3893820049

IV-20

§4.2.

d) Izomorfizm liniowy przeprowadza bazy zgodnie zorientowane na zgodnie zorientowane.

Z części b) i c) zadania wynika, że relacja zgodnej orientacji baz uporządkowanych ma dokładnie dwie klasy równoważności. Każdą z tych klas (a więc zbiorów baz) nazywamy orientacją przestrzeni V. Przestrzeń zorientowana to taka przestrzeń rzeczywista, w której wybrano którąś z dwóch orientacji. Bazy należące do tej orientacji nazywamy dodatnio zorientowanymi, a pozostałe ujemnie zorientowanymi.

Możemy też mówić o orientacji zadanej daną bazą V - jest to ta orientacja, do której V należy.

Przykład 1. Jeśli nie powiedziano inaczej, przestrzeń rozważamy z orientacją standardową tzn. wyznaczoną przez bazę standardową S = (ei,...,efc). Baza (vi,...,Vfc) jest w niej dodatnio zorientowna, gdy macierz o (kolejnych) kolumnach vi,..., Vfc ma wyznacznik dodatni.

Definicja. Niech V i W będą zorientowanymi k wymiarowymi przestrzeniami rzeczywistymi. Powiemy, że izomorfizm T : V —* W zachowuje orientację jeśli przeprowadza pewną dodatnio zorientowaną bazę w V na dodatnio zorientowaną bazę w W. Zadanie 2. Udowodnić, że:

a)    Bez zmiany znaczenia można w tej definicji zmienić słowo „pewną” na „każdą”.

b)    Złożenie skończenie wielu izomorfizmów liniowych wtedy i tylko wtedy zmienia orientację, gdy czyni to nieparzyście wiele rozważanych izomorfizmów.

c)    Gdy V — W jako przestrzeń zorientowana, to

T zachowuje orientację <4- det(T) > 0.

Odnotujmy, że warunek det(T) > 0 zależy tylko od endomorfizmu T, a nie od wyboru orientacji przestrzeni V = W.

Przykład 2. Z przykładu w p.l wynika, że symetria względem U wzdłuż podprzestrzeni W zachowuje orientację, gdy dim(W) jest liczbą parzystą, i vice versa.

Zadania uzupełniające.