7. Istnienie i jednoznaczność przedłużenia miar  rozwiązania
Ćw. 7.1 Mamy udowodnić, że dla dowolnych (a1, b1], (a2, b2], . . . , takich, że
" "

(ai, bi] )" (aj, bj] = " dla i = j oraz (ai, bi] " R (tzn. (ai, bi] = (a, b]),

i=1 i=1
mamy:

" "

l (ai, bi] = l(ai, bi].
i=1 i=1
Zauważmy, że lewa strona równości jest równa

"

l (ai, bi] = l((a, b]) = b - a.
i=1
Będziemy teraz rozważać prawą stronę.
n
Załóżmy najpierw, że rozważamy sumę skończoną, tzn. (a, b] = (ai, bi]. Możemy
i=1
przyjąć a = a1, b1 = a2, . . . , bn-1 = an, bn = b. Wtedy
n n

l(ai, bi] = (bi - ai) = bn - a1 = b - a.
i=1 i=1
"
b-a
Niech teraz (a, b] = (ai, bi]. Niech 0 < µ < . Wówczas
i=1
2
" " "

µ µ
(a + µ, b] ‚" [a + µ, b] ‚" (a, b] = (ai, bi] Ä…" (ai, bi + ) Ä…" (ai, bi + ].
2i 2i
i=1 i=1 i=1
µ
Z pokrycia otwartego {(ai, bi + )i"N} zbioru zwartego [a + µ, b] można wybrać po-
2i
krycie skończone. Mamy zatem
n "

µ
b - a - µ (bi + - ai) (bi - ai) + µ,
2i
i=1 i=1
a więc
"

b - a (bi - ai) + 2µ.
i=1
Z dowolnoÅ›ci µ mamy
"

b - a (bi - ai).
i=1
Z drugiej strony oczywiście dla każdego n
n

(bi - ai) b - a.
i=1
Ćw. 7.2 1. Nie. Wez
my A = {2, 3, . . . , 8}, B = {6, 7, 8}. Wtedy B ‚" A, ale
8 + 6 8 + 2
µ"(B) = = 7, µ"(A) = = 5,
2 2
czyli µ"(B) > µ"(A).
2. Nie. Wez
my A = {1, 2}, B = {5, 6}. Wtedy
6 - 1 5 2 - 1 6 - 5
µ"(A *" B) = = , µ"(A) + µ"(B) = + = 1,
2 2 2 2
czyli µ"(A *" B) > µ"(A) + µ"(B).
Ćw. 7.3 Sprawdzamy warunki  bycia miarą zewnętrzną :
1. µ"(") = sup " = 0,
2. A ‚" B Ò! sup A sup B Ò! µ"(A) µ"(B),
" " "
3. Mamy pokazać, że sup( Ai) sup Ai. Jeśli sup Ai = +", to nie-
i=1 i=1 i=1
równość jest oczywista. W przeciwnym wypadku istnieją i1, . . . , in, dla których
0 < sup Ai < ", a dla pozostałe zbiory są puste. Wtedy z własności kresu
k
górnego

sup( Ai) sup Ai.
i1,...,in i1,...,ik
Sprawdzamy mierzalność {0}. Niech E będzie dowolnym podzbiorem N*"{0}. Wtedy,
jeśli 0 " E, to
/
µ"(E )" {0}) + µ"(E )" {1, 2, . . .}) = sup " + sup(E) = µ"(E),
jeśli natomiast 0 " E, to
µ"(E )" {0}) + µ"(E )" {1, 2, . . .}) = sup({0}) + sup(E \ {0}) = µ"(E).
Zbiór {1} nie jest mierzalny, bowiem dla E = {1, 2} mamy
µ"({1, 2} )" {1}) + µ"({1, 2} )" {0, 2, 3, . . .}) = µ"({1}) + µ"({2}) = 3 > µ"({1, 2}).
Ćw. 7.4 Wyznaczamy wartoÅ›ci ·":
·"(") = 0, ·"({1}) = 2, ·"({2}) = 4, ·"({3}) = 3,
·"({1, 2}) = 6, ·"({1, 3}) = 3, ·"({2, 3}) = 4, ·"({1, 2, 3}) = 6.
Zbiór {1} nie jest mierzalny, bowiem dla E = {1, 3} mamy:
·"({1, 3} )" {1}) + ·"({1, 3} )" {2, 3}) = ·"({1}) + ·"({3}) = 2 + 3 = 3 = ·"({1, 3}).

Ponieważ zbiory ·"-mierzalne tworzÄ… Ã-algebrÄ™, nie może być mierzalny także zbiór
{1} = {2, 3}.
Analogicznie pokazujemy, że mierzalne nie są zbiory {2} i {3}, a więc także {1, 3}
i {1, 2}.
" "
Mamy wiÄ™c, że F· = {", {1, 2, 3}} (te zbiory sÄ… mierzalne, bo F· jest Ã-algebrÄ…).
Ćw. 7.5 Jeśli (ai, bi)i"N jest pokryciem pewnego zbioru, to (ai, bi]i"N też jest pokryciem
tego zbioru. StÄ…d

inf{ ·1(ai, bi)} inf{ ·2(ai, bi]}.
i"N i"N
µ
Jeśli natomiast (ai, bi]i"N jest pokryciem pewnego zbioru, to (ai, bi + )i"N też jest
2i
pokryciem tego zbioru oraz

µ
·1((ai, bi + )) = ·2((ai, bi]) + µ.
2i
i"N i"N
StÄ…d

inf{ ·1((ai, bi))} inf{ ·2((ai, bi])} + µ.
i"N i"N
Z dowolnoÅ›ci µ i po uwzglÄ™dnieniu pierwszej nierównoÅ›ci, otrzymujemy równość.
Ćw. 7.6 Niech ›1, ›2 bÄ™dÄ… -ukÅ‚adami. Sprawdzamy, czy ich przekrój jest -ukÅ‚adem.
1. " " ›1 i " " ›2 wiÄ™c " " ›1 )" ›2,
2. A, B " ›1 )" ›2 i A ‚" B, to B \ A " ›1 i B \ A " ›2, a wiÄ™c B \ A " ›1 )" ›2,
" "
3. A1, A2, . . . " ›1 )"›2, Ai )" Aj = " dla i = j, to Ai " ›1 oraz Ai " ›2,

i=1 i=1
"
a wiÄ™c Ai " ›1 )" ›2.
i=1
Ćw. 7.7 Niech F bÄ™dzie Ã-algebrÄ…. OczywiÅ›cie " " F. JeÅ›li A, B " F i A ‚" B, to
B \ A = B )" A " F. F zawiera także wszystkie przeliczalne sumy swoich elementów,
wiÄ™c w szczególnoÅ›ci sumy elementów rozÅ‚Ä…cznych. Dowodzi to, że każda Ã-algebra
jest -układem. Odwrotnie być nie musi (patrz rozwiązanie kolejnego zadania).
Ćw. 7.8 Niech &! = {1, 2, 3, 4}.
A = {", &!, {1, 2}, {3, 4}, {2, 3}, {1, 4}}
jest -ukÅ‚adem, a nie jest Ã-algebrÄ….