7. Istnienie i jednoznaczność przedłużenia miar
Ćw. 7.1 (*) Udowodnij, że funkcja l((a, b]) = b - a jest Ã-addytywna na
R = {(a, b]; a, b " R, a < b} *" {"}.
Ćw. 7.2 Niech &! = N. Sprawdz
, czy µ" : 2&! R+ okreÅ›lone wzorem:
sup A + inf A
1. µ"(A) = ,
2
sup A - inf A
2. µ"(A) = ,
2
jest miarą zewnętrzną (przyjmujemy, że sup " = inf " = 0).
Ćw. 7.3 Na 2N*"{0} okreÅ›lamy funkcjÄ™ µ" wzorem:
µ"(A) = sup A
(przyjmujemy, że sup " = 0). Czy µ" jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ… i czy zbiory {0} oraz {1}
sÄ… mierzalne wzglÄ™dem µ"?
Ćw. 7.4 Niech
&! = {1, 2, 3}, C = {{1}, {2, 3}, {1, 3}, "}.
Definiujemy · : C R+:
·({1}) = 2, ·({2, 3}) = 4, ·({1, 3}) = 3, ·(") = 0.
Tworzymy miarę zewnętrzną wzorem:
" "

·"(A) = inf{ ·(Ci); A ‚" Ci, Ci " C}.
n=1 n=1
"
Które zbiory należą do F· ?
Ćw. 7.5 Niech &! = R,
C1 = {(a, b); a, b " R}, C2 = {(a, b]; a, b " R}.
Definiujemy
·1 : C1 R+, ·1((a, b)) = b - a,
·2 : C2 R+, ·2((a, b]) = b - a,
" "
i tworzymy odpowiadajÄ…ce im miary zewnÄ™trzne ·1 i ·2. Udowodnij, że
" "
"A‚"R ·1(A) = ·2(A).
Ćw. 7.6 Udowodnij, że jeżeli ›1, ›2 sÄ… -ukÅ‚adami, to ›1 )" ›2 też jest -ukÅ‚adem.
Ćw. 7.7 Uzasadnij, że każda Ã-algebra jest -ukÅ‚adem. Czy każda algebra jest -ukÅ‚adem?
Ćw. 7.8 Czy jeÅ›li -ukÅ‚ad zawiera &!, to jest Ã-algebrÄ…?