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4 (T). Si les axiomes du systeme U sont compatibles, il faut et il suffit pour qu'il soit categorique uue 1'hypothese H⁹ (c'est-a-dire la negation de l'hypothese H) soit une consequence de ce systeme.

II semble donc tres douteux que le systeme U soit cate-gorique.

En terminant, il n’est peut-etre pas sans interet d’envisager le role des resultats de M. T a r s k i, qui viennent d’etre exposes, pour divers systemes de la Theorie des Ensembles. A la base des „Principia Matfrematica" ou de 1’Ontologie de M. Leśniewski, ces rćsultats permettent de resoudre le probleme suivant: quels postulats faudrait-il ajouter aux axiomes consideres pour qu’ils suffisent au developpement de rArithmetique Can-torienne des nombres ordinaux dans toute son etendue? Les axiomes II — IV donnent une reponse a cette question. La signification des recherches de M. Tars ki pour le systeme de MM. Zermelo-Fraenkel peut etre plutót methodologique; elles montrent qu^{1 2}apres avoir defini dans ce dernier systeme les nombres ordinaux et la relation    et demontre les theore-

mes pris plus haut comme axiomes du systeme U¹), la construc-tion ulterieure de rArithmetique des nombres ordinaux peut se passer sans notions et theoremes de la Theorie generale des, Ensembles. II est a noter d’autre part que les deux systemes, a sayoir le systeme U et celui de MM. Zermelo-Fraenkel, comportent les memes difficultes et problemes de naturę metho-dologique ^J); il semble cependant que Tetude de ces problemes dans le systeme U est plus commode a cause de sa structure plus simple.

§ 5. THeorie des ensembles de points.

Dans le t. 6 des „Fundamenta Matfrematicae"³), a paru le memoire de MM. Banach et Tarski „Sur la decomposi-tion des ensembles de points en parties respectivement con-

1

*) La possibilite d'une telle interpretation du systeme U a ete signa-lee plus haut (p. 325).

-) Cf. C. Kuratowski, Ann. Soc. Pol. Math. III, 1924, p. 146.

2

1924, _PP. 244-277.