3110398558

7. Punkty Ai, A2,..., A12 dzielą okrąg na 12 równych łuków, tak jak na rysunku:

Cięciwa AgA₃ przecina cięciwy A\\Ay i Au Ag odpowiednio w punktach P i Q. Udowodnij, że trójkąt PQA\\ jest równoramienny.

Rozwiązanie. Najpierw zauważamy, że /.PAuQ = /.A7A11A5 = 2 ■ 15° = 30°. Dorysujmy teraz cięciwę A3A5.

Mamy wówczas

^.QA₃Ag = ^.AgAgAg = 3 • 15° = 45° oraz /.QAgA₃ = ^.A\\AgA₃ = 4 • 15° = 60°. Możemy teraz obliczyć miarę trzeciego kąta trójkąta QAgA₃:

ĆA₅QA₃ = 180° - 45° - 60° = 75°.

Stąd dostajemy £PQA\\ = 75° oraz X.QPA\\ = 180° — 30° — 75° = 75°. Ponieważ /.PQAu = ZQPAn, więc PA\\ = QA\\.

8. Trójkąt równoboczny ABC jest wpisany w okrąg. Punkt D leży na krótszym luku AB. Punkt E leży na odcinku CD oraz DE = DB. Udowodnij, że trójkąty BAD i BCE są przystające.

9