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e nello spazio come sezioni piane di superfici quadriche_/ pur ricca di brillanti intuizioni, non prescnta clementi di sostanziale novita rispetto alle conoscenze deH'epoca, si ricorda infatti a tal proposito che gli studi di Desargues, di Pascal, di De la Hire e di Le Poivre avevano gia arricchito di generalita la teoria delle sezioni coniche.

Diversamente lo studio che segue rivolto alle curve del quarto ordine, a Hora definite genericamente "curve a doppia curvatura", costituisce la novitó rivo-luzionaria del primo libro poiche studi sistematici su questo genere di curve compaiono per la prima volta nella contemporanea pubblicazione del matema-tico Clairaut, ma non erano State indagate sino ad allora dal punto di vista della geometria dello spazio²⁹.

Clairaut aveva esteso i principi cartesiani allo spazio a tre dimensioni de-scrivendo le curve gobbe alTinterno di un angolo solido retto, inserendole, in altre parole, in un sistema cartesiano a tre dimensioni. Ogni curva e cosi definita da due delle tre curve piane derivate dalia proiezione ortogonale della stessa sui piani cartesiani (fig. 7); dalie equazioni delle tre "curve proiezione", scelte a coppie di due, si ricava quella incognita della curva a doppia curyatura³⁰. Seb-bene l'obiettivo del matematico Clairaut fosse quello di determinare l'equazione di una curva a doppia curvatura, la dimostrazione delle conclusioni algebriche passava attraverso una lucida analisi geometrica dei probierni particolari propo-sti, partendo dal presupposto che qualsiasi curva a doppia curvatura pub inten-dersi derivata dalTintersezione di due o piu superfici curve. Di un certo interesse b 1'indagine relativa ai casi particolari di intersezioni fra quadriche in cui le curve

^?i) Le curve a doppia curvatura erano conosciutc sin dalFantichi-t<ł, e anchc i moderni vi rivolsero le loro attenzioni, tuttavia una tratta-zione completa ed esaustiva sull'ar-gomento si deve a Clairaut che, nel 1731, espose per la prima volta in maniera sistematica la dottrina delle coordinate nello spazio applica-te alle superfici curve e alle linee a doppia curvatura che nascono dalie loro intersezioni, nelFopera intitolata Rcchcrche sur les courbes a double com-bure, composta alFeta di scdici anni.

³⁰ Generalmente Clairaut dispo-ne i tre piani di proiezione secondo i piani di simmetria ortogonale delle quad riche; quando questa condizio-ne si verifica, le curve proiezione della quartica intersezione sono coniche.

7 - Metodo di Clairaut per cotisiderare le curve a doppia curimtura; fig. i planche l del trattato e ricostruzione

II ruolo di Amedee l-ranęois Frezier nella nascita della Geometria Descrittiva 37