9414912329

Ponieważ A~^l ■ A = E_n i E_n - X = X, otrzymujemy

X = A~^l ■ B

Uwaga. W przypadku, gdy liczba niewiadomych n jest duża, obie przedstawione metody rozwiązania układu Cramera stają się mało przydatne, gdyż wymagają obliczenia (n+1) wyznaczników n-tego stopnia (wzory Cramera) lub (n²+l) wyznaczników stopnia co najmniej (n- 1) (metoda macierzowa).

Metoda eliminacji Gaussa

•    Załóżmy, że w układzie równań współczynnik ou / 0 (gdyby tak nie było, to można przenumerować równania układu w taki sposób,

aby w pierwszym z nich współczynnik przy niewiadomej aą był różny od 0).

•    Mnożymy kolejno pierwsze równanie przez: —— ,    , ^anI i dodajemy odpowiednio do:

On Ou    On

drugiego, trzeciego, ..., n-tego równania układu. W ten sposób eliminujemy (stąd nazwa metody) niewiadomą x\ ze wszystkich równań z wyjątkiem pierwszego i otrzymujemy nowy układ równań:

012^2	+ --	- + Oln*n
022*2	+ --	- +
0^*2	+ --	. + a^nx„

•    Z uzyskanym układem postępujemy podobnie: eliminujemy niewiadomą x₂,

•    a następnie kolejno - niewiadome x₃, ..., x„_i .Po (n - 1) krokach otrzymujemy układ równań:

{a u*i + ai₂X2 + -■- +    ai„x„ =    &i

0₂₂*2 + • • • +    0_2rjX_n =    6₂

A-i =

Jest on równoważny wyjściowemu układowi równań, tzn. oba układy mają ten sam zbiór rozwiązań.

• Z ostatniego równania układu (4.6) wyznaczamy niewiadomą x_n; otrzymaną wartość wstawiamy do przedostatniego równania - obliczamy x„_i itd. W ostatnim kroku obliczone wartości z₂, ..., x_n wstawiamy do pierwszego równania, skąd otrzymujemy wartość x_t i poszukiwane rozwiązanie układu.

Przykład 4. Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań: