Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2010
W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są
inaczej sformułowane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oraz inne odpowiedzi, nieprzewidziane
w kluczu, ale poprawne.
Numer Suma
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
1. rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt
Zdający sprowadzi wyrażenie do najprostszej postaci
^9x2 - 4h + 1h ^3x - 2h^3x + 2h^x + 1h ^3x + 2h^3x - 2h^x + 1h
^x
3x - 2
= = = ,
^x x
3x3 + 2x2 - 3x - 2 ^3x + 2h$x2 -^3x + 2h - 1h^x + 1h^3x + 2h - 1
2
gdzie x ! 1, x !-1, x !- .
3
pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Zdający zapisze iloraz w postaci sumy dwóch składników, z których jeden jest liczbą
całkowitą.
Np.:
3x - 23(x - 1) + 1 1
= = 3 +
x - 1 x - 1 x - 1
rozwiązanie zadania do końca, ale z usterkami 3 pkt
Zdający rozważy tylko dzielniki liczby 1, będące liczbami naturalnymi, lub nie sprawdzi,
czy znalezione liczby należą do dziedziny wyrażenia.
rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający zauważy, że wartość wyrażenia jest liczbą całkowitą, gdy x - 1 jest dzielnikiem 1.
x - 1 = 1 lub x - 1 =-1
ZdajÄ…cy zapisze odpowiedz
.
x = 2 lub x = 0  obie te liczby należą do dziedziny wyrażenia.
2. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający wyróżni przedziały: ]-3, - 2g, -2, 4h, 4,3).
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zapisze równanie w poszczególnych przedziałach.
Np.:
x ! (-3, - 2) -x - 2 + x - 4 = 6
x ! -2, 4h x + 2 + x - 4 = 6
x ! 4,3) x + 2 - x + 4 = 6
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający rozwiąże równania.
Zdający ustali, że
dla x ! (-3, - 2) równanie nie ma rozwiązania,
dla x ! -2, 4h równanie nie ma rozwiązania,
dla x ! 4,3) równane jest tożsamościowe  każda liczba rzeczywista należąca do tego
przedziału spełnia równanie.
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Suma
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
rozwiązanie pełne 4 pkt
ZdajÄ…cy poda odpowiedz
:
Do przedziału 4,3) należy co najmniej jedna liczba niewymierna, np. 39 . Liczba ta
należy do zbioru rozwiązań równania.
3. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający obliczy długość r promienia okręgu i jego średnicę d.
2rr = 13r
r = 6,5
d = 13
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zauważy, że przekątna trapezu jest prostopadła do jednego z ramion (kąt wpisany
oparty na średnicy jest prosty) i obliczy długość x tego ramienia.
x2 + 122 = 132, x = 5
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy wysokość trapezu.
60
13$h = 12$5, h =
13
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający zauważy, że trapez jest równoramienny i obliczy długość krótszej podstawy.
119
b =
13
rozwiązanie pełne 5 pkt
ZdajÄ…cy obliczy pole trapezu.
1d13 119n$ 60 21
P = + = 51
2 13 13 169
4. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
ZdajÄ…cy zapisze wielomian W(x) za pomocÄ… wielomianu niezerowego Q(x), wielomianu
P(x) i reszty R(x) = ax2 + bx + c.
W(x) = Q(x)$P(x) + ax2 + bx + c
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zauważy, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x - a jest równa W(a)
i zapisze odpowiednie równości.
a + b + c = 1
a - b + c =-1
4a - 2b + c = 3
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający rozwiąże otrzymany układ równań.
5
a = , b = 1, c =-5
3 3
rozwiązanie pełne 4 pkt
ZdajÄ…cy zapisze resztÄ™.
5 5
R(x) = x2 + x -
3 3
5. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający obliczy wyróżnik trójmianu.
D =^m - 5h2 - 4^m - 7h= m2 - 14m + 53
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Suma
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zapisze wyróżnik np. w postaci D =^m - 7h2 + 4 i stwierdzi, że wartość tego
wyrażenia jest zawsze dodatnia, zatem równanie ma dla każdej liczby rzeczywistej m
dwa różne pierwiastki.
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
ZdajÄ…cy zapisze warunek podany w zadaniu, wykorzystujÄ…c np. wzory Viete a.
x1 + x2
x12 + x22 =^ h2 - 2x1x2 = - 5)@2 - 2$(m - 7) = m2 - 12m + 39
6-(m
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający zapisze sumę kwadratów pierwiastków równania w postaci
x12 + x22 = (m - 6)2 + 3.
rozwiązanie pełne 5 pkt
Zdający stwierdzi, że wartość wyrażenia ^m - 6h2 + 3 jest najmniejsza, gdy m = 6.
6. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający obliczy wysokość H graniastosłupa i długość x jego krawędzi podstawy.
6x + 3H = 60
6x + 3(x + 2) = 60
x = 6, H = 8
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający sporządzi rysunek graniastosłupa, zaznaczając odpowiedni przekrój lub narysuje
odpowiedni trójkąt.
c
a
x
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający obliczy długość c przekątnej ściany bocznej graniastosłupa i długość ramienia a
trójkąta, będącego przekrojem.
c = 62 + 82 = 10
a = 62 + 42 = 52
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający stwierdzi, że rozpatrywany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie
10 i ramieniu 52 i obliczy wysokość tego trójkąta.
h = 52 - 25 = 27
rozwiązanie pełne 5 pkt
ZdajÄ…cy obliczy pole przekroju.
1
P = $10$ 27 = 15 3
2
www. operon. pl
3
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Suma
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
7. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający przekształci rozpatrywane wyrażenie, wykorzystując odpowiednie wzory.
cos(a + b)$cos]a - bg=]cos a cos b - sin a sin bg]cos a cos b + sin a sin bg=
= cos2a cos2b - sin2a sin2b
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający wykorzysta związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta do
zapisania wyrażenia za pomocą jednej funkcji trygonometrycznej.
Np.:
cos2a cos2b - sin2a sin2b = cos2a cos2b -^1 - cos2ah^1 - cos2bh.
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający przekształci otrzymane wyrażenie do postaci
cos2a + cos2b - 1.
rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający zauważy, że cos2a + cos2b G 2, zatem cos2a + cos2b - 1 G 1.
8. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający wykaże, że utworzone w ten sposób czworokąty są kwadratami  C1 jest
rombem, w którym każdy kÄ…t ma miarÄ™ 90°, jest wiÄ™c kwadratem. Podobnie nastÄ™pne
czworokÄ…ty sÄ… kwadratami.
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający wykaże, że pole każdego z następnych kwadratów jest równe połowie pola
kwadratu, z którego powstał.
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zauważy, że ciąg pól tworzonych kwadratów jest ciągiem geometrycznym
1
o pierwszym wyrazie 8 i ilorazie .
2
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający zastosuje wzór na sumę m wyrazów ciągu geometrycznego, tworząc i rozwiązując
odpowiednie równanie.
1lm
1 -b
3
2
8$ = 15
1 4
1 -
2
1lm 63
1 -b
=
2 64
1lm 1
b
=
2 64
m = 6
rozwiązanie pełne 5 pkt
ZdajÄ…cy wyznaczy liczbÄ™ n.
n = 6 - 1 = 5
www. operon. pl
4
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Suma
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
9. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający zapisze za pomocą wyrażenia algebraicznego prawdopodobieństwo wyciągnięcia
dwóch skarpetek zielonych.
x  liczba skarpetek zielonych
x x - 1
P(ZZ) = $
3x 3x - 1
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zapisze za pomocą wyrażenia algebraicznego prawdopodobieństwo wyciągnięcia
dwóch skarpetek różnych kolorów.
x 2x 2x x
P(RK) = $ + $
3x 3x - 1 3x 3x - 1
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze odpowiednie równanie i sprowadzi je do najprostszej postaci.
x x - 1 13 x 2x 2x x
$ + = $ + $
3x 3x - 1 33 3x 3x - 1 3x 3x - 1
x - 1 39 4x
+ =
3x - 1 33 3x - 1
rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Zdający rozwiąże równanie  obliczy liczbę skarpetek zielonych.
x = 4
rozwiązanie pełne 5 pkt
ZdajÄ…cy poda liczbÄ™ wszystkich skarpetek: 4 + 8 = 12.
10. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający zapisze równanie okręgu ^x - 2h2 +^y - 1h2 = 17 i zauważy, że każdy punkt
leżący na osi OX ma współrzędne ]x, 0g.
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający wyznaczy współrzędne punktów przecięcia okręgu z osią OX .
x h2
^ - 2 + 1 = 17
(x - 2)2 - 16 = 0
x - 2 - 4 = 0 lub x - 2 + 4 = 0
x = 6 lub x =-2
A =]6, 0g
B = (- 2, 0)
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający wyznaczy długość odcinka AB : AB = 8 oraz odległość d punktu C od osi
OX .
1
$8$d = 24
2
d = 6
rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności 4 pkt
rozwiązania (np. błędy rachunkowe)
www. operon. pl
5
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Suma
ZdajÄ…cy otrzymuje po 1 punkcie za
zadania punktów
rozwiązanie pełne 5 pkt
Zdający wyznaczy pierwszą współrzędną punktu C, wiedząc, że druga współrzędna jest
równa 6 lub -6.
3x - 6 + 3 = 0 lub 3x -^-6h+ 3 = 0
x = 1 lub x =-3
Zdający poda współrzędne punktu C.
C =]1, 6g lub C =^-3, - 6h
11. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego 1 pkt
rozwiÄ…zania
Zdający zauważy, że wykres funkcji f powstał w wyniku przekształcenia przez symetrię
względem osi OX wykresu funkcji sin ax oraz dwukrotnego  rozciągnięcia go wzdłuż
osi OY .
Okresem funkcji sin ax jest r, stÄ…d a = 2.
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zapisze wzór funkcji.
f(x) = 2(- sin 2x) =-2 sin 2x
pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze i przekształci odpowiednie równanie
-2 sin 2x =- 3
3
sin 2x =
2
r r
2x = + 2kr lub 2x = r - + 2kr, k ! C
3 3
rozwiązanie pełne 4 pkt
Zdający poda rozwiązanie równania.
r r
x = + kr lub x = + kr dla k ! C
6 3
www. operon. pl
6