9414913087

każdy wektor z E musi mieć postać

T		0'
1	x 1	7
0	+ a3-	4
.0.		.3.

Zadanie 14

Pokazać, że podprzestrzeń E rozpięta przez wektory vi, v₂, v₃, V4 postaci

	T		0		2		3"
Vi -	0 2	, v2 -	1	, v3 =	—i 1	, v4 =	0 4
	.i.		I-i.		. 0		,1.

zawiera wektory

	T'		2 '
	i		0
w, =	3	, oraz w2 =	2
	1.		1 — i.

oraz, że wektory wi, w₂, v₃, v₄ rozpinają tę samą podprzestrzeń E.

Odp.: Najpierw trzeba pokazać, że równania X\ Vi + £₂ v₂ + x₃ v₃ + x₄ v₄ = wj oraz 2/i vj + 2/2 v₂ + 2/3 v₃ + 2/4 v₄ = w₂ mają rozwiązania. Pierwsze daje układ równań

x\    + 2x₃ + 3xą — 1 ,

ix2 — ixz    = i ,

2xi + X2 + Xz + 4a:₄ = 3 , ix i + (1 — i)x2 + x₄ — 1 .

Z drugiego x₂ — x₃ = 1, czyli x₂ = 1 + x₃. To do pozostałych trzech, co da układ

X!    + 2x3 + 3x₄ = 1 ,

2x\    + 2x₃ + 4x₄ = 2 ,

ixi + (1 — i)x₃ + x₄ = i .

Od drugiego odjąć pierwsze: X\ = 1 — x₄. To do pierwszego i trzeciego

2(a:₃ + x₄) = 0 ,

(1-i)(x₃+ x₄) = i.

Czyli da się przedstawić W], z tym, że nie w sposób jednoznaczny. To oznacza, że same wektory Vi, v₂ v₃ i v₄ są liniowo zależne (czyli dimE < 4). Istotnie, widać, że v₄ =