6700449976

Kwantyfikatory 11

Zbiór elementów, które po podstawieniu w miejsce x dadzą sensowne wyrażenie, nazywamy dziedziną danej formy zdaniowej. Wszystkie elementy z dziedziny, które po podstawieniu w miejsce x dadzą zdanie prawdziwe, tworzą zbiór elementów spełniających daną formę zdaniową.

Formy zdaniowe zmiennej x oznaczać będziemy p(x), q(x) itd., jej dziedzinę odpowiednio D_P(_Xy D_q^_X) itd. Zbiór elementów spełniających daną formę zdaniowąp(x) oznaczamy {x: p(x)}.

Przykład

Dana jest forma zdaniowa zmiennej x p(x): x² — 4 = 0. Dziedziną jej jest zbiór liczb rzeczywistych, D_p^ = R Wyznaczyć zbiór elementów spełniających tę formę zdaniową.

Aby ze zbioru liczb rzeczywistych wybrać te, które spełniają formę zdaniową, wystarczy rozwiązać równanie x² — 4 = 0. Nietrudno zauważyć, że równość ta jest prawdziwa, gdy x = 2 lub x = — 2. Zatem {x: p(x)} = {—2,2}.

1.4. Kwantyfikatory

W matematyce często używamy wyrażeń: „dla każdego x...”, czy „istnieje takie x, że...”. Wyrażenia te nazywane są kwantyfikatorami, odpowiednio ogólnym i szczegółowym, które pozwalają zastosować skróty w zapisie.

Definicja

Wyrażenie dla każdego x... nazywamy kwantyfikatorem ogólnym i zapisujemy go V_x (można spotkać oznaczenie A*).

Definicja

Wyrażenie istnieje takie x, że... nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym i zapisujemy go 3_X (można spotkać oznaczenie V_x).

Przykład

Zdanie: „istnieje liczba rzeczywista spełniająca równanie x² — 3x = 0 z użyciem symbolu kwantyfikatora zapiszemy: S_XER x² — 3x = 0.

Uwaga

Forma zdaniowa jednej zmiennej poprzedzona kwantyfikatorem staje się zdaniem.