9693893763

Geometria mas

xdA

Oczywiście, położenie to wynosi x =--, gdzie pole A wycinka

^c A

koła opisanego kątem 2a jest częścią pola koła pełnego opartego na kącie I71. Z proporcji łatwo obliczyć stosunek pola koła pełnego A₀ do kąta pełnego, który musi być równy stosunkowi pola wycinka do kąta, który go definiuje, tj. 2a :

— = — zatem A = 2n la

,2 a 2 ot 2 A_n — = nr — = r a °2x n

Moment statyczny wycinka wygodnie będzie obliczyć używając biegunowego układu współrzędnych p-(p, w którym x = pcosę natomiast jakobian zamiany współrzędnych wynosi p (dxdy = pdpd(p). Wtedy:

| xdA = J|xdrdy= JJ pcosę pdpd(p

D(x,y)    D(p,(p)

i dalej, wobec dziedziny całkowania opisanej zbiorem:

D{p, (p) - {(/?, (p) \ 0 < p < r, - a < (p < a)

otrzymamy:

2,    •    \+a U

p~&p = sm(Ą __a~łj

2 sin a—

3

J.rd4= Jc

-a

Ostatecznie środek masy wycinka będzie w odległości:

r    r³

I xdA 2sina—

V — —- —-—

(1.8)

_ 2 sin a

^c 3 a

Pamiętać należy o dwóch rzeczach przy używaniu wzoru (1.8). Po pierwsze wycinek opisany jest kątem 2a, podczas gdy we wzorze mamy wartość pojedynczego kąta (łatwo o tym zapomnieć podczas szybkich rachunków). Po drugie wartość kąta wstawiamy w mierze łukowej (radianach, co ważne dla wartości mianownika, i przez to dla końcowego wyniku). Na przykład, obliczając położenie środka masy półkola

Strona 19