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3    (L). Si l_f(A) = A_v A dB dC et A_} CC, il existe quatre ensembles: B_VD,D_X et E tels que:

(a) ĄC6,CC; (b) B = D + E, B_X=D_X + E; (c)D.E = = D_X.E = 0; (d) I_f(D) = D_v

Ce theoreme a ete applique pour obtenir une de demon-strations du th. 14 du § 1; on peut egalement en deduire le theoreme mentionne de M. Banach.

M. Lindenbaum a aussi etabli un thćoreme (4) corres-pondant par dualite a 3 et constituant une generalisation du theoreme 14 bis qui correspondait par dualite au th. 14 (du § 1):

4    (L). Si I_g (Cj) = C, AdBdC et AdC_v il existe quatre ensembles: B_v D, E et E_x tels que:

(a) ACLB_X CZCjj (b) B = D + E, B_l = D + E_l; (c)D.E = = D.E_X = 0; (d) I_g(E_l) = E.

Enfin, M. Tars ki a enonce le theoreme plus generał, cor-respondant au th. 15 du § 1 et contenant 3 et 4 comme deux cas particuliers:

5 (T). Si I_f(A) = A_v I_g(C_x) = C, AdBdC et A_xdC_u

il existe cinq ensembles: B_v D, D_v E et E_x tels que:

(a) A_x dB_]dC_x;(b)B = D + E,B_l = D_l + E_x;(c)D.E= = D_X.E_X = 0; (d) I_f(D) = D_x et l_g(E_x) = E.

Comme l’ont deja constate dans leurs notes citees MM. Banach et Kuratowski, quelques-uns de theoremes sur la relation de l’ćgalite des puissances peuvent etre etendus, grace aux lemmes sur les transformations biunivoques, a une vaste classe K de certaines relations entre les ensembles. Cette classe est formee de relations symetriques, transitives, transforman-tes (c.-a-d. jouissant de la propriete (a) au sens de M. Banach¹)) et additives (c.-a-d. jouissant de la proprete (^) de M. Banach¹')). En particulier, les theoremes 3 et 5 permettent d'etendre les theoremes 14 et 15 du § precedent a toutes les relations de la classe K. Toutefois, il y a plusieurs proprietes de la relation

^]) L. c., p. 238. -) L. c., p. 239.