3576900824

gdzie

ln(G(0)/jf") + (r+l»²)r

aVT

oraz

d₂ = di — &VT.

Teraz wystarczy wrócić do pierwotnych oznaczeń i zmiennych. Po wykonaniu podstawień i stosownych uproszczeń, otrzymamy następujący wzór na cenę potęgowej opcji cali

C = exp ((n — l)(r + ^ncr²)T)5ⁿ(0)3>(di) — exp(—rT)/ćⁿ$(d₂),

gdzie wyrażenia na d\ i d₂ mają następującą postać

ln(g(0)/JQ + (r + (n-

oraz

d-2 = d\ — ncry/T =

\n(S(0)/K) + (r-^)T ct\/T

Zadanie 4.

Niech S(t) oznacza cenę akcji, która nie płaci dywidendy. Rozpatrzmy binarne opcje europejskie

cali: o funkcji wypłaty H(S(T) — K), put: o funkcji wypłaty H(K — S(T)),

gdzie K jest ceną wykonania, T jest czasem trwania opcji, a H oznacza funkcję Heaviside’a (H(x) — 1 gdy x > 0, oraz H(x) = 0 gdy x < 0).

(a)    Wyprowadź tzw. parytet call-put dla opcji binarnych, czyli związek pomiędzy ceną opcji cali oraz ceną opcji put.

(b)    Przy założeniach identycznych jak przy dowodzie formuł Blacka-Scholesa na cenę waniliowych (tzn. prostych, klasycznych) opcji, wyprowadź wzór na cenę binarnej opcji europejskiej cali.

Przyjmij następujące oznaczenia: r - stopa wolna od ryzyka, a - zmienność akcji. Wypisz dokładnie założenia przy których przeprowadzasz wyprowadzenie wzoru na cenę opcji. Wypisując wzór zastosuj notację analogiczną do przyjętej w standardowych formulach Blacka-Scholesa.

Rozwiązanie

(a) Rozpatrzmy portfel złożony z binarnej opcji cali i binarnej opcji put. Z definicji tych opcji wynika, że wyplata z tego portfela w chwili T, niezależnie od wartości S(T), wyniesie 1. Zatem dzisiejsza wartość tego portfela wynosi exp(— rT). Z drugiej strony dzisiejsza wartość tego portfela jest sumą dzisiejszych wartości obu opcji. Mamy zatem związek (parytet binarnych opcji call-put)

Cbtaary + Ąinary = exp(-rT).