Próbny egzamin maturalny z matematyki 1
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA
POZIOM PODSTAWOWY
Numer Liczba
Etapy rozwiązania zadania Uwagi dla egzaminatorów
zadania punktów
Końce przedziału muszą być
poprawnie ustalone.
Zapisanie dziedziny funkcji f: -7, 2 .
1.1 1
Akceptujemy zapisy typu:
x " - 7, 2 , - 7 d" x d" 2 .
Miejsca zerowe mogą być odczytane
1
Podanie miejsc zerowych funkcji: x = -4, x = .
1.2 1 z wykresu, nie wymagamy zapisu
4
stosownych obliczeń.
Naszkicowanie wykresu funkcji
y
8
7
6
1
5 Jeśli dziedzina została poprawnie
4
wyznaczona, to akceptujemy wykres
1.3 1
3
nawet bez wyraz
nie oznaczonych
2
końców łamanej.
1
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
Końce przedziału muszą być
poprawnie ustalone.
Zapisanie zbioru wartości funkcji: -1,7 .
1.4 1
Akceptujemy zapisy typu:
y " -1,7 , -1 d" y d" 7 .
Próbny egzamin maturalny z matematyki 2
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Obliczenie: � = 6�"6 = 36 .
2.1 1
Obliczenie A , gdzie A jest zdarzeniem, że utworzona liczba jest
2.2 1
większa od 52: A = 1�" 4 +1�"6 = 10 .
Zdający może narysować tabelę
o wymiarach 6 na 6 i odczytać
10 5
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A) = = .
2.3 1 rozwiązanie. Za prawidłową
36 18
odpowiedz
przyznajemy komplet
punktów.
II sposób rozwiązania (metoda drzewa):
Narysowanie drzewa z zaznaczeniem istotnych gałęzi.
2
2.1 1
5 6
3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
2.2 Zapisanie prawdopodobieństw na istotnych gałęziach drzewa. 1
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:
1 1 1 5
2.3 1
P(A) = �" �" 4 + = .
6 6 6 18
Próbny egzamin maturalny z matematyki 3
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
siną
Wykorzystanie związku tgą = w przekształcaniu tożsamości.
3.1 1
cosą
Punkt przyznajemy za poprawne
1- sin2 ą
Przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci: .
3.2 1 wymnożenie nawiasów na dowolnym
cosą
3
etapie rozwiązania tego zadania.
Wykorzystanie związku sin2ą + cos2ą = 1 w przekształcaniu
3.3 1
tożsamości.
Sformułowanie wniosku:  Podana równość jest tożsamością lub Wniosek musi być konsekwencją
3.4 1
sformułowanie równoważne. wykonanych przekształceń.
3
1+ 27
( )
4
Wystarczy zapis S7 = (nie
3
Obliczenie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
musi być to oddzielny zapis, może
1 129
4.1 1
S7 = (1+ 27)= . występować, np. jako jedna ze stron
4 4
równania w czynności 4.3).
Zdający nie musi obliczyć wartości
sumy S7 .
Zapisanie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
4
Nie musi to być oddzielny zapis, może
3
4.2 2�" + 6r 1 występować, np. jako jedna ze stron
4
w zależności od r: S7 = �"7 .
równania w czynności 4.3.
2
3 3
2�" + 6r 2�" + 6r
1 129
4.3 1
4 4
Ułożenie równania z niewiadomą r: �"7 = 1+ 27 . Może też być: �"7 = .
( )
24 24
9
Rozwiązanie równania: r = .
4.4 1
7
Próbny egzamin maturalny z matematyki 4
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Przyznajemy 1pkt za przedstawienie
metody rozwiązania nierówności
kwadratowej: np. zapisania podanej
Przekształcenie nierówności do postaci: x(x - 4) < 0.
5.1 1
nierówności w postaci: x - 2 < 2 lub
narysowanie wykresu funkcji
2
y = (x - 2) - 4 , itp.
Dopuszczamy przedstawienie zbioru
rozwiązań na osi liczbowej, o ile
Rozwiązanie nierówności: x " (0,4).
5.2 1
zdający wyraz
nie zaznaczy przedział
otwarty.
Lewa strona równania musi mieć
Przedstawienie równania w postaci, np. x2 x + 6 - 4 x + 6 = 0 .
5.3 ( ) ( ) 1 postać sumy iloczynów, w których
5
występuje ten sam czynnik.
Przedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych,
5.4 1
np. x + 6 x + 2 x - 2 = 0 .
( )( )( )
Przyznajemy punkty w czynności 5.3,
5.4 i 5.5, gdy zdający podaje
wszystkie pierwiastki wielomianu
Wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: x = -6, x = -2, x = 2 . W x = x3 + 6x2 - 4x - 24 bez
5.5 1 ( )
jakichkolwiek obliczeń (np. przez
zastosowanie tw. o pierwiastkach
wymiernych wielomianu).
5.6 Podanie odpowiedzi: x = 2 . 1
Próbny egzamin maturalny z matematyki 5
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Przyznajemy punkt, gdy z dalszego
Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: AC = BC .
6.1 1 toku rozumowania wynika, że zdający
poprawnie wybrał równe boki trójkąta.
Wystarczy, że zdający poda
Wyznaczenie równania prostej AB: y = -x - 5 .
6.2 1
współczynnik kierunkowy prostej AB.
Wystarczy, że zdający poda
Zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej AB:
6.3 1 współczynnik kierunkowy prostej
y = x + b .
prostopadłej do prostej AB.
Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: y = x -1.
6.4 1
II sposób rozwiązania: (z własności symetralnej)
Oznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej,
6.1 1
np. P = x, y i zapisanie własności AP = BP .
( )
Wyznaczenie długości odcinków AP i BP i zapisanie równania:
6
6.2 1
22 2
x + 4 + y +1 = x2 + y + 5 .
( ) ( ) ( )
Doprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z
6.3 1
dwiema niewiadomymi, np. 8x + 2y +17 = 10y + 25 .
Zapisanie odpowiedzi: y = x -1.
6.4 1
III sposób rozwiązania:
6.1 1
Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości: AC = BC .
Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB: D = -3 .
) 1
6.2 (-2,
Przyznajemy punkt, gdy z toku
Zauważenie, że prosta przechodząca przez punkty C i D jest osią rozumowania wynika, że zdający
6.3 1
symetrii trójkąta ABC. stosując tę metodę poprawnie wybrał
równe boki trójkąta.
Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta: y = x -1.
6.4 1
Próbny egzamin maturalny z matematyki 6
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Jeśli zdający rozpatruje ostrosłup
prawidłowy inny niż czworokątny, to
oceniamy czynność 7.1, za czynności
7.2 i 7.3 nie przyznajemy punktów.
Pozostałą część rozwiązania tego
zadania oceniamy według schematu.
H
7.1 1
ą
d
a
7
Obliczenie wysokości ostrosłupa: H = 2 .
Obliczenie długości przekątnej podstawy ostrosłupa: d = 4 3
7.2 1
albo długości krawędzi podstawy: a = 2 6 .
7.3 Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 16. 1
Oznaczenie długości krawędzi sześcianu, np. b i zapisanie równania:
7.4 1
b3 = 16 .
Zdający może podać wynik w postaci,
3
7.5 1
Obliczenie długości krawędzi sześcianu: b = 23 2 . np. b = 16 lub wartość przybliżoną
pierwiastka.
Obliczenie kapitału końcowego: K3 = 9�"1029 = 9261.
8.1 1
Zapisanie równania z niewiadomą K0  kapitałem początkowym:
3
8 8.2 1
5
ś#
K0 �"�#1+ = 9261.
ś# ź#
100
�# #
Obliczenie kwoty K0 : 8000 zł.
8.3 1
Próbny egzamin maturalny z matematyki 7
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Wprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku:
x = PB , h  wysokość odciętego trójkąta.
C
F
9 9.1 1
h
B
A x
D
P
Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków:
AD = 6 , DB = 12 .
1 1 1
Zapisanie równania: x �" h = �" �"18�"15.
9.2 1
2 4 2
Zapisanie zależności między x i h z wykorzystaniem podobieństwa
h 15 5
9.3 1
trójkątów CDB i FPB: = = .
x 12 4
Obliczenie długości odcinka PB: PB = 3 6 cm.
9.4 1
Próbny egzamin maturalny z matematyki 8
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
II sposób rozwiązania:
Wprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku:
x = PB , h  wysokość odciętego trójkąta.
C
F
9.1 1
h
B
A x
D P
Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków:
AD = 6 , DB = 12 .
P"DBC 2 2
Obliczenie proporcji: = stąd P"DBC = P"ABC .
9.2 1
P"ABC 3 3
Stwierdzenie, że "DBC <" "PBF i wykorzystanie twierdzenia o
2
ś#
P"DBC �# 12
stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji: =
ś# ź#
ź#
P"PBF ś# PB
�# #
9.3 1
2
P"ABC �# 12 ś#2
3
stąd = .
ś# ź#
ś# ź#
1
P"ABC �# PB #
4
2
144
3
Obliczenie długości odcinka PB : = , PB = 3 6 .
9.4 1
2
1
PB
4
Próbny egzamin maturalny z matematyki 9
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
III sposób rozwiązania: (czynności 9.3 oraz 9.4)
Stwierdzenie, że "DBC <" "PBF i wykorzystanie twierdzenia
o stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji:
2
9.3 1
P"DBC 3 P"ABC 8 2 6
k2 = == stąd k = .
P"PBF 1 P"ABC 3 3
4
Obliczenie długości odcinka PB:
DB
3
9.4 1
= k stąd PB =12�" = 3 6 .
PB
2 6
100a +10b = 20
ż#
ż#T 10 = 20
( )
�#
Zapisanie układu:
�#900a + 30b = 90 .
Wystarczy zapis
10.1 1
�#
�#
( )
�#T 30 = 90
�#
1
ż#a =
�#
�#
20
Rozwiązanie układu: .
10.2 1
�#
�#b = 3
�#
10
�# 2
1 3 Akceptujemy sam wzór bez podania
Zapisanie wzoru funkcji: T(n) = n2 + n, n " N .
10.3 1
założenia n " N .
20 2
1 3
Zapisanie równania: n2 + n = 50 .
10.4 1
20 2
Zdający nie musi wyznaczyć
10.5 Rozwiązanie równania i wyznaczenie liczby kartek : 20. 1
ujemnego rozwiązania równania.
Próbny egzamin maturalny z matematyki 10
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
D C
F
A
B
11.1 1
11
E
Uzasadnienie, że trójkąty DCF, DAE i EBF są równoramienne
(wykorzystanie założenia, że AB = BC = CD = DA
i trójkąty AEB oraz BFC są równoboczne).
Obliczenie miary kąta DAE lub FCD:
11.2 1
DAE = FCD = 90� + 60� = 150� .
Obliczenie miary kąta EBF : EBF = 360�- 2�"60�- 90� = 150� .
11.3 1
Zapisanie, że trójkąty DCF, DAE i EBF są przystające (z cechy
11.4 przystawania bkb) i wyciągnięcie wniosku o równości boków trójkąta 1
DEF.
Próbny egzamin maturalny z matematyki 11
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie zależności między liczbą
dziewcząt i liczbą chłopców: np.
x  liczba dziewcząt,
12.1 1
y  liczba chłopców,
x - 6 = y .
Zapisanie równania: x = 60%(x + y).
12.2 1
ż#x = 0,6 x + y
( )
Zapisanie układu równań: .
12.3 1
�#
x - 6 = y
�#
Rozwiązanie układu i sformułowanie odpowiedzi: Wystarczy, że zdający poda liczby
12.
12.4 1
dziewcząt i chłopców.
x = 18 , y = 12 . W klasie jest 30 osób w tym 12 chłopców.
II sposób rozwiązania:
Wprowadzenie oznaczeń : x  liczba osób w klasie,
12.1 1
0,6x  liczba dziewcząt, 0, 4x  liczba chłopców.
Zapisanie równania: 0,6x - 6 = 0, 4x .
12.2 1
12.3 Rozwiązanie równania: x = 30 . 1
12.4 Podanie odpowiedzi: W klasie jest 30 osób w tym 12 chłopców. 1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.