Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Automatyka i Robotyka
Automatyka i Robotyka
Plan wykładu:
Plan wykładu:
Sterowanie proporcjonalne
Sterowanie całkowe
Sterowanie proporcjonalno - całkowe
Sterowanie proporcjonalno - różniczkowe
Sterowanie proporcjonalno - całkowo - różniczkowe
Agata Nawrocka
Agata Nawrocka
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
1 2
1 2
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Po zastosowaniu transformaty Laplace a transmitancja
Sterowanie proporcjonalne
Sterowanie proporcjonalne
regulatora ma postać:
U (s)
= K
p
E(s)
W regulatorze z proporcjonalnym algorytmem sterowania
proporcjonalnym
(typu P), związek pomiędzy sygnałem wyjściowym Regulator proporcjonalny jest wzmacniaczem z
P
regulatora u(t), a sygnałem uchybu e(t) jest następujący: nastawianym wzmocnieniem.
E(s)
E(s) U(s)
U(s)
Kp

u(t) = K e(t)
p
gdzie: Kp jest nazwane wzmocnieniem proporcjonalnym
(współczynnikiem wzmocnienia)
Schemat blokowy regulatora typu P
3 4
3 4
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Sterowanie całkowe
Sterowanie całkowe
Zastosowanie sterowania proporcjonalnego
Zastosowanie sterowania proporcjonalnego
W regulatorze z całkowym algorytmem sterowania, w
całkowym
I
Regulatory proporcjonalne są stosowane: skrócie typu I, przyrost wartości sygnału wyjściowego u(t)
zmienia się proporcjonalnie do sygnału uchybu e(t), czyli:
do obiektów o niskim rzędzie inercji i krótkich czasach
opóz
nienia, pracujących w obecności stałych zakłóceń i w
du(t) 1
układach dopuszczających błąd w stanie ustalonym.
= Kie(t) = e(t)
dt Ti
stosuje się je również w układach regulacji kaskadowej
lub można powiedzieć, że sygnał wyjściowy u(t) jest
jako regulatory pomocnicze.
proporcjonalny do całki sygnału wejściowego e(t):
t
u(t) = Ki
+"e(t)dt
o
gdzie: Ki  stała nastawna, Ti  czas całkowania (czas zdwojenia)
5 6
5 6
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Transmitancja regulatora całkowego ma postać:
Zastosowanie sterowania całkowego
Zastosowanie sterowania całkowego
U (s) Ki 1
= =
E(s) s Tis
Regulatory całkujące są stosowane:
Jeśli wartość e(t) jest stała przez okres czasu Ti, to wartość
do regulacji obiektów inercyjnych przy powolnych
u(t) podwoi się po upływie tego czasu. Dla wartości uchybu
zmianach zakłóceń,
e(t) równego zero wartość u(t) pozostaje niezmienna.
w układach regulacji poziomów, przepływów, ciśnień,
temperatur,
E(s)
E(s) Ki U(s)
U(s)
dla obiektów, w których opóz
nienie � zawarte jest w
 s
granicach 2�40 sec.
Schemat blokowy regulatora typu I
7 8
7 8
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Przykład 1.
Sterowanie proporcjonalne układu poziomowania cieczy, przy Założenia:
skokowym sygnale wejściowym, da uchyb w stanie
uchyb w stanie
ustalonym. Uchyb może być wyeliminowany, jeśli regulator Regulator jest regulatorem całkującym
ustalonym
będzie zawierał algorytm sterowania całkowego.
algorytm sterowania całkowego
Nie jest znany model układu - (może on być nieliniowy)
X + x
- dokonujemy jego linearyzacji wokół punktu pracy,
zakładając małe odchylenia x, qi, h i qo od ich wartości
Q + q
i
w stanie ustalonym
Początek układu współrzędnych ustawiamy w punkcie
H + h
C
Q + q0
pracy, wtedy układ można traktować jako stabilny
R
Układ regulacji poziomu cieczy w zbiorniku 9 10
9 10
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Schemat blokowy układu
Uchyb statyczny
X(s) E(s) H(s)
X(s) E(s)
H(s)
K R
 s RCs +1
s(RCs2 + s) 1
eu = lim sE(s) = = 0
s0
RCs2 + s + KR s
Transmitancja układu zamkniętego ma postać:
Wynika stąd, że sterowanie całkowe układem
H (s) GR (s) �" GO (s) KR
= =
poziomowania cieczy, eliminuje uchyb statyczny w
X (s) 1+ GR (s) �" GO (s) RCs2 + s + KR
odpowiedzi na skokowy sygnał wejściowy.
Stąd:
E(s) X (s) - H (s) RCs2 + s
= =
X (s) X (s) RCs2 + s + KR
11 12
11 12
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Sterowanie proporcjonalno-całkowe
Sterowanie proporcjonalno-całkowe Stała czasowa całkowania Ti umożliwia zmianę
parametrów algorytmu całkowego
Algorytm pracy regulatora proporcjonalno-całkowego, w
proporcjonalno-całkowego
Zmiana wartości Kp wpływa zarówno na część
skrócie typu PI, zdefiniowany jest wzorem:
PI
proporcjonalną, jak i na część całkową algorytmu
t
K
p
sterowania.
u(t) = K e(t) + e(t)dt
p
+"
Ti o Odwrotność stałej czasowej Ti jest nazywana szybkością
działania całkującego.
a transmitancja regulatora ma postać:
E(s) �# ś#
E(s) 1 U(s)
U(s)
�# ś#
U (s) 1 K ś# ź#
p
ś#1+ Tis ź#
ś# ź#
= K +
p  �# #
ś#1 Ti s ź#
E (s)
�# #
gdzie:
Kp - wzmocnienie proporcjonalne,
Schemat blokowy regulatora typu PI
Ti - czas całkujący (czas zdwojenia).
13 14
13 14
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Zastosowanie sterowania
Zastosowanie sterowania
u(t)
proporcjonalno - całkowego
proporcjonalno - całkowego
Sterowanie PI
e(t)
Regulatory PI są stosowane:
Sygnał wejściowy
w układach regulacji, w których można wykorzystać
2K
p
zarówno zalety regulacji statycznej i astatycznej,
K
p
działanie proporcjonalne jest szybkie ale niedokładne
(e`"0),
t
0 Ti
całkowanie działa wolno, ale dokładnie (e=0),
regulatory PI zapewniają dobrą regulację przy
zakłóceniach o niskich częstotliwościach.
Odpowiedz
skokowa regulatora typu PI
15 16
15 16
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Sterowanie proporcjonalno-różniczkowe
Sterowanie proporcjonalno-różniczkowe
Z algorytmem sterowania różniczkowego mamy do
Algorytm pracy regulatora proporcjonalno-różniczkowego,
proporcjonalno-różniczkowego
czynienia, gdy wartość sygnału wyjściowego regulatora
w skrócie typu PD, zdefiniowany jest wzorem:
PD
jest proporcjonalna do szybkości zmiany sygnału uchybu.
de(t) Czas różniczkujący Td jest miarą, na ile sterowanie PD
u(t) = K e(t) + K Td
p p
wyprzedza sterowanie z regulatorem proporcjonalnym P.
dt
a transmitancja regulatora ma postać:
E(s)
E(s) U(s)
U(s)
Kp(1+ Td s)
U (s)

= K (1 + Td s)
p
E(s)
gdzie:
Kp - wzmocnienie proporcjonalne,
Td - stała nazywana czasem różniczkującym
Schemat blokowy regulatora typu PD
lub czasem wyprzedzenia
17 18
17 18
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Różniczkowy algorytm sterowania ma charakter
u(t)
Sterowanie PD
e(t) wyprzedzający.  Podbija on sygnał wyjściowy
Wada: wzmacnia sygnały szumów i może powodować
Td
efekt nasycenia w urządzeniu wykonawczym
Sygnał wejściowy
Algorytm ten stabilizuje układ, nie pogarszając
właściwości dynamicznych, uchyb ustalony jest znacznie
t
0
większy niż przy algorytmie całkowym, przy
Odpowiedz
liniowa regulatora typu PD równoczesnym zwiększeniu zapasu stabilności
19 20
19 20
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Sterowanie proporcjonalno-różniczkowo-
Sterowanie proporcjonalno-różniczkowo-
Zastosowanie sterowania
Zastosowanie sterowania
całkowe
całkowe
proporcjonalno - różniczkowego
proporcjonalno - różniczkowego
Równanie regulatora PID ma postać:
PID
Regulatory PD są stosowane w układach pracujących t
K
de(t)
p
przy małych i szybkich zakłóceniach,
u(t) = K e(t) +
p p
+"e(t)dt + K Td dt
Ti o
W układach z regulatorem PD otrzymuje się krótsze
czasy regulacji niż z regulatorem P, a transmitancja regulatora ma postać:
Przy zastosowaniu regulatora PD można uzyskać
�# ś#
U (s) 1
ś# ź#
= Kr ś#1+ + Td sź#
szybszą likwidację błędu dynamicznego podczas zmian
E(s) Tis
�# #
sygnału zadającego oraz uzyskać złagodzenie skutków
gdzie:
zmian zakłóceń.
Kp - wzmocnienie proporcjonalne,
Ti - czas całkującym,
21 22
21 22
Td - czas różniczkujący.
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Sterowanie PD
Ten połączony algorytm ma zalety każdego z trzech
u(t)
Sterowanie PID
wcześniej wspomnianych algorytmów.
e(t)
E(s) U(s)
E(s) U(s)
Kp(1+ Tis + TiTd s2)
 Tis
Sygnał wejściowy
t
0
Schemat blokowy regulatora typu PID
Odpowiedz
liniowa regulatora typu PID
23 24
23 24
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Regulacja prędkości silnika prądu stałego
Regulacja prędkości silnika prądu stałego
Moment bezwładności wirnika wynosi Jm, opory ruchu
reprezentuje współczynnik b, a moment czynny M = Ktia
T
Śm
Ra La
Równanie dynamiczne ruchu układu ma postać:
ia
.
&
<" va e = Ke
J �&m + b�&m = Ktia + M
m z
Ś
Jm
.
b
Równanie obwodu elektrycznego:
Ś
m
a) obwód elektryczny silnika b) model mechaniczny wirnika
dia
prądu stałego silnika prądu stałego La + Raia = va - Ke�&m
dt
25 26
25 26
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Jeżeli zdefiniujemy wektor stanu układu jako:
Równania układu zapiszemy w postaci:
T
x = [�m, �&m, ia ]
&
ż#
Jm�& + b�& = Ktia + Mz
m m
to macierze układu i sterowania mają postać: �#
�#
dia
�& + La + Raia = va
�#Ke m
Ą# ń#
Ą# ń#
�# dt
0
ó# Ą#
ó#0 1 0 Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
ó#0 b Kt Ą#
B = 0
A = -
gdzie: Mz jest momentem zakłócającym
ó# Ą#
ó#
Jm Jm Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
1
ó# Ą#
ó#0 - Ke - Ra Ą#
ó#La Ą#
ó# La La Ą#
Ł# Ś#
Ł# Ś#
27 28
27 28
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
"
Obliczamy Y(s):
y =�&
Definiując sygnał wyjściowy i zakłócający
m
A B
"
Y (s) = Va (s) + Z(s)
z = M (�1s +1)(�2s +1) (�1s +1)(�2s +1)
otrzymamy:
z
Kt
1
&
Jm y + by = Ktia + z
ż#
gdzie: A =
B =
�# bRa + Kt Ke
bRa + KtKe
�# dia
e
�#K y + La dt + Raia = va
�#
(Jm Ra + bLa )+ (Jm Ra + bLa )2 - 4J La (bRa + Kt Ke )
- - m
�1,1 =
2
2JmLa
Stosując przekształcenie Laplace a, przy zerowych
La
warunkach początkowych otrzymamy równania algebraiczne: �2 =
Jeżeli b=0 i La jest małe, wtedy stała nazywana
Ra
RaJm
sJmY (s) + bY (s) = Kt Ia (s) + Z(s)
ż# �1 =
jest elektryczną stałą czasową zaś stała
KtKe
�#
Y (s) + sLaIa (s) + RaIa (s) = Va (s)
�#Ke
29 nazywana jest elektromechaniczną stałą czasową. 30
29 30
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Zakładając, że w układzie zastosowany będzie regulator typu P,
Schemat blokowy układu regulacji prędkości
Schemat blokowy układu regulacji prędkości
dla którego:
A
GO (s) =
GR(s) = K,
Z(s)
Z(s)
(�1s +1)(�2s +1)
B
1
Równanie charakterystyczne pętli zamkniętej:
A
1+ GR (s)GO (s)
Silnik
W(s) E(s) Va
W(s) E(s) Va
Y(s)
Y(s)
A
Regulator
ma postać: �1� s2 + (�1 +� )s +1+ AK = 0
(�1s + 1)(� s + 1)
 2 2
2
Y(s)
Y(s)
Bieguny układu w pętli zamkniętej są funkcją wzmocnienia K:
Czujnik
1
- (�1 +� )+ (� +� )2 - 4�1� (1+ AK)
2 - 2 2
s1,2 =
31 2�1� 32
31 32
2
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
1 1
Pierwiastki lokują się w: - ,-
Im(s)
�1 �
2
dla otwartej pętli (K = 0) i zaczynają się do siebie zbliżać
2
(�1 -� )
2
wraz ze wzrostem wartości K poza przedział:
K =
4�1�2 A
(�1 -�2)2
0 < K < ,
K=0 K=0 4�1�2 A
co oznacza zmniejszenie stałej czasowej układu.
0
Re(s)
1 1
- -
(�1 -�2)2
� � K >
�1 +� Dla wartości:
2 2
2
-
4�1�2 A
2�1�
2
składowa rzeczywista pierwiastków nie zależy od K,
Lokalizacja biegunów na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej dla
natomiast składowa urojona rośnie i w ten sposób czas
zmieniającej się wartości K
odpowiedzi układu maleje.
33 34
33 34
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Najistotniejszym zadaniem regulatora całkującego jest
Lepsze sterowanie w stanach ustalonych, bez
zmniejszenie lub wyeliminowanie błędu w stanie ustalonym,
konieczności stosowania dużych wzmocnień można
lecz jest to okupione pogorszeniem odpowiedzi stanu
uzyskać wprowadzając regulator całkujący.
przejściowego.
Zakładając, że w układzie wprowadzimy dodatkowo
Równanie charakterystyczne dla układu z regulatorem
regulację całkującą, transmitancja regulatora przyjmie
całkującym:
postać:
K
�1� s3 + (�1 + � )s2 + s + A = 0
K
2 2
GR (s) = Ti
Tis
K
Zwiększanie wzmocnienia takiego układu doprowadzi
1
Ti
gdzie: jest miarą szybkości odpowiedzi
Ti
do nieznacznego przesunięcia pierwiastków dla danych
wartości K.
35 36
35 36
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Im(s)
Jeśli zwiększymy dynamikę odpowiedzi przy dużym
całkowitym wzmocnieniu, to odpowiedz
będzie miała
charakter oscylacyjny.
K=0 K=0
K=0
Sposobem uniknięcia takiej niekorzystnej cechy dla
0
Re(s)
niektórych przypadków jest jednoczesne zastosowanie
1
1
-
-
sterowania proporcjonalnego i całkującego.
�
�1
2
Pomimo tego, że regulacja całkowa polepsza śledzenie
odpowiedzi w stanach ustalonych, spowalnia jednak czas
odpowiedzi przy niezmiennym przeregulowaniu.
Lokalizacja pierwiastków równania charakterystycznego
37 38
37 38
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Przy równoczesnym zastosowaniu regulacji proporcjonalnej,
Tak jak w przypadku regulacji całkowej, gdy zakłócenie
czyli regulatora typu PI, napięcie sterujące dla rozważanego
&
& w = 0
(moment) i prędkość zadana są stałe, więc: z = 0 i
przypadku przyjmie postać:
Y (s)
t
Wtedy równanie charakterystyczne układu
Ą# ń# G(s) =
1
Ńa = K - y + - y)d�Ą# W (s)
ó#w
+"(w Ś#
Ti o
zapiszemy następująco:
Ł#
gdzie:
K
K - wzmocnienie proporcjonalne �1� s3 + (�1 + � )s2 + (1+ AK)s + A = 0
2 2
Ti
Równanie ruchu układu możemy zapisać jako:
Dobierając odpowiednio K i Ti, można niezależnie ustawić
wartości współczynników przy s i wartości stałe, i w ten
Ą# ń#
�# ś#
K
sposób niezależnie regulować dwa spośród trzech
&&& && & & & ś# ź# &
�1�2y + (�1 +�2)y + y = Aó#K[w- y]+ś# ź#(w- y)Ą# + Bz
Ti Ś#
�# # parametrów w równaniu charakterystycznym.
Ł#
39 40
39 40
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
W przypadku zastosowania regulacji różniczkującej
transmitancja regulatora:
u(t)
GR (s) = KTd s
W praktyce czysty element różniczkujący nie występuje.
Stosuje się go w połączeniu z proporcjonalnym i całkującym
TD
by zwiększyć tłumienie i poprawić stabilność układu.
2 3 4 t
0 15
Regulator z elementem różniczkującym generuje odpowiedz

Charakterystyka czasowa regulatora PD dla wzrastającego
z wyprzedzeniem. Odpowiedz
regulatora PD wyprzedza
błędu e(t)
odpowiedz
regulatora P o TD  sekund.
41 42
41 42
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Celem zmniejszenia błędów stanów ustalonych i przej-
Dla rozważanego przykładu regulacji prędkości silnika z
ściowych przy zachowaniu stabilności i odpowiedniego
regulatorem PID, napięcie sterujące przyjmuje postać:
tłumienia możemy połączyć wszystkie trzy rodzaje regulacji
i otrzymać regulację proporcjonalno - całkowo - różniczkową:
regulację proporcjonalno - całkowo - różniczkową
t
Ą# ń#
1
& &
va = K - y + - y)d� + TD (w - y)Ą#
ó#w Ti
+"(w
Regulatory PID są powszechnie stosowane w przemyśle.
PID
Ł# o Ś#
Ogólnie transmitancja regulatora PID przyjmuje postać:
Różniczkując równanie układu w pętli zamkniętej otrzymujemy:
�# ś#
1
ś# ź#
GR (s) = Kś#1+ + TDsź#
Tis
�# # Ą# ń#
K
&&& && & & & && y)Ą# + Bz
�1�2y +(�1 +�2)y + y = Aó#K[w- y]+ (w- y)+ KTD(w- && &
Ti
Ł# Ś#
By zaprojektować konkretny układ regulacji należy dobrać
stałe K, Ti i TD by osiągnąć zamierzony rezultat.
43 44
43 44
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Równanie charakterystyczne zapiszemy jako:
�1�2Tis3 +Ti[(�1 +�2)AKT]s2 +Ti(1+ AK)s+ AK=0
D
Jeśli równanie to podzielimy przez �1 �2 Ti, otrzymujemy
trzy współczynniki i trzy parametry (K, Ti i TD).
Dołączenie działania różniczkującego do takiego układu
pozwala na pełniejsze kształtowanie jego dynamiki.
Rozważmy omawiany silnik prądu stałego i przyjmijmy:
K = 5, TD = 0,0004 i Ti = 0,01.
Odpowiedzi układu na skokową zmianę zakłócenia
45 46
45 46
dla różnych regulatorów
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Zasady doboru funkcji przejścia typowych
Zasady doboru funkcji przejścia typowych
regulatorów liniowych
regulatorów liniowych
Regulator Przewidywane działanie regulatora
Zmiana uchybu statycznego, zmiana
P
przeregulowania i czasu regulacji
Skrócenie czasu regulacji, zmiana uchybu
PD
statycznego, zmiana przeregulowania
Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego, zmiana
PI
przeregulowania, wydłużenie czasu regulacji
Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego, zmiana
przeregulowania, nieduża zmiana lub skrócenie
PID
czasu regulacji
Odpowiedzi układu na skokową zmianę wartości zadanej
47 48
47 48
dla różnych regulatorów
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11 Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Wpływ nastaw regulatora na przebieg przejściowy Wpływ nastaw regulatora na przebieg przejściowy
Wpływ nastaw regulatora na przebieg przejściowy Wpływ nastaw regulatora na przebieg przejściowy
49 50
49 50
Automatyka i Robotyka Wykład nr 11
Wpływ nastaw regulatora na przebieg
Wpływ nastaw regulatora na przebieg
przejściowy
przejściowy
t
�# ś#
ś#e(t) 1 + Td de(t) ź#
u(t) = K +
p
+"e(t)dt dt #
ś# ź#
Ti
�# o
51 52
51 52