5032124833

12 Elementy kombinatoryki oraz techniki zliczania

Rozwiązanie

W wyniku losowania tworzymy trzyelementowe ciągi liczb, przy czym ciągi (si, s₂₎ S3),(s₂, Si, s₃) są różne, choć zawierają te same elementy. Kula po każdym losowaniu wraca do urny, więc możliwe jest uzyskanie liczby, w której cyfry będą się powtarzać (np. (s6, Sq, sq)). Utworzone w ten sposób ciągi to trzyelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru Zg. Liczba wszystkich wariacji trzyelemento-wych zbioru Zg jest równa | V^³1 = 9³ = 729.

Zadanie 2.1.6 W przedstawieniu przygotowywanym przez kółko teatralne bierze udział trzech chłopców i cztery dziewczynki. Mamy do obsadzenia siedem ról.

1.    Na ile sposobów zostanę, rozdzielone role, gdy nie ma znaczenia płeć młodego aktora?

2.    Na ile sposobów rodzielimy trzy role męskie i cztery kobiece pomiędzy biorących udział?

Rozwiązanie

1.    Nie mamy podziału na role w zależności od płci, zatem każdy może odegrać każdą rolę, ale jedna osoba nie może odtwarzać dwóch ról. Mamy zatem łącznie 7! = 5040 możliwości.

2.    Role męskie możemy rodzielić na 3! sposobów, a role kobiece na 4! sposobów. Ponieważ obsadę męską możemy zestawić z dowolną obsadą kobiecą, mamy więc 3! • 4! = 12 • 48 = 576 możliwości.

Zadanie 2.1.7 Mamy k kul i rozmieszczamy je w n komórkach. Kule, o których jest mowa w zadaniu, są nierozróżnialne. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie

Rozmieszczenie tych kul jest wyznaczone przez podanie liczby kul w komórkach, czyli ciąg (hi, k%,..., A;_n), gdzie ^-liczba kul w komórce o i-tym numerze. Nie jest istotne, w jakiej kolejności są rozmieszczone kule w danej komórce, istotna jest natomiast ich liczba.

Mamy k\ -1-    + ... + k_n = k, kj > 0, j = 1,2, ...,n. Dwa rozmieszczenia są

różne, gdy odpowiednie ciągi (k\, &2, •••, k_n) nie są identyczne.

Rozpatrujemy k-elementowe kombinacje z powtórzeniami zbioru A = {ai, a2,..., a_nj. Kombinacji (fci, /c₂, k_n) przyporządkujemy rozmieszczenie zadane tym samym ciągiem, tzn. ki kul w 1. komórce, /c₂ kul w 2. komórce itd.