KATEDRA TECHNIK WYTWARZANIA I AUTOMATYZACJI
Przedmiot:
Miernictwo i systemy pomiarowe
Numer ćwiczenia:
Instrukcja do ćwiczenia:
Pomiar kątów i stożków
4
1. Cel ćwiczenia
Poznanie podstawowych narzędzi pomiarowych oraz metod pomiaru kątów klina i stożka.
Praktyczne opanowanie metod pomiaru i doboru narzędzi pomiarowych w zależności od
wartości pola tolerancji, wyznaczenie niepewności dla pomiarów pośrednich i bezpośrednich.
2. Przebieg ćwiczenia
1. Pomiar kąta klina przy użyciu kątomierza uniwersalnego i cyfrowego.
2. Pomiar kąta klina przy użyciu wałeczka mierniczego
3. Pomiar stożka wewnętrznego przy użyciu kul pomiarowych.
4. Określenie i analiza niepewności pomiarowej otrzymanych wyników pomiarów.
3. Wytyczne do opracowania sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać:
1. Wynik uśredniony trzech pomiarów kąta klina przy użyciu kątomierza uniwersalnego i
cyfrowego wraz z wyznaczoną niepewnością pomiaru.
2. Wynik uśredniony trzech pomiarów parametrów kąta klina wg. rysunku przy użyciu
wałeczka mierniczego .
3. Obliczone ze wzorów parametry kąta klina wg. rysunku przy użyciu wałeczka
mierniczego wraz z niepewnościami pomiarowymi.
4. Uśredniony wynik trzech pomiarów parametrów stożka wewnętrznego wg. rysunku
przy użyciu kul pomiarowych.
5. Wyznaczone ze wzorów parametry stożka wewnętrznego wg. rysunku przy użyciu kul
pomiarowych wraz z niepewnościami pomiarowymi
6. Orzeczenie z przeprowadzonych pomiarów.
7. Wnioski.
Uwagi:
Załącznikiem jest wzór sprawozdania
Instrukcje zostały opracowane na podstawie prac przejściowych i dyplomowych realizowanych w
Katedrze Technik Wytwarzania i Automatyzacji.
Laboratorium Metrologii Technicznej
1. Wprowadzenie
Powierzchnię stożkową nazywa się powierzchnię utworzoną przez obrót prostej dookoła osi,
przecinając oś w punkcie nazywanym wierzchołkiem. Elementem stożkowym jest przedmiot
lub część przedmiotu, którego zasadniczą składową jest powierzchnia stożkowa. Rozróżnia się
stożki zewnętrzne o powierzchni wypukłej i stożki wewnętrzne o powierzchni wklęsłej.
Stożek idealny może być określony w różny sposób przez:
-podanie odległość podstaw stożka L
-podanie średnicy stożka ( realizuje się to na 3 sposoby)
" podając średnicę dolną podstawy stożka, czyli tzw. średnicę dużą (oznaczenie D);
" podając średnicę górną podstawy stożka, czyli tzw. średnicę małą (oznaczenie d);
" podając średnicę stożka w określonej płaszczyz
nie przekroju poprzecznego (oznaczenie
średnicy dx, oznaczenie wymiaru określającego położenie przekroju - Lx);
- parametr charakteryzujący położenie tworzącej względem osi, w praktyce stosuje się
alternatywnie trzy parametry:
" kąt stożka (kąt pomiędzy skrajnymi tworzącymi oznaczany symbolem ą (rys.1a i 1c)
" zbieżność
Zbieżnością nazywamy stosunek różnicy średnic stożka w dwóch różnych przekrojach do
odległości pomiędzy tymi przekrojami. Oznaczana jest symbolem C. (rys.1c)
" różnicę średnic w dwóch różnych przekrojach, w praktyce sprowadza się to do podania
drugiej średnicy stożka
Rys.1 Wymiarowanie stożka idealnego.
Wymagania odnośnie kształtu i położenia powierzchni stożkowych określa się poprzez
tolerowanie definiujących je parametrów. Całość wymagań określają dwie tolerancje wymiaru:
tolerancja średnicy stożka i tolerancja położenia tworzącej (kąta stożka lub zbieżności stożka)
oraz dwie tolerancje kształtu: tolerancja okrągłości zarysu przekroju poprzecznego i tolerancja
prostoliniowości tworzącej. W przypadku stożków ściętych dochodzi do tego tolerancja
długości stożka.
Laboratorium Metrologii Technicznej
Istnieją dwie różne metody (sposoby) tolerowania stożków:
Metoda pierwsza polega na zastąpieniu wszystkich tolerancji powierzchni stożkowej przez
jedną (wypadkową) tolerancję T średnicy stożka. Tolerancja ta określa obszar przestrzeni,
który ograniczony jest dwoma stożkami granicznymi i w którym winny zmieścić się wszystkie
punkty rzeczywistej powierzchni stożka (rys. 2). Przykład zapisu wymagań dotyczących
powierzchni stożkowej zgodnego z metodą pierwszą pokazano na rys. 2a, a interpretację tego
zapisu na rys. 2b.
Rys. 2. Przykładowe sposoby zapisu wymagań dotyczących stożków: a) zapis zgodny z metodą
tolerancji wypadkowej; b) interpretacja tego zapisu (przestrzeń tolerancji ograniczona stożkiem
granicznym minimalnym 1 i stożkiem granicznym maksymalnym 2; wewnątrz nich winien się zmieścić
stożek rzeczywisty 3, c) zapis zgodny z metodą tolerancji indywidualnych.
Metoda druga polega na określaniu wartości dopuszczalnych odchyłek dla każdego z w/w
parametrów oddzielnie. Przykład zapisu wymagań zgodnego z tą metodą pokazano na rys. 2c.
Zasady tolerowania kątów
Kąty są ważnym elementem wymiarowym w budowie maszyn. Stanowią je głównie kliny i
stożki. Klin jest bryłą, w kształcie trójkąta prostopadłego o powierzchniach płaskich.
Współpracuje z otworem o takim samym kształcie utworzonym najczęściej z dwóch
przedmiotów. Może to być płaski rowek klinowy w wale i rowek skośny w otworze koła
zębatego. Klin w tym wypadku służy do ustalenia położenia wzajemnego obu tych detali.
Stożek jest bryłą obrotową. Typowymi częściami maszyn w tym zakresie są kołki wbijane w
otwór o tym samym kącie i połączenia zaciskowe stożkowe. Najczęściej spotykanym w tym
względzie przykładem są łożyska toczne z otworem stożkowym. Ponieważ kliny i stożki
współpracują wzajemnie z elementami o charakterze otworu, to i one mają swój układ
pasowań i tolerancji. Podobnie jak w wymiarach liniowych, tolerancją kąta jest różnica kątów
granicznych górnego i dolnego, czyli pole zawarte pomiędzy nimi. Pasowanie zaś to konkretne
położenie pola tolerancji w obrębie kąta nominalnego. Pole tolerancji kąta może być położone
na zewnątrz +AT, do wnętrza  AT lub w sposób mieszany ąAT/2, wg tab. 2. Przy tym pole
tolerancji stożka, podobnie jak w przypadku wałów, dzieli się symetrycznie na pół, czyli mamy
tolerancję  na stronę . Tolerowanie całego kąta rozwartego stożka nie ma sensu technicznego,
gdyż mogłoby doprowadzać do wykonawstwa stożków niesymetrycznych. Oś rzeczywista nie
pokrywałaby się z osią teoretyczną. Na tym podobieństwa z tolerancjami i pasowaniami
wałków i otworów walcowych kończą się.
Laboratorium Metrologii Technicznej
Ważniejszymi pojęciami stosowanymi w układzie tolerancji kątów są:
" kąt nominalny ą  jest to kąt, względem którego określa się pole tolerancji kąta,
" kąty graniczne: ąmax i ąmin
" tolerancja kąta AT różnica kątów granicznych.
W tym miejscu zaznacza się pierwsza istotna różnica między tolerancjami liniowymi a
kątowymi. Rysunek 3a obrazuje tę różnicę. O ile w tolerancjach liniowych pole tolerancji
leżało równolegle do linii zerowej, o tyle w tolerancjach kątowych niekoniecznie. Pola
tolerancji kata definiowane są następująco w zależności od sposobu ich wymiarowania:
Tolerancja kąta może być wyrażana:
" w jednostkach kąta płaskiego: w �rad lub stopniach, minutach i sekundach  ATą (rys. 3a)
" długością odcinka prostej prostopadłej do ramienia kąta, przy czym odcinek ten leży
naprzeciw kąta ATą (Rys 3b) w odległości równej nominalnej długości (L1) krótszego
ramienia kąta (lub nominalnej długości tworzącej stożka) od wierzchołka kata ATą [mm]
" jako różnica średnic stożka wynikająca z kątów granicznych górnego oraz dolnego
odniesiona do długości nominalnej L[mm] stożka  ATD (rys. 3c).
Rys. 3. Tolerowanie kątów: a) pole tolerancji kąta klina, b) pole tolerancji kąta stożka o
zbieżności C < 1:3, c) pole tolerancji kąta stożka o zbieżności C > 1:3
Tolerancja kąta zależy od długości krótszego ramienia kąta oraz od przyjętej klasy
dokładności. Norma przewiduje 17 klas dokładności wykonania kątów, przy czym zakłada się
trzy możliwości położenia pola tolerancji:  na zewnątrz materiału,  w głąb materiału lub 
symetrycznie względem kąta nominalnego (tab. 2). Znormalizowany układ tolerancji obejmuje
kąty o długości krótszego ramienia od 0 do 2500 mm, podzielone na 13 przedziałów,
oraz ustala 17 klas dokładności oznaczonych symbolami cyfrowymi od l do 17 - w
kierunku malejącej dokładności. W poszczególnych klasach tolerowane są równolegle w/w
parametry kąta, tj.:
" ATą  tolerancja kąta wyrażona w jednostkach kątowych, (�rad, minuta, sekunda) 
rys 3a,
Laboratorium Metrologii Technicznej
" AT'ą  tolerancja zaokrąglona kąta wyrażona w stopniach, minutach, sekundach
kątowych,
" ATh  tolerancja kąta wyrażona długością odcinka prostopadłej do ramienia kąta 
rys.3a.
Wartości tolerancji ATh i ATD podawane są w mikrometrach (�m), a L i L1 w mm. Poniżej
podana jest przykładowo jedna część tabeli odchyłek kątowych, gdyż układ wg normy jest
bardzo rozległy  tab.1. Zauważamy, że w miarę wzrostu długości nominalnej L, w danej
klasie dokładności maleje tolerancja kątowa a rośnie średnicowa.
Tablica 1. Znormalizowane wartości tolerancji kątów w klasie 7,8 i 9 wg normy PN-77/M-02136
Położenie pól tolerancji kątów, elementów pryzmowych (klinów) i stożków przedstawione jest
w tab.2, przy czym najczęściej stosuje się tolerowanie symetryczne. W uzasadnionych
przypadkach dopuszcza się odchyłki dwustronne niesymetryczne.
Pojęciami związanymi są:
ą  kąt nominalny,
C  zbieżność stożka,
L  długość nominalna stożka,
L1  długość nominalna krótszego ramienia kąta lub tworzącej stożka.
W tym miejscu należy wyjaśnić pojęcie zbieżności stożka. Jest to różnica średnic
zaobserwowana na pewnej ściśle określonej długości stożka.
Laboratorium Metrologii Technicznej
Rys.4 Zbieżność stożka (po lewej) i klina (po prawej)
Zbieżność można przedstawić wzorem:
C = (D1  D2) / L [mm/100mm]
Analogicznie podobne pojęcie występuje dla klinów, nazywa się pochyleniem i jest różnicą
wysokości klina na ściśle określonym odcinku:
Wzór: S = (H1  H2) / L [mm/100mm]
Zwyczajowo przyjętą jednostką miary zbieżności i pochylenia jest [mm/100mm], co oznacza
określony w [mm] przyrost lub ubytek średnicy stożka (wysokości klina) na dystansie 100mm.
Zwyczajowo przyjęto wymiar L = 100mm dla wygody porównywania parametrów różnych
stożków lub klinów. Dlatego, nawet gdy przedmiotem pomiaru jest długość L różna od
100mm, to wynik należy przeliczyć na tę wartość. A
atwo się domyśleć, że pochylenie jest
jednocześnie wartością tangensa kąta klina. Dla pochylenia 1:100 jest to kąt ą = 30,448', dla
zbieżności stożka przedmiotem przeliczenia będzie kąt 2ą.
Jak widać z powyższego, możliwości tolerowania stożków jest wiele. Można jednak podzielić
je na dwie grupy, tj. tolerowanie kątowe i tolerowanie liniowe. W pierwszym chodzi o
ustalenie odchyłki od wyznaczonego kąta, a w drugim o określenie pola, w którym muszą
znalez
ć się wszystkie możliwe odstępstwa tolerowanego kąta. Tabela 2b. i Rys 5 przedstawiają
stożek, a więc pola tolerancji występują połówkowo, oznaczenia są zgodne z w/w i podzielone
na dwa. Na rysunku widać, że odchyłka kątowa nie wykorzystuje w pełni tolerancji
średnicowej. Jednocześnie zauważamy, że odchyłka kątowa biegnie w plus lub w minus w
stosunku do jego wartości nominalnej.
Rys.5 Pole tolerancji stożka: 1) tolerancja średnicowa; 2) tolerancja kątowa
Laboratorium Metrologii Technicznej
Widzimy tu istotę różnicy między obydwoma rodzajami tolerowania. W tolerowaniu średnicowym,
często też nazywanym objętościowym możliwą, jest zmiana znaku odchyłki kąta w obu kierunkach, tak
jednak, aby kąt zmieścił się w polu tolerancji liniowej. Tolerowanie kątowe może być symetryczne, ale
równie dobrze można narzucić je jako jednokierunkowe w głąb lub na zewnątrz kąta, czyli tak jakby
wybrać jedną z przedstawionych odchyłek kątowych +ATą lub -ATą. Oznacza to wtedy kąt równy lub
większy albo równy lub mniejszy od nominalnego. Powyższe zasady dotyczą również klinów.
Tablica 2. Położenie pól tolerancji względem kąta nominalnego
Na rysunku tolerancje kąta można zapisać przez podanie:
" odchyłek w jednostkach kątowych, np. 60�ą1�5" i w takim przypadku zaleca się
stosowanie tolerancji zaokrąglonych (AT-2'30"),
" odchyłek w jednostkach długości, np.
" symbolu tolerancji, a także klasy dokładności, np. dla 9 klasy dokładności tolerowanie
niesymetryczne na zewnątrz kąta
Spośród wymiarów kątowych wyróżnia się, analogicznie jak przy liniowych  kąty
zewnętrzne, wewnętrzne, pośrednie i mieszane. Analogicznie też, stosowane w budowie
maszyn wymiary kątowe mają układ tolerancji zawarty w normie PN:77/M02136. Zaleca ona
tolerowanie kątów stożków w zależności od:
" długości nominalnej stożka L dla zbieżności C d" 1 : 3 (ą d" 19),
" długości nominalnej tworzącej stożka L dla zbieżności C e" 1 : 3.
Laboratorium Metrologii Technicznej
 1.1. Metody pomiaru kąta klina
Pomiary kątów mogą być wykonywane metodami bezpośrednimi i pośrednimi. W pomiarach
bezpośrednich wykorzystuje się wzorce kątów, które są zwykle w przyrządach. Pomiary
bezpośrednie dokonuje się: kątomierzami mechanicznymi i optycznymi, głowicami
goniometrycznymi mikroskopów i maszyn pomiarowych, teodolitami, niwelatorami,
przyrządami podziałowymi mechanicznymi i optycznymi, różnego rodzaju poziomicami,
przyrządami autokolimacyjnymi itp. W pomiarach pośrednich pomiar kąta polega na pomiarze
długości określonych figur czy bryły geometrycznej zawierającej mierzony kąt i wyliczeniu
tego kąta z zależności trygonometrycznych między wielkością poszukiwaną a wielkościami
zmierzonymi.
a) Pomiar za pomocą kątomierza.
Kątomierze uniwersalne są popularnymi przyrządami do pomiarów kątów. W [PN-82/M-
53358] znormalizowano kątomierze noniuszowe i zegarowe. Na obwodzie głowicy kątomierza
noniuszowego znajduje się podziałka kreskowa o zakresie 4x90�. Do odczytania wskazań służy
noniusz o zdolności odczytania 5 . Odczytanie wskazań kątomierza uniwersalnego z
noniuszem 0�5' odbywa się podobnie jak w przyrządzie suwmiarkowym, to jest kreska zerowa
podziałki noniusza wskazuje na tarczy liczbę stopni, natomiast jedna z pozostałych kresek
podziałki noniusza, znajdująca się na przedłużeniu jednej z kresek podziałki na tarczy,
wskazuje liczbę minut. Wskazania w kątomierzu optycznym (rys. 7.) odczytuje się
bezpośrednio na szklanej tarczy obserwowanej przez okular wyposażony w lupę.
Rys.6 Kątomierz uniwersalny.
Laboratorium Metrologii Technicznej
Pomiar kąta kątomierzem uniwersalnym polega na przyłożeniu bez szczelin obu ramion
kątomierza do boków mierzonego kąta. Ogólnie przyjmuje się, że niepewność pomiaru
kątomierzem maleje wraz ze wzrostem długości krótszego ramienia mierzonego kąta. Można
przyjąć, że przy długości krótszego ramienia kąt od 20mm wzwyż, niepewność pomiaru jest
równa zdolności odczytania noniusza, który na ogół wynosi 5 minut. Dla mierzonych kątów,
których chociażby jedno ramię jest krótsze od 20 mm, niepewność pomiaru jest większa od
zdolności odczytania noniusza. To zwiększenie się niepewności pomiarów jest spowodowane
trudnością przywarcia bez szczelin ramion kątomierza do boków mierzonego kąta.
Rys.7 Widok podziałki głównej i noniusza kątomierza uniwersalnego wskazanie 54stopnie i 35 minut
b) Pomiar za pomocą wałeczka mierniczego.
Jest to pomiar metodą pośrednią. Do wykonania pomiaru tą metodą potrzebujemy oprócz
wałeczków pomiarowych, stos płytek wzorcowych oraz suwmiarki cyfrowej. Wałeczek należy
zetknąć z mierzonym przedmiotem na dwóch różnych wysokościach, jak pokazano na (rys. 9).
Zamiany wysokości l1 dokonuje się za pomocą stosu płytek wzorcowych umieszczonych wraz
z klinem na płaszczyz
nie pomiarowej. Do pomiaru wymiarów M1 M2 , stosuje się suwmiarkę
cyfrową.
Rys. 8 Rysunek przedstawiający sposób pomiaru kąta klina przy pomocy wałeczków mierniczych.
Laboratorium Metrologii Technicznej
Do wyznaczenia interesujących nas wielkości, należy zastosować odpowiednie wzory:
M 2 - M1
tgą =
l1
M 2 - M1
ą = arctg ( )
l1
dw dw
h1 = M1- -
ą
2
2tg(45 - )
2
h2 = h1+ ltgą
h2 - h1
c =
l
c) Pomiar za pomocą liniału sinusowego.
Liniały sinusowe służą do pomiaru kątów i ustawiania przedmiotów pod żądanymi katami.
Posługiwanie się liniałami wymaga jednocześnie użycia płytek wzorcowych. Zgodnie z [PN-
79/M+53354] są produkowane liniały sinusowe o odległości osi wałków L=100mm i 200mm.
Pomiar kąta liniałem sinusowym wymaga użycia oprócz liniału i płytek wzorcowych czujnika
na statywie oraz płyty pomiarowej. Bok mierzonego klina należy ustawić równolegle do
płaszczyzny płyty pomiarowej co stwierdzić można czujnikiem. Wtedy przyjmuje się że
mierzony kąt jest równy kątowi nachylenia liniału sinusowego.
Rys. 9 Pomiar kąta klina za pomocą liniału sinusowego.
Zestawienie stosu płytek wzorcowych, przy którym różnica wskazań czujnika przesuwającego
się wzdłuż tworzącej stożka jest równa zeru, wymaga nieraz wielu prób. Dlatego dopuszcza się
możliwość pewnej różnicy wskazań czujnika oraz uwzględnia się ją w postaci poprawki
wysokości stosu płytek wzorcowych- c. Kat ą wyznacza się wtedy z zależności
H + c
siną =
L
Laboratorium Metrologii Technicznej
Niedokładność opisanej metody pośredniej zależy z jednej strony od błędu samego liniału, z
drugiej strony od pozostałych narzędzi, to jest płytek wzorcowych, płyty pomiarowej oraz
narzędzia, którym mierzono nierównoległość tworzącej przedmiotu do płaszczyzny płyty.
1.2 Pomiary stożków
a) Pomiar stożka zewnętrznego przy użyciu wałeczków pomiarowych
Jest to pomiar metoda pośrednią. Pomiar polega na położeniu mierzonego stożka i wałeczków
na płycie pomiarowej, tak jak pokazano na (rys. 9) i zmierzeniu wymiaru B. Następnie te same
wałeczki układamy na jednakowych płytkach wzorcowych o wysokości h i mierzymy wymiar
A.
Rys. 10 Zasada pomiaru stożka zewnętrznego za pomocą wałeczków
Kąt wierzchołkowy oblicza się ze wzoru:
Zbieżność stożka
b) Pomiar stożka wewnętrznego przy użyciu kul pomiarowych.
Pomiar wykonuje się metoda pośrednią. Oprócz kul pomiarowych używa się
głębokościomierza , którym mierzy się długości pomiarowe l1 i l2, a niekiedy również płytek
wzorcowych. W celu wyznaczenia kąta stożka należy wykorzystać zależność wynikającą
z wyróżnionego na rysunku poniżej trójkąta prostokątnego.
Laboratorium Metrologii Technicznej
Rys.11 Zasada pomiaru stożka wewnętrznego za pomocą kulek pomiarowych
Aby wyznaczyć szukane parametry trzeba zastosować następujące wzory:
d2 - d1
siną =
2(l1 - l2 ) - (d2 - d1)
d1
d = - (2l - 2l1 - d1)tgą
cosą
d2
D = - (2l2 - d 2)tgą
cosą
1.3. Niepewność pomiarów
Międzynarodowa Norma zaleca posługiwanie się terminem niepewność pomiarowa
zdefiniowanym jako parametr charakteryzujący wątpliwości dotyczące wartości wyniku
pomiarowego. Miarą niepewności pomiarowej jest niepewność standardowa, która może być
szacowana na 2 sposoby: typu A wykorzystujący analizę statystyczną serii pomiarów oraz
typu B oparty na naukowym osądzie obserwatora. Symbolem niepewności standardowej jest u
(od ang. uncertainty), który można zapisywać na 3 różne sposoby, np. u, u(x) lub u(stężenie
NaCl). Zaletą tego zapisu jest to, że informacja o wielkości mierzonej może być wyrażona
słownie, co ułatwia tworzenie dokumentacji pomiaru. Należy jednak pamiętać, że u nie jest
funkcją tylko liczbą.
a) Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich
Laboratorium Metrologii Technicznej
Przypuśćmy, że wykonaliśmy serię n pomiarów bezpośrednich wielkości fizycznej X
otrzymując wyniki X1, X2 ...Xn. Jeśli wyniki pomiarów nie są takie same, wówczas za
najbardziej
zbliżoną do wartości prawdziwej przyjmujemy średnią arytmetyczną ze wszystkich wyników
pomiarów:
Stwierdzenie to jest tym bardziej słuszne im większa jest liczba przeprowadzonych pomiarów
(dla ). W celu określenia niepewności standardowej posługujemy się w tym
wypadku sposobem typu A, czyli korzystamy ze wzoru na odchylenie standardowe średniej.
n
- x)2
"(xi
i=1
s =
n -1
oraz odchylenie standardowe wartości średniej:
s
sr =
n
Niepewność standardowa wartości średniej równa jest odchyleniu standardowemu wartości
średniej:
u(y) = sr
Jeśli natomiast wyniki pomiarów nie wykazują rozrzutu, czyli X1 = X = ... = X , lub też gdy
2 n
istnieje tylko jeden wynik pomiaru, wówczas niepewność standardową szacujemy sposobem
typu B. Można np. wykorzystać informację o niepewności maksymalnej "X określonej przez
producenta przyrządu pomiarowego, jeśli nie mamy innych dodatkowych informacji, wówczas
niepewność standardową obliczamy ze wzoru
"X
u(X ) =
3
Dla prostych przyrządów (tj. linijka, śruba mikrometryczna czy termometr) jako "X można
przyjąć działkę elementarną przyrządu. W elektronicznych przyrządach cyfrowych niepewność
maksymalna podawana jest przez producenta w instrukcji obsługi i jest zwykle kilkakrotnie
większa od działki elementarnej. Najczęściej zależy ona od wielkości mierzonej X i zakresu na
którym mierzymy Z:
"X = c1X + c2Z
Gdy występują oba typy niepewności (tzn. zarówno rozrzut wyników jak i niepewność
wzorcowania) i żadna z nich nie może być zaniedbana (tzn. obie są tego samego rzędu),
wówczas niepewność standardową (całkowitą) obliczamy ze wzoru:
Laboratorium Metrologii Technicznej
2
("X )
2
u(X ) = sr + .
3
Niepewność standardowa całkowicie i jednoznacznie określa wartość wyniku, jednak do
wnioskowania o zgodności wyniku pomiaru z innymi rezultatami (np. z wartością
tabelaryczną) oraz dla celów komercyjnych i do ustalania norm przemysłowych, zdrowia,
bezpieczeństwa itp. Międzynarodowa Norma wprowadza pojęcie niepewności rozszerzonej
oznaczanej symbolem U (dla pomiarów bezpośrednich), lub Uc (dla pomiarów pośrednich).
Niepewność rozszerzona jest iloczynem niepewności standardowej u i współczynnika
rozszerzenia k, który odpowiada prawdopodobieństwu P:
U(y) = k �"u(x)
Przy obliczaniu niepewności pomiaru koniecznej do określenia zgodności lub niezgodności
wymiaru ze specyfikacją przyjmuje się współczynnik rozszerzenia k obliczony z rozkładu t-
Studenta równy 2,78, który odpowiada poziomowi ufności P = 0,95 . Oznacza to, że wartość
poprawna znajduje się w przedziale ąU wokół wyniku pomiaru y z prawdopodobieństwem
równym P = 0,95. Niepewność pomiaru podaje się do dwóch cyfr znaczących. Wartość
pomiaru zaokrągla się do tego samego miejsca po przecinku co niepewność pomiaru.
b) Niepewność standardowa pomiarów pośrednich  niepewność złożona (uc)
W przypadku pomiarów pośrednich wielkość mierzoną Y obliczamy korzystając ze związku
funkcyjnego, który można zapisać w ogólnej postaci:Y=f(X1, X2,& ,Xk) , gdzie symbolami X1,
X2,& ,Xk oznaczamy k wielkości fizycznych mierzonych bezpośrednio. Zakładamy, że znane
są wyniki pomiarów tych wielkości oraz ich niepewności standardowe
u(X1),u(X2),& ,u(Xk). Wynik (końcowy) pomiaru oblicza się wówczas ze wzoru:
W przypadku pomiarów pośrednich nieskorelowanych (tzn. gdy
każdą z wielkości X1, X2,& ,Xk mierzy się niezależnie) niepewność złożoną wielkości Y
szacujemy przy pomocy przybliżonego wzoru:
2. Stanowisko pomiarowe
Laboratorium Metrologii Technicznej
9
5
4
3
2
6
8
7
1
Rys. 12 1- głębokościomierz, 2- kątomierz cyfrowy, 3- wałeczki i kule pomiarowe, 4- kątomierz uniwersalny,
5 płaszczyzna pomiarowa, 6- głębokościomierz cyfrowy,7- kliny, 8- stożki zewnętrzne,
9- stożki wewnętrzne.
Laboratorium Metrologii Technicznej
3. Przebieg ćwiczenia
3.1 Pomiar kąta klina przy użyciu kątomierz uniwersalnego i cyfrowego
Przygotować kątomierz uniwersalny lub optyczny do pomiaru, sprawdzić błąd wskazania dla
kąta 90 stopni (kątownik) lub 180 stopni (powierzchnia stolika pomiarowego) Każdy z
dowolnie wybranych kątów przedmiotu zmierzyć kilkakrotnie zapisując wyniki (stopnie i
minuty kątowe) w tabeli.
3.2 Pomiar kąta klina przy użyciu wałeczka mierniczego
Przygotować potrzebne narzędzia i pomoce miernicze do pomiaru. Ustawić badany przedmiot
na płycie pomiarowej (mniejszą średnicą na płycie). Następnie dwa wałeczki ułożyć obok
stożka tak jak pokazano na (rys.8) i zmierzyć wymiar B. Te samy wałeczki ułożyć na płytkach
wzorcowych o wysokości H i zmierzyć wymiar A. Otrzymane wyniki zapisać w tabeli
3.3 Pomiar kąta stożka przy użyciu kul pomiarowych
Przygotować potrzebne narzędzia i pomoce miernicze do pomiaru. Ustawić badany przedmiot
mniejszą średnicą na stole. Wrzucić kulę pomiarową o średnicy d2 i zmierzyć
głębokościomierzem odległość l1, następnie zmieniamy kulą pomiarową na kule o średnicy d2
i mierzymy odległość l2 (rys. 11). Otrzymane wyniki wpisujemy do tabeli.
Laboratorium Metrologii Technicznej
KATEDRA TECHNIK WYTWARZANIA I AUTOMATYZACJI
Przedmiot:
Miernictwo i systemy pomiarowe
Numer ćwiczenia:
Sprawozdanie:
Pomiar kątów i stożków
4
grupa - & & & & & & & & .. rok akademicki
& & & & & & & & & & & & & & & ..
kierunek - & & & & & & & & & & & ..& & & ..
(imię i nazwisko)
Data odrobienia Data oddania Ocena Podpis
ćwiczenia sprawozdania
& & & & ..& & & . & & & & & & & & &
& & & & & & & . & & & & & & & &
1. Klin , stożek wewnętrzny nr 1
2. Klin , stożek wewnętrzny nr 2
3. Klin , stożek wewnętrzny nr 3
4. Klin , stożek wewnętrzny nr 4
5. Klin , stożek wewnętrzny nr 5
6. Klin , stożek wewnętrzny nr 6
7. Klin , stożek wewnętrzny nr 7
8. Klin , stożek wewnętrzny nr 8
Laboratorium Metrologii Technicznej
1. Pomiar kąta klina przy użyciu kątomierz uniwersalnego i cyfrowego
Niepewność Wynik pomiaru z
Wartość rozszerzona niepewnością
Wynik
Narzędzie
Lp
pomiaru rozszerzoną
pomiaru y
y średnia
pomiarowe
U(y) y ąU(y)
Kątomierz
1
uniwersalny
Kątomierz
2
cyfrowy
2. Pomiar kąta klina przy użyciu wałeczka mierniczego
Wielkości mierzone przy użyciu suwmiarki cyfrowej
Niepewność Wynik pomiaru z
Wartość
standardowa niepewnością
Oznaczenie Wyniki pomiarów
y
średnia
według
pomiaru u(y) standardową y ą u(y)
rysunku
l
l1
dw
M1
M2
Wyznaczenie
Wynik z niepewnością złożoną
Parametr wartości Niepewność
rozszerzoną y ąUc (y)
obliczany parametru ze złożona
wzoru
ą
Laboratorium Metrologii Technicznej
3. Pomiar kąta stożka przy użyciu kul pomiarowych
Wielkości mierzone przy użyciu suwmiarki cyfrowej
Niepewność Wynik pomiaru z
Wartość
standardowa niepewnością
Oznaczenie Wyniki pomiarów
y
średnia
według
pomiaru u(y) standardową y ą u(y)
rysunku
l
l1
l2
d1
d2
Wyznaczenie
Wynik z niepewnością złożoną
Parametr wartości Niepewność
rozszerzoną y ą Uc(y)
obliczany parametru ze złożona
wzoru
ą
4. Orzeczenie z przeprowadzonych pomiarów
KATEDRA TECHNIK WYTWARZANIA I AUTOMATYZACJI
Imię i nazwisko Narzędzie pomiarowe Numer części
& & & & & & & .
& & ..& & & & & & & & & & & ..
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Laboratorium Metrologii Technicznej
5. Wnioski
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
Laboratorium Metrologii Technicznej