Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
Wykład 33
33. Model atomu Bohra
33.1 Wstęp
Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, że
atomy zawierajÄ… elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).
Ponieważ w normalnych warunkach atomy są elektrycznie obojętne, a zatem muszą one
mieć ładunek dodatni równy ujemnemu.
Ponieważ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlżejszych nawet
atomów oznaczało ponadto, że ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.
Tego typu rozważania prowadziły do pytania, jak wygląda rozkład ładunków dodatnich
i ujemnych w atomie.
J. J. Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie nałado-
wane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru wypełnionego w sposób ciągły
Å‚adunkiem dodatnim ( ciasto z rodzynkami ).
A
adunek dodatni tworzył kulę o promieniu rzędu 10-10 m. W tej kuli ładunki ujemne
byłyby rozłożone równomiernie (w wyniku sił odpychania).
W atomie znajdującym się w stanie o najniższej energii elektrony były nieruchome. Na-
tomiast w atomach o wyższej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wysokiej
temperaturze) elektrony wykonywałyby drgania wokół położeń równowagi.
Uwaga: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej każde naładowane ciało poru-
szające się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne. Do-
wód wykracza poza ramy tego wykładu ale przypomnijmy sobie jeszcze raz antenę di-
polową. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje drgania ładunku (prąd zmienny)
i antena emituje falÄ™ elektromagnetycznÄ….
Tak więc drgający elektron wysyłałby promieniowanie i w ten sposób model Thomsona
wyjaśniał zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.
Jednak zgodności ilościowej z doświadczeniem nie uzyskano.
Ostateczny dowód nieadekwatności modelu Thomsona otrzymał w 1911 r. jego uczeń
E. Rutherford analizujÄ…c wyniki rozpraszania czÄ…stek Ä… na atomach.
Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, że ładunek dodatni nie jest roz-
łożony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym ją-
drem (o rozmiarze 10-14 m) leżącym w środku atomu.
Model jądrowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalazł potwierdzenie w sze-
regu doświadczeń.
Zgodnie z tym modelem:
33-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
" W środku atomu znajduje się jądro o masie w przybliżeniu równej masie całego
atomu,
" A
adunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i ładunku e,
" Wokół jądra znajduje się Z elektronów, tak że cały atom jest obojętny.
Ważnym problemem pozostaje wyjaśnienie zagadnienia stabilności takiego atomu.
Elektrony nie mogą być nieruchome bo w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zo-
stałyby do niego przyciągnięte i wtedy  wrócilibyśmy do modelu Thomsona. Jeżeli
dopuścimy ruch elektronów wokół jądra (tak jak planety wokół Słońca w układzie sło-
necznym) to też natrafiamy na trudność interpretacyjną. Krążący elektron doznaje stale
przyspieszenia (dośrodkowego) i zgodnie z elektrodynamiką klasyczną wysyła energię
kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, że poruszałby się po spirali osta-
tecznie spadajÄ…c na jÄ…dro (model Thomsona).
Problem stabilności atomów doprowadził do powstania nowego modelu zaproponowa-
nego przez N. Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, że umożliwiał przewi-
dywanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy.
Najpierw omówimy więc podstawowe cechy tych widm.
33.2 Widma atomowe
Na rysunku przedstawiony jest typowy układ do pomiaru widm atomowych.
y
ródłem promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wy-
Å‚adowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelinÄ™ kolimujÄ…cÄ…, a na-
stępnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozkłada promieniowanie na
składowe o różnych długościach fal.
Na kliszy fotograficznej uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm.
W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego np. przez powierzchnie ciał ogrza-
nych do wysokich temperatur, promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy zawie-
ra tylko pewną liczbę długości fal. Każda z takich składowych długości fal nazywana
jest liniÄ… (bo taki jest obraz szczeliny).
Na rysunku na następnej stronie pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru.
33-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
360 400 440 480 520 560 600 640 680
 (nm)
To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego mo-
delu atomu. Model ten chociaż posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w spo-
sób prosty matematycznie.
33.3 Model Bohra atomu wodoru
Jak już mówiliśmy fizyka klasyczna przewidywała, że atom krążący po orbicie bę-
dzie wypromieniowywał energię, tak że częstość elektronu a za tym także częstość wy-
syłanego promieniowania będzie się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwu-
jemy bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).
Bohr uniknął tej trudności zakładając, że podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo
atom wodoru może znajdować się w ściśle określonych stanach energetycznych, w któ-
rych nie wypromieniowuje energii. Emisja następuje tylko wtedy gdy atom przechodzi
z jednego stanu o energii Ek do stanu o niższej energii Ej. Ujmując to w postaci równa-
nia
Ek  Ej = hv (33.1)
gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przejścia
wypromieniowany przez atom.
Teraz konieczna jest znajomość energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczając moż-
liwe różnice energii będziemy mogli przewidzieć wygląd widma promieniowania emi-
towanego przez atom.
Założenia:
" elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w miejscu ją-
dra,
" jądro (pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem
protonu.
KorzystajÄ…c z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy
F = ma
albo
2
1 e2 v
= m (33.2)
2
4Ä„µ0 r r
33-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
Uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujem-
nym elektronem zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. Czy słusznie?
Przykład 1
Obliczyć stosunek sił przyciągania grawitacyjnego do elektrostatycznego dla protonu i
elektronu w atomie wodoru. Masa elektronu me = 9.1·10-31 kg, masa protonu mp =
1.7·10-27 kg, Å‚adunek elementarny e = 1.6·10-19 C staÅ‚a grawitacyjna G = 6.67·10-11
Nm2/kg2, a staÅ‚a w prawie Coulomba 1/4Ä„µ0 = 8.99·109 Nm2/C2.
2
mpme
FG Gmpme 4Ä„µ0r
= = 4Ä„µ0G H" 5 Å"10-39
2
FE r e2 e2
Siła grawitacyjna jest całkowicie do zaniedbania.
Wzór (33.2) pozwala obliczyć energię kinetyczną
1 e2
2
Ek = mv = (33.3)
2 8Ä„µ0r
Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem
e2
Ep = - (33.4)
4Ä„µ0r
Całkowita energia układu wynosi
e2
E = Ek + Ep = - (33.5)
8Ä„µ0r
Ponieważ, promień orbity może przyjmować dowolną wartość więc i energia też może
być dowolna. Ze wzoru (33.3) możemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu
e2
v =
4Ä„µ0mr
a następnie częstotliwość
v e2
v0 = =
3
2Ä„r 16Ä„ µ0mr3
Pęd dany jest równaniem
33-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
me2
p = mv =
4Ä„µ0r
a moment pędu
me2r
L = pr = (33.6)
4Ä„µ0
Tak więc, jeżeli jest dane r, to znane są również parametry orbitalne: Ek, Ep, E, v, v0, p,
oraz L.
Jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwan-
towane.
Na tym etapie Bohr nie miał żadnych zasad, którymi mógłby się posłużyć.
W związku z tym wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parame-
trów orbity i zastosował ją do momentu pędu L.
Postulaty Bohra były następujące:
1. Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciągania ku-
lombowskiego pomiędzy elektronem i jądrem i ruch ten podlega prawom mechaniki
klasycznej.
2. Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki kla-
sycznej, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których moment
pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2Ą.
h
L = n n = 1, 2, 3,..... (33.7)
2Ä„
gdzie stała n oznacza liczbę kwantową. (Zwróćmy uwagę, że ponownie tak jak przy
opisie ciała doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, poja-
wia się stała Plancka h.)
3. Pomimo, że elektron doznaje przyspieszenia (poruszając się po takiej orbicie), to
jednak nie wypromieniowuje energii. A zatem jego całkowita energia pozostaje stała.
4. Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wysłane gdy elektron poruszają-
cy się po orbicie o całkowitej energii Ej zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza
się następnie po orbicie o energii Ek. Częstotliwość emitowanego promieniowania
jest równa
E - Ek
j
v = (33.8)
h
Uwaga: To jest postulat Einsteina głoszący, że częstotliwość fotonu promieniowania
elektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.
Drugi postulat opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale jak już mówiliśmy jeżeli ja-
kakolwiek z wielkości: Ek, Ep, E, v, v0, p, i L jest skwantowana, to wszystkie muszą być
skwantowane.
A
ącząc równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy
33-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
h2µ0
r = n2 = n2 r1 n = 1, 2, 3,......... (33.9)
Ä„me2
Widzimy jak skwantowane jest r. Podstawienie tego równanie do wyrażenia na energię
całkowitą (33.5) daje
me4 E1
E = - = n = 1, 2, 3, ....... (33.10)
2
8µ0 h2n2 n2
Z tego równania otrzymujemy wartości energii dozwolonych stanów stacjonarych.
Stan n = " odpowiada stanowi E = 0, w którym elektron jest całkowicie usunięty poza
atom.
Na rysunku poniżej są pokazane wybrane przeskoki między różnymi stanami stacjonar-
nymi.
n
"
6
5
4
seria Paschena3
2
seria Balmera
1
seria Lymana
Długość każdej ze strzałek jest równa różnicy energii między dwoma stanami stacjo-
narnymi czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Częstotliwość emitowa-
nego promieniowania można obliczyć korzystając z postulatu Bohra dotyczącego czę-
stotliwości promieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energię (33.7)
ëÅ‚
me4 ìÅ‚ 1 1 öÅ‚
v = - ÷Å‚
(33.11)
2 2 ÷Å‚
8µ0 h3 ìÅ‚ j2 k
íÅ‚ Å‚Å‚
33-6
granica serii
granica serii
granica serii
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji
gdzie j, k są liczbami kwantowymi opisującymi niższy i wyższy stan stacjonarny.
Na gruncie modelu Bohra można łatwo zrozumieć własności widm emisyjnych atomów
jednoelektronowych. Można również zrozumieć widma absorpcyjne. Ponieważ elektron
musi mieć w atomie energię całkowitą równą jednej z energii dozwolonych (stanu sta-
cjonarnego) więc z padającego promieniowania może on absorbować tylko określone
porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów hv musi być równa różnicy
pomiędzy energiami dozwolonych stanów tak więc linie widma absorpcyjnego mają te
same częstotliwości (długości fal) co linie widma emisyjnego.
Na początku atom jest w stanie podstawowym n = 1 więc procesy absorpcji odpowiada-
ją serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach atomy będą już w stanie n = 2
i możemy obserwować linie absorpcyjne serii Balmera (widzialne).
33-7