1935182616

SPIS TREŚCI

0.2.1 Nierówności

Nierówności w analizie matematycznej odgrywają kluczową rolę, choćby przy zagadnieniach związanych z istnieniem granic ciągów czy też funkcji, badaniem monotoniczności ciągów i wiele wiele innych problemów.

Zdefiniujmy wartość bewzględną z liczby rzeczywistej w sposób następujący:

|x| = j

dla x > 0 —x dla x < 0.

Wtedy mamy następujące nierówności:

1.    (Vx e R) x < |x|,

2.    (Vx € R) 0 < |x|,

3.    (Vx,y € R) |x + y\ < |x| + |y|,

4.    (Vx,y € R) ||x| - \y\\ < \x-y\,

5.    (Vx, y, r G R) |x + y\ <r <—> x — r<y<x + r.

Ponadto, mamy |x| = ||x|| = | — x| oraz |x-y| = |x| • |y| dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y 6 ff Przykład 0.2.1 (Nierówność Bernouliego)

(Vx > —l)(Vn 6 N) (1 + x)ⁿ > 1 + n • x.

Udowodnimy tę nierówność stosując indukcję matematyczną. Dla n — 0 nierówność jest oczywista: (l+x)° = 1 > 1 = l + 0-x. Ustalmy teraz dowolną liczbę naturalną n€Ni załóżmy, że nierówność (a + x)ⁿ > 1 + n ■ x jest prawdziwa. Wtedy dla n + 1 € N mamy (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ • (1 + x) > (1 + nx)(l +x) = l + x + nx + x²>l + nx + x = l + (n-l-l)-x a stąd nierówność Bernouliego dla n + 1 też jest prawdziwa. Z zasady indukcji matematycznaj mamy więc że dla dowolnej liczby naturalnej n £ N ix > -1 mamy (1 + x)ⁿ > 1 + n • x, co należało dowieść.

Przykład 0.2.2 Stosując indukcję matematyczną, udowodnimy prawdziwość następującego zdania

(Vn G N \ {0})(Vxi,...x_n € (0,oo)) x\ ■ .    • x_n = 1 —t n < Xj + ... + x_n.

Dla n = 1 nierówność jest prawdziwa xi = 1 —> x\ > 1. Załóżmy że dla liczby naturalnej n G N prawdziwe jest zdanie

(Vxi,... x„ G (0, oo)) xi •

= 1 -

n < X] -