5192604470

A.    L_a = Z}=i Li = 105£i=i*i - 500, stąd VaRo.9₅(L_A) = 105ęo.9₅(£™^Oi Yf) - 500 = = 105 • 5 — 500 = 25, ponieważ (£^ Y) ma rozkład dwumianowy £(100;0.02), to

B.    VaRo.95(La) = VaRo.95(100Li) = 100VaRo.9s(Z/i) = £*£1 (VaRo.95(£j)) = 100-(—5) = = -500.

Otrzymujemy

100    100

VaR<,9 _s(L_a) = VaR„.₉5(E ^L>) =^i -500 = E (VaRo.95(£i)) = yaJWtis).

Oznacza to, że portfel A jest znacznie bardziej ryzykowny niż B, co jest sprzeczne z aksjomatem subaddytywności, według którego powinno być odwrotnie. To portfel niezdywersyfi-kowany B powinien być bardziej ryzykowny. Stąd widzimy, że VaR nie jest koherentną miarą ryzyka.

2.2.2 Expected Shortfall

Kolejna rozpatrywana miara ryzyka, a więc Expected Shortfall jest pozbawiona niektórych wad wartości zagrożonej. Przede wszystkim jest ona koherentną miarą ryzyka, jak również daje odpowiedź na pytanie, jak wysoka może być strata, gdy przekroczony zostanie próg wartości zagrożonej. Jest ona w pewnym sensie uzupełnieniem VaR’u.

Definicja 2.13 (Expected Shortfall) [8]

Niech L będzie zmienną losową oraz niech E(\L\) < oo, z dystrybuantą FDany jest również poziom istotności o: € (0,1). Expected Shortfall jest zdefiniowany:

ES«(L) = —'— [' q_u(Fi)du,    (2.9)

1 — a Ja

gdzie q_u{FL.) jest kwantylem dystrybuanty Fi, stąd

ESJL) = —— f\aRJL)du.    (2.10)

1 — OC Jot

Jak widać z powyższego wzoru, ES jest zdefiniowana jako oczekiwana strata, pod warunkiem, że strata ta przekroczy wartość zagrożoną. Niezmienniczość na translacje, dodatnia jednorodność oraz monotoniczność ES opiera się na tych samych własnościach dla VaR (Lematy 2.9-2.11).

Lemat 2.14 (Niezmienniczość ES na translacje)

V_ie;WV,_€R ES_a(L + l) = ES _q(L) +1    (2.11)

16