Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 10
Wykład 10
Podstawowe algorytmy
Podstawowe algorytmy
sterowania
sterowania
Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Plan wykładu:
Plan wykładu:
Sterowanie proporcjonalne
Sterowanie całkowe
Sterowanie proporcjonalno - całkowe
Sterowanie proporcjonalno - różniczkowe
Sterowanie proporcjonalno - całkowo - różniczkowe
Regulacja prędkości silnika prądu stałego
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Sterowanie proporcjonalne
Sterowanie proporcjonalne
W regulatorze z proporcjonalnym algorytmem sterowania
(typu P), związek pomiędzy sygnałem wyjściowym
regulatora u(t), a sygnałem uchybu e(t) jest następujący:
u(t) = K e(t)
p
gdzie: Kp jest nazwane wzmocnieniem proporcjonalnym
3
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Po zastosowaniu transformaty Laplace a:
U (s)
= K
p
E(s)
Regulator proporcjonalny jest wzmacniaczem z
nastawianym wzmocnieniem.
E(s)
U(s)
Kp
Kp

Schemat blokowy regulatora typu P
4
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Sterowanie całkowe
Sterowanie całkowe
W regulatorze z całkowym algorytmem sterowania, w
skrócie typu I, przyrost wartości sygnału wyjściowego u(t)
zmienia się proporcjonalnie do sygnału uchybu e(t), czyli:
du(t) 1
= Kie(t) = e(t)
dt Ti
lub:
t
u(t) = Ki
+"e(t)dt
o
gdzie: Ki  stała nastawna
5
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Transmitancja regulatora całkowego ma postać:
U (s) Ki 1
==
E(s) sTis
Jeśli wartość e(t) jest stała przez okres czasu Ti, to wartość
u(t) podwoi się po upływie tego czasu. Dla wartości uchybu
e(t) równego zero wartość u(t) pozostaje niezmienna.
E(s)
Ki
U(s)
s

Schemat blokowy regulatora typu I
6
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 1.
Sterowanie proporcjonalne układu poziomowania cieczy, przy
skokowym sygnale wejściowym, da uchyb w stanie
ustalonym. Uchyb może być wyeliminowany, jeśli regulator
będzie zawierał algorytm sterowania całkowego.
X + x
Q + q
i
H + h
C
Q + q0
R
7
Układ regulacji poziomu cieczy w zbiorniku
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Założenia:
Regulator jest regulatorem całkującym
Nie jest znany model układu - (może on być nieliniowy)
- dokonujemy jego linearyzacji wokół punktu pracy,
zakładając małe odchylenia x, qi, h i qo od ich wartości
w stanie ustalonym
Początek układu współrzędnych ustawiamy w punkcie
pracy, wtedy układ można traktować jako stabilny
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Schemat blokowy układu
E(s)
X(s)
H(s)
K R
 s RCs + 1
Transmitancja układu zamkniętego ma postać:
GR (s) Å" GO (s)
H (s) KR
= =
X (s) 1+ GR (s) Å"GO (s) RCs2 + s + KR
StÄ…d:
E(s) X (s) - H (s) RCs2 + s
= =
9
X (s) X (s) RCs2 + s + KR
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Uchyb statyczny
s(RCs2 + s) 1
eu = lim sE(s) = = 0
s0
s
RCs2 + s + KR
Wynika stąd, że sterowanie całkowe układem
poziomowania cieczy, eliminuje uchyb statyczny w
odpowiedzi na skokowy sygnał wejściowy.
10
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Sterowanie proporcjonalno-całkowe
Sterowanie proporcjonalno-całkowe
Algorytm pracy regulatora proporcjonalno-całkowego, w
skrócie typu PI, zdefiniowany jest wzorem:
t
K
p
u(t) = K e(t) + e(t)dt
p
+"
Ti o
a transmitancja regulatora ma postać:
ëÅ‚ öÅ‚
U (s) 1
ìÅ‚
= K
p
ìÅ‚1 + Ti s ÷Å‚
÷Å‚
E (s)
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie:
Kp - wzmocnienie proporcjonalne,
Ti - czas całkujący (czas zdwojenia).
11
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Stała czasowa całkowania Ti umożliwia zmianę
parametrów algorytmu całkowego
Zmiana wartości Kp wpływa zarówno na część
proporcjonalną, jak i na część całkową algorytmu
sterowania.
Odwrotność stałej czasowej Ti jest nazywana szybkością
działania całkującego.
E(s) ëÅ‚ öÅ‚
1 U(s)
ìÅ‚ ÷Å‚
KpìÅ‚1+
÷Å‚
Tis
íÅ‚ Å‚Å‚

Schemat blokowy regulatora typu PI
12
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
u(t)
Sterowanie PI
e(t)
Sygnał wejściowy
2K
p
K
p
t
Ti
0
Odpowiedz
skokowa regulatora typu PI
13
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Sterowanie proporcjonalno-różniczkowe
Sterowanie proporcjonalno-różniczkowe
Algorytm pracy regulatora proporcjonalno-różniczkowego, w
skrócie typu PD, zdefiniowany jest wzorem:
de(t)
u(t) = K e(t) + K Td
p p
dt
a transmitancja regulatora ma postać:
U (s)
= K (1 + Td s)
p
E(s)
gdzie:
Kp - wzmocnienie proporcjonalne,
Td - stała nazywana czasem różniczkującym
lub czasem wyprzedzenia
14
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Z algorytmem sterowania różniczkowego mamy do
czynienia, gdy wartość sygnału wyjściowego regulatora
jest proporcjonalna do szybkości zmiany sygnału uchybu.
Czas różniczkujący Td jest miarą, na ile sterowanie PD
wyprzedza sterowanie z regulatorem proporcjonalnym P.
E(s)
U(s)
( )
Kp 1+ Tds

Schemat blokowy regulatora typu PD
15
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
u(t)
Sterowanie PD
e(t)
Td
Sygnał wejściowy
t
0
Odpowiedz
liniowa regulatora typu PD
16
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Różniczkowy algorytm sterowania ma charakter
wyprzedzający.  Podbija on sygnał wyjściowy
Wada: wzmacnia sygnały szumów i może powodować
efekt nasycenia w urzÄ…dzeniu wykonawczym
Algorytm ten stabilizuje układ, nie pogarszając
właściwości dynamicznych, uchyb ustalony jest znacznie
większy niż przy algorytmie całkowym, przy
równoczesnym zwiększeniu zapasu stabilności
17
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Sterowanie proporcjonalno-różniczkowo-
Sterowanie proporcjonalno-różniczkowo-
całkowe
całkowe
Równanie regulatora PID ma postać:
t
K
de(t)
p
u(t) = K e(t) +
p p
+"e(t)dt + K Td dt
Ti o
a transmitancja regulatora ma postać:
ëÅ‚ öÅ‚
U (s) 1
ìÅ‚ ÷Å‚
= Kr ìÅ‚1+ + Td s÷Å‚
E(s) Tis
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie:
Kp - wzmocnienie proporcjonalne,
Ti - czas całkującym,
18
Td - czas różniczkujący.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Ten połączony algorytm ma zalety każdego z trzech
wcześniej wspomnianych algorytmów.
E(s)
( )
Kp 1+ Tis + TiTds2 U(s)
 Tis
Schemat blokowy regulatora typu PID
19
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Sterowanie PD
u(t)
Sterowanie PID
e(t)
Sygnał wejściowy
t
0
Odpowiedz
liniowa regulatora typu PID
20
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Regulacja prędkości silnika prądu stałego
Regulacja prędkości silnika prądu stałego
T
Åšm
Ra La
ia
.
<"
va
e = Ke
Åš
Jm
.
b
Åš
m
a) obwód elektryczny silnika b) model mechaniczny wirnika
prądu stałego silnika prądu stałego
21
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Moment bezwładności wirnika wynosi Jm, opory ruchu
reprezentuje współczynnik b, a moment czynny M = Ktia
Równanie dynamiczne ruchu układu ma postać:
&
J ¸& + b¸& = Ktia + M
m m m z
Równanie obwodu elektrycznego:
dia
La + Raia = va - Ke¸&
m
dt
22
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Jeżeli zdefiniujemy wektor stanu układu jako:
T
x = [¸m, ¸& , ia ]
m
to macierze układu i sterowania mają postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
0
1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Kt śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 - b
B = 0
A =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
Jm Jm śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 - Ke - Ra śł
ïÅ‚La śł
ïÅ‚ La La śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
23
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania układu zapiszemy w postaci:
&
Å„Å‚
Jm¸& + b¸& = Ktia + Mz
m m
ôÅ‚
òÅ‚
dia
+ La + Raia = va
ôÅ‚K ¸&
e m
dt
ół
gdzie: Mz jest momentem zakłócającym
24
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
"
y =¸&
Definiując sygnał wyjściowy i zakłócający
m
"
z = M
otrzymamy:
z
&
Jm y + by = Ktia + z
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚ dia
e
ôÅ‚K y + La dt + Raia = va
ół
Stosując przekształcenie Laplace a, przy zerowych
warunkach początkowych otrzymamy równania algebraiczne:
sJmY (s) + bY (s) = KtIa (s) + Z(s)
Å„Å‚
òÅ‚K Y (s) sLaIa (s) RaIa (s) Va (s)
+ + =
ół e
25
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Obliczamy Y(s):
A B
Y (s) = Va (s) + Z(s)
(Ä1s +1)(Ä2s +1) (Ä1s +1)(Ä2s +1)
Kt
1
A =
gdzie:
B =
bRa + Kt Ke
bRa + KtKe
(JmRa + bLa )+ (JmRa + bLa )2 - 4JmLa (bRa + Kt Ke )
-
-
Ä1,1 =
2
2JmLa
La
Ä2 =
Jeżeli b=0 i La jest małe, wtedy stała nazywana
Ra
RaJm
Ä1 =
jest elektryczną stałą czasową zaś stała
KtKe
26
nazywana jest elektromechaniczną stałą czasową.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Schemat blokowy układu regulacji prędkości
Schemat blokowy układu regulacji prędkości
Z(s)
B
A
Silnik
Va
E(s)
W(s)
Y(s)
A
Regulator
(Ä1s + 1)(Ä2s + 1)

Y(s)
Czujnik
1
27
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zakładając, że w układzie zastosowany będzie regulator typu P,
dla którego:
A
GO (s) =
GR(s) = K,
(Ä1s +1)(Ä s +1)
2
1
Równanie charakterystyczne pętli zamkniętej:
1+ GR (s)GO (s)
ma postać: Ä1Ä s2 + (Ä1 +Ä )s +1+ AK = 0
2 2
Bieguny układu w pętli zamkniętej są funkcją wzmocnienia K:
- (Ä1 +Ä )+ (Ä +Ä )2 - 4Ä1Ä (1+ AK)
2 - 2 2
s1,2 =
28
2Ä1Ä
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Im(s)
2
(Ä1 -Ä2)
K =
4Ä1Ä2 A
K=0 K=0
0
Re(s)
1 1
- -
Ä2 Ä2
Ä1 +Ä2
-
2Ä1Ä2
Lokalizacja biegunów na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej dla
zmieniającej się wartości K
29
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
1 1
- ,-
Pierwiastki lokujÄ… siÄ™ w:
Ä1 Ä2
dla otwartej pętli (K = 0) i zaczynają się do siebie zbliżać
wraz ze wzrostem wartości K poza przedział:
(Ä1 -Ä2)2
0 < K < ,
4Ä1Ä2 A
co oznacza zmniejszenie stałej czasowej układu.
(Ä1 -Ä2)2
K >
Dla wartości:
4Ä1Ä2 A
składowa rzeczywista pierwiastków nie zależy od K,
natomiast składowa urojona rośnie i w ten sposób czas
30
odpowiedzi układu maleje.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Lepsze sterowanie w stanach ustalonych, bez
konieczności stosowania dużych wzmocnień można
uzyskać wprowadzając regulator całkujący.
Zakładając, że w układzie wprowadzimy dodatkowo
regulację całkującą, transmitancja regulatora przyjmie
postać:
K
GR (s) =
Tis
1
gdzie: jest miarą szybkości odpowiedzi
Ti
31
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Najistotniejszym zadaniem regulatora całkującego jest
zmniejszenie lub wyeliminowanie błędu w stanie ustalonym,
lecz jest to okupione pogorszeniem odpowiedzi stanu
przejściowego.
Równanie charakterystyczne dla układu z regulatorem
całkującym:
K
Ä1Ä s3 + (Ä1 + Ä )s2 + s + A = 0
2 2
Ti
K
Zwiększanie wzmocnienia takiego układu doprowadzi
Ti
do nieznacznego przesunięcia pierwiastków dla danych
wartości K.
32
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Im(s)
K=0 K=0
K=0
0
Re(s)
1
1
-
-
Ä2
Ä1
Lokalizacja pierwiastków równania charakterystycznego
33
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Jeśli zwiększymy dynamikę odpowiedzi przy dużym
całkowitym wzmocnieniu, to odpowiedz
będzie miała
charakter oscylacyjny.
Sposobem uniknięcia takiej niekorzystnej cechy dla
niektórych przypadków jest jednoczesne zastosowanie
sterowania proporcjonalnego i całkującego.
Pomimo tego, że regulacja całkowa polepsza śledzenie
odpowiedzi w stanach ustalonych, spowalnia jednak czas
odpowiedzi przy niezmiennym przeregulowaniu.
34
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przy równoczesnym zastosowaniu regulacji proporcjonalnej,
czyli regulatora typu PI, napięcie sterujące dla rozważanego
przypadku przyjmie postać:
t
îÅ‚ Å‚Å‚
1
Ńa = K
ïÅ‚w - y + Ti
+"(w - y)d·śł
ðÅ‚ o ûÅ‚
gdzie:
K - wzmocnienie proporcjonalne
Równanie ruchu układu możemy zapisać jako:
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
K
&&& && & & & ìÅ‚ ÷Å‚
&
Ä1Ä2 y + (Ä1 +Ä2)y + y = AïÅ‚K[w- y]+ìÅ‚ ÷Å‚(w- y)śł + Bz
Ti
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
35
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Tak jak w przypadku regulacji całkowej, gdy zakłócenie
&
& w = 0
(moment) i prędkość zadana są stałe, więc: z = 0 i
Y (s)
Wtedy równanie charakterystyczne układu
G(s) =
W (s)
zapiszemy następująco:
K
Ä1Ä s3 + (Ä1 + Ä )s2 + (1+ AK )s + A = 0
2 2
Ti
Dobierając odpowiednio K i Ti, można niezależnie ustawić
wartości współczynników przy s i wartości stałe, i w ten
sposób niezależnie regulować dwa spośród trzech
parametrów w równaniu charakterystycznym.
36
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
W przypadku zastosowania regulacji różniczkującej
transmitancja regulatora:
GR (s) = KTd s
W praktyce czysty element różniczkujący nie występuje.
Stosuje się go w połączeniu z proporcjonalnym i całkującym
by zwiększyć tłumienie i poprawić stabilność układu.
Regulator z elementem różniczkującym generuje odpowiedz

z wyprzedzeniem. Odpowiedz
regulatora PD wyprzedza
odpowiedz
regulatora P o TD  sekund.
37
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
u(t)
TD
23 4 t
0 15
Charakterystyka czasowa regulatora PD dla wzrastajÄ…cego
błędu e(t)
38
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Celem zmniejszenia błędów stanów ustalonych i przej-
ściowych przy zachowaniu stabilności i odpowiedniego
tłumienia możemy połączyć wszystkie trzy rodzaje regulacji
i otrzymać regulację proporcjonalno - całkowo - różniczkową:
Regulatory PID są powszechnie stosowane w przemyśle.
Ogólnie transmitancja regulatora PID przyjmuje postać:
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
GR (s) = KìÅ‚1+ + TDs÷Å‚
Tis
íÅ‚ Å‚Å‚
By zaprojektować konkretny układ regulacji należy dobrać
stałe K, Ti i TD by osiągnąć zamierzony rezultat.
39
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dla rozważanego przykładu regulacji prędkości silnika z
regulatorem PID, napięcie sterujące przyjmuje postać:
t
îÅ‚ Å‚Å‚
1
& &
va = K
ïÅ‚w - y + Ti
+"(w - y)d· + TD (w - y)śł
ðÅ‚ o ûÅ‚
Różniczkując równanie układu w pętli zamkniętej otrzymujemy:
îÅ‚ Å‚Å‚
K
&&& && & & & && && &
Ä1Ä2y +(Ä1 +Ä2)y + y = AïÅ‚K[w- y]+ (w- y)+ KTD(w- y)śł + Bz
Ti
ðÅ‚ ûÅ‚
40
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne zapiszemy jako:
Ä1Ä2Tis3 +Ti[(Ä1 +Ä2)AKT]s2 +Ti(1+ AK)s+ AK=0
D
JeÅ›li równanie to podzielimy przez Ä1 Ä2 Ti, otrzymujemy
trzy współczynniki i trzy parametry (K, Ti i TD).
Dołączenie działania różniczkującego do takiego układu
pozwala na pełniejsze kształtowanie jego dynamiki.
Rozważmy omawiany silnik prądu stałego i przyjmijmy:
K = 5, TD = 0,0004 i Ti =0,01.
41
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Odpowiedzi układu na skokową zmianę zakłócenia
dla różnych regulatorów
8
6
4
2
PI P
0
PID
-2
-4
-6
0 1 2 3 4 5 6
42
Czas
Amplituda
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Odpowiedzi układu na skokową zmianę wartości zadanej
dla różnych regulatorów
1.8
1.6
1.4
1.2
PID PI
1
P
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6
43
Czas
Amplituda