1935182612

4

SPIS TREŚCI

1.    O G 2 oraz

2.    (Vn G w)n G z —> n + 1 € z,

Fakt 0.1.1 (Vn 6 N) n ^ O —> (3m G N) m + 1 = n.

Dowod. Pokażemy że Niech z = {0} U {n G N : (3m G N)n = m + 1}, oczywiście 0 G z, załózmy że n G z, to jest m G N taka że n = m + 1, więc n + 1 = (m + 1) + 1, stad n + 1 G z. Z zasady indukcji matematycznej wynika że N C z i dostajemy tezę. ■

Fakt 0.1.2 (Vn G N) -i(n = n + 1).

Dowod. Niech z = {n G N : ->(n — n + 1)}, to z pierwszego aksjomatu 0 G z, załóżmy że n G z, wtedy na podstawie aksjomatu 3 mamy n + 1 ^ (n + 1) + 1, więc n+lGzina podstawie aksjomatu 4 mamy N C z. Teza twierdzenia została udowodniona. I

W zbiorze liczb naturalnych możemy wprowadzić dodawanie i mnożenie. Wprowadzimy dwu-argumentowe działanie dodawania na zbiorze N w sposób następujący:

• (Vn G N) n + 0 = n,

•    (Vm, n G N) m + (n + 1) = (m + n) + 1. Podobnie definiujemy mnożenie:

•    (Vra G N) n ■ 0 = 0, • (Vm, n G N) m • (n + 1) = (m ■ n) + m.

Jako ćwiczenie, można udowodnić, że obydwa działania są łączne, przemienne oraz zachodzi prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Podamy parę przykładów w których wykorzystana zostanie zasada o indukcji matematycznej.

Przykład 0.1.1 Dla każdej liczby naturalnej n G N ma miejsce następująca równość:

n(n +1) 2

0 + 1 + 2 + .. .+n =

Niech będzie dany zbiór:

2 = {n G N :

0+1 + 2 + ... + n =

n(n + 1). 2 ''

Oczywiście 0 G 2. Niech teraz n G N, pokażemy, że n + 1 G z, co na mocy zasady indukcji matematycznej N C z. Wiec rozważmy wyrażenie 0 + 1 + 2 + ... + n + n + 1, to wtedy

0+1+2+. . .+7Z+71+1

n(n+ 1)    ^ _ n(n + 1) + 2(n + 1))

= 0+1+2+.. .+n

(n+ l)(n + 2)

2

co świadczy, że również n + 1 G 2. Tak więc N C z, więc mamy tezę.