2852046712

2. Co każdy logik wiedzieć powinien ... 13

dwa zbiory: A = {1,21,35} oraz B = {21, 35, 1}; kolejność ustawienia elementów w zbiorze nie odgrywa tu roli.

Jeśli rozpatrujemy zbiory o skończonej liczbie elementów, dwa z nich mają szczególny charakter — zbiór uniwersalny i zbiór pusty. Zbiór uniwersalny to zbiór wszystkich przedmiotów. Na gruncie logiki formalnej podaje się następującą definicję zbioru uniwersalnego:

x £ V = x = x

czyli x należy do zbioru uniwersalnego wtedy, gdy x = x. Zauważmy, że warunek po prawej stronie równoważności jest spełniony przez każdy przedmiot, a to oznacza, że każdy przedmiot należy do zbioru uniwersalnego. Oczywiście w praktyce ograniczamy dziedzinę rozważań do jakiegoś podzbioru zbioru uniwersalnego (wskazywaliśmy na to omawiając kwantyfikatory o ograniczonym zakresie). Taki podzbiór nazywamy uniwersum lub dziedziną przedmiotową dyskursu. W podobny sposób definiuje się zbiór pusty (zbiór nie posiadający żadnych elementów) — podaje się mianowicie warunek, którego nie spełnia żaden przedmiot. Otrzymujemy definicję:

x £ 0 =~ (x = x)

Fakt dopuszczania zbiorów pustych w teorii zbiorów (i w teorii mnogości, która jest teorią zbiorów nieskończonych) wskazuje na różnicę między dystrybutywnym a kolektywnym znaczeniem słowa „zbiór”. Zbiory w sensie kolektywnym nie mogą być puste (bo są to całości w sensie fizycznym, czyli istności czaso-przestrzenne), nie mamy natomiast problemu z wyobrażeniem sobie dystrybutywnie rozumianego, pustego zbioru Polaków noblistów w dziedzinie ekonomii (do niego należałyby osoby narodowości polskiej, które otrzymały nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii. Takich osób aktualnie nie ma, ale opisaną własność bez popadnięcia w sprzeczność można rozważać).

Podstawowymi działaniami na zbiorach są: dodawanie, odejmowanie i mnożenie zbiorów oraz dopełnianie zbioru do uniwersum, a rezultatami tych działań są (odpowiednio) suma zbiorów, różnica zbiorów, iloczyn zbiorów i dopełnienie zbioru.

Definicja 3. Suma zbiorów A i B (oznaczana za pomocą symbolu A U B) jest to zbiór złożony z tych i tylko tych przedmiotów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B, czyli

A U B = {x : x £ AV £ Bj

a zatem

x £ A\J B = (x £ AW £ B)

Definicja 4. Iloczyn zbiorów A i B (oznaczany jako AC\B) jest to zbiór tych i tylko tych przedmiotów, które należą do zbioru A i należą do zbioru B, czyli

ADB = {x: x £ A A x £ B}

a zatem

x £ AC\ B = (x £ A Ax £ B)