8857686338

2

Portfel P nazwiemy arbitrażowym dla inwestora którego horyzont inwestycyjny wynosi T dni jeśli (i) P nie wymaga własnego kapitału; oraz (ii) niezależnie od scenariusza (czyli tego co się stanie po T dniach od dziś) zysk z portfela P będzie > 0.

Jeśli P =(jc,,x₂,...,x„)jest portfelem, zaś R = (r_x,r₂,...,r_n)-wektorem stóp zwrotu z inwestycji „1”, „2”,    „n” w które zainwestowano odpowiednio x, zł, x₂zł, ...,

x_n zł to

(4)    (P,R) = X^X'^/' J^{est z}Y^skiem z portfela P .

Np. P=(6000,4000,1000), zaś rentowności z tych 3-ech inwestycji dane są wektorem R=(10%, 7%, -5%). Wówczas zysk wyniesie (P,R> = 600 + 280 - 50 = 830 zł. Obliczmy teraz sami zysk z portfela P=( 1000,4000,6000) gdy R=(10%, 7%, -5%).

(P,R) = ?

Przykład 1. Załóżmy że jeśli wybory parlamentarne wygra PiS, to stopy zwrotu z inwestycji w nieruchomości wyniosą 30%, w bony skarbowe 5%, zaś w akcje spółek wchodzących do indeksu WIG20 będą równe -10%, a więc wektor stóp zwrotu

R^PlS = | ———,—— |. Jeśli z kolei wygra PO, to wektor stóp zwrotu z wymienio-

1,100, 100 100 J

nych powyżej 3 inwestycji wyniesie R^po =    j • Udowodnij że portfel

P = (4000, -9000, 5000) jest arbitrażowy.

Rozwiązanie. Od razu widać że P nie wymaga własnego kapitału oraz że są tu 2 scenariusze „pokrywające” wszystkie przypadki: scenariusz nr.l - wygra PiS oraz scenariusz nr. 2 - wygra PO. Pozostaje upewnić się że zysk z portfela P w każdym z 2 scenariuszy będzie > 0. W tym celu skorzystamy ze wzoru (4), otrzymując

(5)    (P,R^PiS > = 4000| — 1 - 9000( — | + 5000| — j = 1200 - 450 - 500 = 250 zł,

UooJ    UooJ    uoo J

(6)    (P,R^po ) = 4000| —— | - 9000| — | + 5000| — | = -400 - 450 +1000 = 150 zł,

UooJ    UooJ    UooJ

co kończy dowód.