauważenie, że trójkąt KLM jest równoboczny i obliczenie kwadratu długości jednego
2 3
z boków tego trójkąta, np. MK = .
2
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
3
Obliczenie pola trójkąta KLM : P = 3 .
8
Uwaga
Akceptujemy rozwiązanie, w którym zdający przyjmuje, że długość krawędzi sześcianu jest
oznaczona literą l.