NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
MIARA A
UKOWA K
TÓW
Nie dość, że funkcje trygonometryczne są trudne same w sobie, to zabawę z trygonometrią
komplikuje się jeszcze bardziej i każe się zamiast stopni pisać radiany. Są jednak ku temu
poważne powody i zanim powiemy jak dokładnie się definiuje radiany, spróbujmy wyjaśnić
po co siÄ™ je wprowadza.
Historia funkcji trygonometrycznych
Pierwsza obserwacja jest taka, że definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prosto-
kątnym pozwalają mówić tylko o funkcjach kątów ostrych. To jest za mało. Nawet jeżeli
chcemy się zajmować tylko trójkątami, to przecież kąty w trójkącie mogą być rozwarte, a
chcielibyśmy mieć twierdzenia sinusów czy cosinusów dla dowolnych trójkątów. Jak się
jeszcze chwilę zastanowimy to w czworokątach, które nie są wypukłe, kąty mogą być do-
wolnie bliskie 360ć%, więc potrzebujemy mieć funkcje trygonometryczne dowolnych kątów z
przedziału 0ć%, 360ć% .
Jak się jeszcze trochę pobawimy funkcjami trygonometrycznymi, to odkrywamy różne
wzory np.
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x.
Jeżeli jednak umiemy liczyć funkcje trygonometryczne tylko w przedziale 0ć%, 360ć% , to ma-
my dziwną sytuację, bo np. dla x = y = 30ć% wzór jest OK, ale dla x = y = 200ć% jest z
le, bo z
lewej strony wychodzimy poza dziedzinÄ™ sinusa.
Kątowi 200ć% + 200ć% można jednak nadać interpretację geometryczną  jeżeli myślimy o
ramieniu zaczepionym w punkcie O i obracającym się najpierw o 200ć%, a potem jeszcze raz o
200ć%, to powinno być jasne, że jest to to samo, co jeden obrót tego ramienia o 400ć% - 360ć% =
40ć%. W ten sposób dochodzimy do tego, żeby zdefiniować
sin 400ć% = sin 40ć%.
I tak dalej. W ten sposób definiujemy funkcje trygonometryczne dla dowolnych kątów.
Liczby zamiast stopni
Powyższe definicje funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów mają jednak zasadniczą
wadÄ™: argumenty tych funkcji (to co do nich wstawiamy) nie sÄ… liczbami, tylko sÄ… liczbami
z mianem (są to wielokrotności jednostki 1ć%). Np. nie ma sensu pytać się czy 30ć% > 5, albo
liczyć (30ć%)2 (można za to policzyć 30 · 30ć% = 900ć%). To jest duży problem, bo w ten sposób
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
nie możemy robić z funkcjami trygonometrycznymi tego, co robimy z innymi funkcjami, na
przykład nie mają sensu wyrażenia postaci
sin(x2)
sin(cos(x)).
Pierwsze wyrażenie nie ma sensu, bo nie możemy mnożyć kątów przez siebie, a drugie bo
do sinusa mamy wstawiać kąty, a nie liczby. Mówiąc jeszcze inaczej, chcemy myśleć o funkcji
jak o maszynce, która zamienia liczby na liczby, a nie stopnie na liczby.
Aby rozwiązać ten problem, zamienia się kąty na liczby  i to są właśnie radiany, lub jak
ktoÅ› woli miara Å‚ukowa.
Definicja miary Å‚ukowej
Jak przyporządkować kątowi liczbę?  pomysł jest prosty: bierzemy okrąg jednostkowy (o
promieniu długości 1), umieszczamy wierzchołek kąta w środku okręgu i patrzymy jaka jest
długość łuku okręgu wyciętego przez ten kąt. Ponieważ cały okrąg jednostkowy ma długość
2Ä„, to
360ć% = 2Ą
180ć% = Ą
2Ä„ Ä„
90ć% = = ,
4 2
i tak dalej. Dla kątów spoza przedziału 0ć%, 360ć% , wygodnie jest myśleć o długości łuku jaki
zakreśla promień okręgu obracający się o dany kąt. Np. promień po obrocie o 720ć% dwa razy
odjedzie okrąg, więc 720ć% = 4Ą.
Ogólnie mamy wzór
2Ä„ Ä„
1ć% = =
360 180
czyli
n
nć% = Ą.
180
Ujemne kÄ…ty
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
We wcześniejszej opowieści o definiowaniu funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów
pozostała istotna luka: nie powiedzieliśmy jak definiować funkcje trygonometryczne kątów
ujemnych. A co to sÄ… kÄ…ty ujemne?  hm, tak naprawdÄ™ takich nie ma, musimy je dopiero
wymyślić.
Jaką interpretację nadać kątowi -40ć%?  odpowiedz
jest prosta, ma to być taki kąt, żeby
40ć% + (-40)ć% = 0ć%.
Jak coś takiego zrobić?  żaden problem: jeżeli myślimy o kącie 40ć% jako o kącie zakreślonym
przez obracające się ramię zaczepione w punkcie O, to definiujemy kąt -40ć% tak samo, ale
ramię ma się kręcić w drugą stronę. Jak dodamy do siebie takie kąty, to ramię najpierw
obraca się o 40ć%, potem obraca się o ten sam kąt w drugą stronę, czyli w sumie nic się nie
zmienia  wychodzi kąt 0ć%.
W ten sposób otrzymujemy definicję kątów zorientowanych, czyli takich, które mogą
być dodatnie lub ujemne. Zauważmy, że tak naprawdę obu kątom 40ć% i -40ć% odpowiada
ten sam kąt niezorientowany, czyli kawałek płaszczyzny między ramionami kąta.
Różnica między kątami zorientowanymi i niezorientowanymi jest dokładnie taka sama
jak różnica między odcinkami, a wektorami: wektor to odcinek, w którym wyróżniono jeden
z końców (początek wektora); podobnie kąt zorientowany to kąt, w którym wyróżniono
jedno z ramion (poczÄ…tkowe ramiÄ™ kÄ…ta).
No to już sobie wyjaśniliśmy, co to są ujemne kąty, ale wciąż nie powiedzieliśmy jak
zdefiniować sin(-40ć%). Aby to zrobić, zauważmy, że ramię obrócone o kąt -40ć% ląduje do-
kładnie w tym samym miejscu co ramię obrócone o 360ć% - 40ć% = 320ć%. Definiujemy więc
sin(-40ć%) = sin 320ć%.
Orientacja płaszczyzny
Kilka razy mówiliśmy już o obracaniu się promienia/półprostej o kąt. Jednak na płaszczyz
-
nie możemy kręcić się w dwie strony: zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie.
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Aby mówić o kątach zorientowanych trzeba się umówić, który obrót ma być dodatni, a któ-
ry ujemny. Ta umowa to tak zwany wybór orientacji płaszczyzny. Standardowo umawiamy
się, że obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest dodatni, a obrót zgodny z ruchem
wskazówek zegara jest ujemny. Oczywiście to tylko umowa, równie dobrze można by umó-
wić się przeciwnie (czyli wybrać inną orientację płaszczyzny).
Podoba Ci siÄ™ ten poradnik?
Zadania.info
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
TIPS & TRICKS
1
Podanego wzoru
n
nć% = Ą
180
nie warto się uczyć na pamięć. Wystarczy zapamiętać, że Ą = 180ć% i wyliczać interesujący
nas kÄ…t z proporcji.
5
Zamieńmy kąt Ą na stopnie.
12
Mamy proporcjÄ™
5
Ä„
x 5
12
= Ò! x = · 180ć% = 75ć%.
180ć% Ą 12
2
Tak naprawdę w zadaniach szkolnych w kółko przewija się tylko kilka kątów:
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
30ć% = , 45ć% = , 60ć% = , 90ć% = .
6 4 3 2
Jeżeli uda nam się zapamiętać te wartości (co tak czy inaczej się stanie, jeżeli będziemy roz-
wiązywać zadania z trygonometrii), to bez trudu będziemy wtedy identyfikować wielokrot-
ności tych kątów, np.
2Ä„ 5Ä„ 3Ä„
120ć% = , 150ć% = , 270ć% = .
3 6 2
3
Miarę łukową możemy również liczyć, jeżeli mamy kąt umieszczony w okręgu o dowolnym
promieniu r  wtedy wystarczy popatrzeć jaką część długości całego okręgu on wycina.
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Obliczmy miarę kąta środkowego w okręgu o promieniu 5, który wycina z tego
okręgu łuk długości Ą.
1
Cały okrąg ma długość 10Ą, zatem dany kąt stanowi kąta pełnego, czyli ma
10
miarÄ™ Å‚ukowÄ…
1 Ä„
· 2Ä„ = .
10 5
4
Czasami wygodnie jest wyznaczać miarę łukową kąta środkowego patrząc nie na długość
łuku jaki on wycina, ale sprawdzając jaką część pola wycina on z całego koła.
Obliczmy miarę łukową kąta środkowego w okręgu o promieniu 3, dla którego
odpowiadający wycinek kołowy ma pole 9.
1
Pole całego koła jest równe 9Ą, zatem dany kąt stanowi kąta pełnego, czyli jego
Ä„
miara łukowa jest równa
1
· 2Ä„ = 2.
Ä„
5
Warto pamiętać, że miara kąta wpisanego w okrąg jest dwa razy mniejsza od miary kąta
środkowego opartego na tym samym łuku.
Obliczmy miarę kąta wpisanego w okrąg o promieniu 5 opartego na łuku długości
9Ä„.
Cały okrąg ma długość 10Ą, zatem kąt środkowy oparty na danym łuku ma miarę
Å‚ukowÄ…:
9 9
· 2Ä„ = Ä„.
10 5
9
Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy, więc ma miarę Ą.
10
6
Nie należy zapominać, że miary kątów w radianach to prawdziwe liczby (w końcu o to
chodziÅ‚o!), wiÄ™c Ä„ H" 3, 1415 · · · itd.
Oblicz tg |1 - |Ä„ - 1||.
4
Liczymy
Ä„ Ä„ Ä„
tg 1 - - 1 = tg 1 + - 1 = tg = tg 45ć% = 1.
4 4 4
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Rozwiążmy równanie |Ą - sin x| = 2
Ponieważ Ą > 2 > sin x to możemy opuścić wartość bezwzględną:
Ä„ - sin x = 2 Ð!Ò! sin x = Ä„ - 2.
To jednak nie jest możliwe, bo prawa strona jest większa od 1, czyli równanie jest
sprzeczne.
7
Wprawdzie większość kątów, które przewijają się przez zadania szkolne ma w sobie Ą, ale
oczywiście każda liczba rzeczywista wyznacza dokładnie jeden kąt.
"
Jak wyobrazić sobie kąt o mierze 2?
"
Przesuwamy wzdłuż okręgu jednostkowego punkt o 2. Kąt jaki zakre-
śli odcinek łączący ten punkt ze środkiem okręgu to dokładnie kąt o mie-
"
rze łukowej 2. Oczywiście to przesuwanie możemy sobie tylko wyobrazić
 raczej nie uda nam się tego wykonać tego przy pomocy cyrkla i linijki.
1
2
2
O
1
8
Dlaczego zamieniając miarę kątów w stopniach na liczby (motywacja do wprowadzenia
radianów) nie mogliśmy po prostu odrzucić stopni i mówić, że 360ć% to 360? Szczerze mówiąc
mogliśmy, ale to jest gorsze niż radiany. Aby to wyjaśnić, musimy sobie uświadomić, co
oznaczajÄ… liczby bez miana (bez jednostki). To jest trudny moment i historycznie pozbycie
się jednostek zmieniło oblicze matematyki. Ustalamy, że wiemy co znaczy 1  powiedzmy,
że jest to długość jednostkowego odcinka na płaszczyz
nie, np. długości 1cm. Jest jasne co
w takiej sytuacji oznacza dodawanie i odejmowanie liczb. Kłopot zaczyna się z mnożeniem.
Możemy o nim myÅ›leć na trzy sposoby. O 3 · 5 można myÅ›leć tak: że trzy razy bierzemy
odcinek dÅ‚ugoÅ›ci 5 (czyli 3 · 5cm), że 5 razy bierzemy odcinek dÅ‚ugoÅ›ci 3 (czyli 3cm · 5), lub
że liczymy pole prostokÄ…ta o bokach 3 i 5 (czyli 3cm · 5cm). Tak siÄ™ szczęśliwie skÅ‚ada, że za
każdym razem wychodzi to samo i dlatego piszemy 3 · 5 = 15 nie przejmujÄ…c siÄ™ co ten napis
oznacza. DziÄ™ki temu ma np. sens dziaÅ‚anie 2 + 3 · 5 i nie musimy siÄ™ zastanawiać czy to
przypadkiem nie jest dodawanie odcinka do prostokąta. Nie ma też kłopotów z interpretacją
wyrażenia 3 · 3 · 3 · 3 · 3, do którego jednostki możemy już dopisać na wiele sposobów.
No to wracamy do radianów. Ustaliliśmy już, że na płaszczyz
nie jest ustalona jednostka
(np. 1cm). Miara w stopniach zupełnie tę jednostkę ignoruje: 30ć% oznacza dokładnie to sa-
mo, gdy jednostką jest 1cm i gdy jednostką jest 1m. W takim razie, zamienienie 30ć% 30
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
jest lekko bez sensu: 30ć% i 30 (wielokrotność jednostki) nie mają ze sobą nic wspólnego, np.
otrzymana w ten sposób nierówność 30ć% = 30 > 28 nie ma żadnej interpretacji geometrycz-
nej, liczby po obu stronach pochodzą z zupełnie innych światów.
Inaczej jest z radianami. Przyporządkowanie kątowi długości łuku jaki on wycina z okrę-
gu jednostkowego jak najbardziej uwzględnia przyjętą na płaszczyz
nie jednostkę  można
powiedzieć, że jest to mierzenie kątów tą samą miarką, którą mierzymy długości odcinków.
Z pewnością powyższy komentarz nie jest łatwy do zrozumienia (szczególnie przy pierw-
szym czytaniu), ale powinien co najmniej zostawić wrażenie, że są ważne powody wyższo-
ści radianów nad stopniami.
9
Podobnie jak dla kątów na płaszczyz
nie, można próbować mierzyć kąty bryłowe (prze-
strzenne) polem powierzchni jaki ma obszar wycięty przez nie ze sfery o promieniu 1. Tu
jednak sytuacja jest bardziej skomplikowana i taka miara nie jest aż tak użyteczna jak miara
łukowa na płaszczyz
nie. Powód jest taki, że jeżeli chcemy, żeby miara jednoznacznie wyzna-
czała kąt z dokładnością do przesunięcia i obrotu, to musimy się ograniczyć do okrągłych
kątów jakie tworzą stożki. Jednak najciekawsze kąty przestrzenne to kąty wielościenne (ta-
kie jak otoczenie wierzchołka ostrosłupa). Takie kąty na ogół mierzy się miarami kątów pła-
skich pomiędzy tworzącymi go półprostymi.
Materiał pobrany z serwisu
7