Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 1/13
Ćwiczenie 5. Zespolone reprezentacje sygnałów
1. Wstęp
W ramach tego ćwiczenia student powinien wykazać się znajomością podstawowych
właściwości zespolonych reprezentacji sygnału rzeczywistego oraz umiejętnością rozpoznania
filtrów słu\
Ä…cych do wyznaczania tych reprezentacji.
2. Wprowadzenie
2.1 Sygnał analityczny. Przekształcenie Hilberta [1,2]
Sygnał analityczny stanowi szczególnego rodzaju zespoloną reprezentację sygnału
rzeczywistego, często stosowaną w zagadnieniach modulacji sygnałów.
Definicja 1. Niech x t będzie sygnałem rzeczywistym, dla którego istnieje
( )
transformata Hilberta:
"
x Ä
1 ( )
y t = H x t := dÄ
( ) { }
( )
(1)
+"
Ä„ t -Ä
-"
Sygnałem analitycznym sygnału x t nazywamy sygnał zespolony:
( )
(2)
u t = x t + jy t
( ) ( ) ( )
którego częścią rzeczywistą jest sygnał x t , a częścią urojoną jego transformata Hilberta
( )
y t . Wynik transformacji (2) nazywamy tak\
e postaciÄ… analitycznÄ… te\
równowa\
nikiem
( )
analitycznym (hilbertowskim) sygnału x t .
( )
Podobnie jak przekształcenia Fouriera i Laplace a, przekształcenie Hilberta jest
przekształceniem całkowym odwzorowującym dany sygnał w inną wielkość funkcyjną.
Cechą charakterystyczną przekształcenia Hilberta jest to, i\
w odró\
nieniu od przekształceń
Fouriera i Laplace a przekształca ono funkcję zmiennej t (sygnał) w inną funkcję zmiennej t
(inny sygnał), a więc w wielkość funkcyjną w tej samej dziedzinie.
ReprezentacjÄ™ analitycznÄ… (2) mo\
na przyporządkować wszystkim sygnałom, dla
których całka (1) jest zbie\
na. Zbiór tych sygnałów jest bardzo obszerny i obejmuje m.in.
klasę sygnałów o ograniczonej energii.
Znając sygnał analityczny u t sygnału x t , mo\
na oczywiście wyznaczyć sygnał
( ) ( )
oryginalny ze wzoru:
(3)
x t = Reu t
( ) ( )
gdzie Re to część rzeczywista liczby zespolonej
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 2/13
Natomiast znajÄ…c transformatÄ™ Hilberta y t mo\
na odtworzyć sygnał oryginalny
( )
x t obliczajÄ…c odwrotnÄ… transformatÄ™ Hilberta:
( )
"
y Ä
1 ( )
-1
x t = H y t := - dÄ
( ) { }
( )
(4)
+"
Ä„ t -Ä
-"
Transformacje Hilberta stanowią istotny element teorii sygnałów zespolonych. Fakt,
\
e kształt składowej urojonej sygnału analitycznego jest jednoznacznie określony przez
kształt składowej rzeczywistej i na odwrót, ma istotne znaczenie. Między innymi w oparciu o
pojęcie sygnału analitycznego mo\
na zdefiniować pojęcia fazy chwilowej, częstotliwości
chwilowej i amplitudy chwilowej dla szerokiej klasy przebiegów, dla których istnieją
transformaty Hilberta. Sygnały analityczne odgrywają równie\
istotną rolę w teorii sygnałów
zmodulowanych.
TransformacjÄ™ Hilberta mo\
na równie\
przedstawić jako całkę splotową w postaci
1
y t = " x t
( ) ( )
(5)
Ä„t
1
x t = - " y t
( ) ( )
(6)
Ä„t
gdzie " oznacza splot. Z tej postaci transformacji Hilberta łatwo wyprowadzić związek
między widmem przebiegu x t , a widmem przebiegu y t . Mo\
na bowiem skorzystać z
( ) ( )
twierdzenia o splocie, które mówi, \
e splataniu sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada
mno\
enie ich widm w dzidzinie częstotliwości.
1
Dla widma przebiegu obowiÄ…zuje zale\
ność
Ä„t
1 dla &! > 0
Å„Å‚
F
1
ôÅ‚0 dla &! = 0 (7)
Ô!- jsgn &! , gdzie sgn &! =
òÅ‚
Ä„t
ôÅ‚-1 dla &! < 0
ół
gdzie F oznacza przekształcenie Fouriera. Jeśli zatem
F
(8)
x t Ô! X j&!
( ) ( )
oraz
F
(9)
y t Ô!Y j&!
( ) ( )
to
(10)
Y j&! = - jsgn &!Å" X j&!
( ) ( )
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 3/13
Widmo sygnału rzeczywistego ma następującą właściowość: jeśli sygnał jest parzysty,
jego widmo jest rzeczywiste i parzyste, jeśli sygnał jest nieparzysty, widmo jest urojone i
nieparzyste. StÄ…d wniosek, \
e wszystkie składowe parzyste X j&! przechodzą w składowe
( )
nieparzyste Y j&! , a składowe nieparzyste  w parzyste. Jeśli zatem, w przypadku
( )
szczególnym, przebieg x t jest parzysty, to przebieg y t będzie nieparzysty lub na odwrót.
( ) ( )
Na podstawie tych wzorów mo\
na określić widma sygnału analitycznego. Korzystając
z zasady superpozycji widm, otrzymujemy
(11)
U j&! = X j&! + jY j&! = X j&! + j - jsgn &!Å" X j&! = X j&! 1+ sgn &!
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )[ ]
)
144 3
42444
Y j&!
( )
stÄ…d
(12)
U j&! = 2X j&! &! > 0
( ) ( )
zaÅ› dla puslacji ujemnych
(13)
U j&! = 0 &! < 0
( )
ostatecznie mo\
emy zapisać
Å„Å‚2X j&! ,gdy &! > 0
( )
ôÅ‚
U j&! = 0 ,gdy &! = 0
( ) ( )
òÅ‚X
(14)
ôÅ‚0
,gdy &! < 0
ół
StÄ…d wa\
ny wniosek: sygnał analityczny posiada widmo jednostronne (tylko składowe o
częstotliwościach dodatnich).
Z przytoczonych wzorów wynika, \
e zamiast wyznaczać transformaty Hilberta
bezpośrednio ze wzorów (1) i (4) w dziedzinie czasu, mo\
na się posłu\
yć następującym
algorytmem
1. wyznaczamy widmo sygnału x t
( )
x t X j&! = F x t
( ) ( ) ( )
{ }
2. w oparciu o widmo X j&! wyznaczamy widmo równowa\
nika hilbertowskiego
( )
sygnału x t
( )
Y j&! = - jsgn &!Å" X j&!
( ) ( )
3. w opraciu o widmo Y j&! wyznaczamy sygnał y t
( ) ( )
-1
y t = F Y j&!
( ) { }
( )
-1
gdzie F oznacza odwrotne przekształcenie Fouriera.
Przykład 1
Wyznaczyć sygnał analityczny dla sygnału
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 4/13
(15)
x t = cos &!0t
( ) ( )
RozwiÄ…zanie 1:
Widmo sygnału (15)
(16)
X j&! = Ä„ îÅ‚´ &! - &!0 + ´ &! + &!0 Å‚Å‚
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
WykorzystujÄ…c zale\
ność (9) znajdujemy widmo transformaty Hilberta sygnału x t
( )
(17)
Y j&! = - jsgn &! Å" X j&! = - jÄ„ îÅ‚´ &! - &!0 &! + &!0 Å‚Å‚
( ) ( ) ( )-´
( )ûÅ‚
ðÅ‚
wykorzystując odwrotne przekształcenie Fouriera znajdujemy y t
( )
-1
(18)
y t = F Y j&! = sin &!0t
( ) { }
( ) ( )
Sygnał analityczny ma zatem postać
(19)
u t = x t + jy t = cos &!0t + jsin &!0t = exp j&!0t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
RozwiÄ…zanie 2:
Znając widmo (16) sygnału (15), oraz wykorzystując zale\
ność (14) znajdujemy widmo
równowa\
nika Hilbertowskiego (sygnału analitycznego) sygnału x t
( )
Å„Å‚2X j&! ,gdy &! > 0
( )
ôÅ‚
U j&! = 0 ,gdy &! = 0 Ò! U j&! = 2Ä„´ &! - &!0
( ) ( ) ( ) ( )
òÅ‚X
(20)
ôÅ‚0
,gdy &! < 0
ół
wykorzystując odwrotne przekształcenie Fouriera znajdujemy reprezentacje sygnału
analitycznego u t w dziedzinie czasu
( )
-1
(18)
u t = F U j&! = exp j&!0t
( ) { }
( ) ( )
Przykład 2
Wyznaczyć sygnał analityczny dla sygnału
(20)
x t = ´ t
( ) ( )
RozwiÄ…zanie:
widmo tego przebiegu
(21)
X j&! =1
( )
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 5/13
wykorzystujÄ…c zale\
ność (9) znajdujemy widmo transformaty Hilberta sygnału x t
( )
(22)
Y j&! = -jsgn &!Å" X j&! = -jsgn &!
( ) ( )
wykorzystując odwrotne przekształcenie Fouriera znajdujemy y t
( )
(23)
1
-1
y t = F Y j&! =
( ) { }
( )
Ä„t
Sygnał analityczny ma zatem postać (odpowiedz
impulsowa filtru analitycznego Hilberta)
1
u t = x t + jy t = ´ t + j
( ) ( ) ( ) ( )
(24)
Ä„t
Operacja przetwarzania widma sygnału jest nazywana filtracją, którą mo\
na opisywać w
dziedzinie częstotliwości za pomocą iloczynu charaketrystyki częstotliwościowej filtru z
widmem sygnału wejściowego lub w dziedzinie czasu za pomocą splotu odpowiedzi
impulsowej filtru z sygnałem wejściowym. Mo\
na zatem zauwa\
yć, \
e przedyskutowanym
rozwiązaniom wyznaczenia transformaty Hilberta sygnału rzeczywistego x t odpowiada
( )
filtracja tego sygnału przez filtr (zwany transformatorem Hilberta) o odpowiedzi impulsowej
1
i charakterystyce częstotliwościowej (10). Podobnie wyznaczeniu sygnału analitycznego
Ä„t
sygnału x t odpowiada filtracji tego sygnału przez filtr (zwany filtrem zespolonym
( )
Hilberta) o odpowiedzi impulsowej (24) i charakterystyce częstotliwościowej (14). Nale\
y
tutaj zwrócić uwagę na ró\
nicę pomiędzy transformatorem Hilberta o filtrem zespolonym
Hilberta.
2.2 Reprezentacja sygnału analitycznego przez wskaz. Amplituda chwilowa, faza
chwilowa i częstotliwość chwilowa [1]
Sygnał analityczny mo\
e być reprezentowany jako wskaz w płaszczyz
nie zmiennej
zespolonej x, y .
( )
Rys.1 Wirujący wskaz reprezentujący sygnał analityczny.
Poniewa\
składowe wskazu są funkcjami czasu, poło\
enie i długość wskazu zmieniają
się w czasie, a jego koniec kreśli odpowiednią trajektorię. Podstawową właściowością
sygnału analitycznego jest fakt, \
e wskaz wiruje w kierunku dodatnim globalnie jak i lokalnie
W oparciu o pojęcie wskazu łatwo zinterpretować definicje amplitudy chwilowej, fazy
chwilowej i częstotliwości chwilowej sygnału analitycznego. Sygnały analityczne mogą mieć
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 6/13
ró\
ny przebieg. Począwszy od sygnału exp j&!0t , dla którego pojęcia amplitudy i
( )
częstotliwości są wprowadzane  niejako w naturalny sposób , a\
do impulsu na przykład o
1
kształcie , dla którego pojęcia amplitudy i częstotliwości wydaje się nieco sztuczne.
1+ t2
Tym niemniej, z punktu widzenia formalnego, powy\
sze pojęcia mo\
na przypisać wszystkim
sygnałom analitycznym. Jest to korzystne w tym sensie, \
e jednoznacznie określa pojęcia
amplitudy, fazy i częstotliwości dla szerokiej klasy sygnałów, spełniających warunki istnienia
transformat Fouriera.
Definicja 2. Obwiednią zespoloną w t sygnału analitycznego nazywamy przesuniętą
( )
względem częstotliwości wersję sygnału analitycznego u t , co mo\
na zapisać:
( )
(25)
w t = u t exp j2Ä„ fct
( ) ( ) (- )
gdzie fc jest częstotliwością nośną sygnału środkowpasmowego u t
( )
Definicja 2. Amplitudą chwilową sygnału analitycznego nazywamy przebieg długości jego
wskazu równą modułowi (wartości bezwzględnej) sygnału, czyli
(26)
a t := u t = x2 t + y2 t
( ) ( ) ( ) ( )
Definicja 3. Fazę chwilową sygnału analitycznego definiujemy jako argument (część
urojonÄ…) zespolonego logarytmu funkcji zespolonej u t `" 0 zmiennej rzeczywistej t:
( )
(27)
Õ t := arg u t a" Im ln u t [rad]
( ) { } { }
( ) ( )
Definicja 4. Pulsacją chwilową sygnału analitycznego nazywamy chwilową kątową prędkość
obrotu wskazu, czyli
dÕ t
( )
É t := [rad/s]
( )
(28)
dt
Definicja 5. Częstotliwość chwilową nazywamy wartość pulsacji podzielonej przez 2Ą , czyli
É t
( )
f t := [Hz]
( )
(29)
2Ä„
Wykonując operację ró\
niczkowania wzoru (27), otrzymujemy następującą postać
pulsacji chwilowej
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 7/13
ëÅ‚ öÅ‚
É t = Im ln u t = Im = Im Å" = Im =
( ) { } ìÅ‚ ÷Å‚
( )
( )2 u2 ((tt)) ëÅ‚ u2 ((tt)) u" (t) öÅ‚ ìÅ‚ u(t)2 tu" (t) ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
u u u" t
( )
u
( )
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"
ëÅ‚ öÅ‚
x t + jy t Å" x t + jy t
( ( ) ( ) ( ) ( )
)2 ( )
ìÅ‚ ÷Å‚
= Im =
ìÅ‚ ÷Å‚
x2 t + y2 t
( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚
(30)
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ 2 2 2 2 öÅ‚
x t Å" x t + y t Å" y t x t Å" y t y t Å" x t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- ( ) ( )
= Im + j =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x2 t + y2 t x2 t + y2 t
( ) ( ) ( ) ( )
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
x t Å" y t y t Å" x t
( ) ( )- ( ) ( )
= , [rad/s]
x2 t + y2 t
( ) ( )
gdzie prim oznacza wyznaczenie pochodnej czasowej.
W teorii sygnałów zmodulowanych korzysta się z pojęcia zespolonej pulsacji
chwilowej
(31)
s t = Ã t + jÉ t
( ) ( ) ( )
któta jest uogólnieniem znanej z rachunku operatorowego wielkoÅ›ci s = à + jÉ . Równie\

zespolonÄ… pulsacjÄ™ chwilowÄ… mo\
na zdefiniować w oparciu o pojęcie sygnału analitycznego.
W tym celu mo\
na wyjść z pojęcia zespolonej fazy chwilowej.
Definicja 6. Zespolona faza chwilowa È t sygnaÅ‚u analitycznego zdefiniowana jest przez
( )
logarytm naturalny tego sygnału, czyli
(32)
È t := ln u t = ln a t + jÕ t =  t + jÕ t
( ) { }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jak widać składowa rzeczywista fazy chwilowej  t reprezentuje logarytm
( )
amplitudy sygnału (nazywamy poziomem chwilowym lub czasem logobwiednią), a składowa
urojona Õ t reprezentuje zdefiniowanÄ… wzorem (27) fazÄ™ chwilowÄ….
( )
Definicja 7. Zespoloną pulsacją chwilową s t sygnału u t `" 0 "t nazywamy pochodną
( ) ( )
jego zespolonej fazy chwilowej È t po czasie
( )
d ln u t 2
dÈ t { } ( ) 1 ( ) ( )
( ) u t da t dÕ t
( )
s t := = = = + j
( )
(33)
dt dt u t a t dt dt
( ) ( )
jak widać składowa rzeczywista zespolonej pulsacji chwilowej ma postać
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 8/13
ëÅ‚ öÅ‚
à t = Re ln u t = ReìÅ‚ ÷Å‚ = ReìÅ‚ Å" = ReìÅ‚ =
( ) { } ÷Å‚
( )
( )2 ëÅ‚ u2 ((tt)) öÅ‚ ëÅ‚ u2 ((tt)) u" (t) öÅ‚ u(t)2 tu" (t) ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
u u u" t
( )
u
( )
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ 2 2 2 2 öÅ‚
x t Å" x t + y t Å" y t x t Å" y t y t Å" x t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- ( ) ( )
(34)
= ReìÅ‚ + j =
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x2 t + y2 t x2 t + y2 t
( ) ( ) ( ) ( )
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
x t Å" x t + y t Å" y t
( ) ( ) ( ) ( )
= , [Np/s]
x2 t + y2 t
( ) ( )
Wielkość ta związana jest z amplitudą chwilową i nosi nazwę względnej chwilowej prędkości
radialnej, gdy\
reprezentuje względną szybkość wydłu\
ania się lub skracania długości
wskazu.
Przykład 3
Znalez
ć obwiednię i pulsację chwilową sygnału x t = cos 2Ą Ft .
( ) ( )
RozwiÄ…zanie:
na podstawie przykładu 1 mo\
emy zapisać transformatę Hilberta sygnału x t
( )
y t = H x t = sin 2Ä„ Ft .
( ) ( )
( ) ( )
Sygnał analityczny sygnału x t będzie miał postać:
( )
u t = cos 2Ä„ Ft + jsin 2Ä„ Ft = exp j2Ä„ Ft .
( ) ( ) ( ) ( )
Mo\
emy wyznaczyć amplitudę chwilową: a t := exp j2Ą Ft = 1
( ) ( )
2
u t j2Ä„ F Å"exp j2Ä„ Ft
( ) ( )
pulsacja chwilowa: É t = Im = Im = 2Ä„ F
( )
u t exp j2Ä„ Ft
( ) ( )
Przykład 4
1
Dany jest sygnał rzeczywisty x t =
( )
1+ t2
a) zapisać wzorem sygnał analitycznyu t
( )
b) podać wzory na obliczanie amplitudy chwilowej i pulsacji chwilowej danego sygnału
x t
( )
RozwiÄ…zanie:
t
transformata Hilberta sygnału x t wynosi y t = , zgodnie z definicją sygnał
( ) ( )
1+ t2
1 t 1
analityczny ma postać: u t = x t + jy t = + j =
( ) ( ) ( )
1+ t2 1+ t2 1- jt
1
amplituda chwilowa: a t = x2 t + y2 t =
( ) ( ) ( )
1+ t2
2 2
x t y t y t x t
( ) ( )- ( ) ( ) 1
pulsacja chwilowa: É t = =
( )
x2 t + y2 t 1+ t2
( ) ( )
Przykład 5
Wyznaczyć zespolonÄ… pulsacjÄ™ chwilowÄ… sygnaÅ‚u u t = AÅ"exp Å"exp j2Ä„ F dla t e" 0
( ) (-bt
) ( )
(przyjąć następujące wartości: b = 30 F = 50 Hz ).
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 9/13
KorzystajÄ…c z zale\
ności (34) otrzymujemy:
2 AÅ"exp Å"exp j2Ä„ F
u t ( (-bt
) ( )
( ) )2 = (-b + j2Ä„ F AÅ"exp Å"exp j2Ä„ F
) (-bt
) ( )
s t = = = -b + j2Ä„ F
( )
u t AÅ"exp Å"exp j2Ä„ F AÅ"exp Å"exp j2Ä„ F
( ) (-bt
) ( ) (-bt
) ( )
2
2
1.5
1.5
a t
( )
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-a t
( )
-1.5
-2
-2 -1 0 1 2
-2
real
0 0.01 0.02 0.03 0.04
t
Rys.1.1 Składowa rzeczywista-kolor niebieski, Rys.1.2 Sygnał analityczny na płaszczyz
nie
składowa urojona-kolor czerwony, amplituda zespolonej
chwilowa-kolor zielony. Esktrema oraz wartosci
zerowe-kolor czarny.
0
360
-5
340
-10
-15
320
-20
300
-25
280
-30
-35
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.01 0.02 0.03 0.04
t t
Rys.1.3 Składowa rzeczywista zespolonej pulsacji Rys.1.4 Składowa urojona zespolonej pulsacji
chwilowej chwilowej
300
200
100
0
-100
-200
-300
-200 0 200
real
Rys.1.5 Zespolona pulsacja chwilowa na płaszczyz
nie
zespolonej
Właściowością par transformat Hilberta jest następująca zale\
ność: kiedy sygnał
transformawany osiąga lokalne ekstremum jego transformata przyjmuje wartość zerową i na
imag
imag
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 10/13
odwrót, kiedy sygnał transformowany przyjmuje wartość zerową jego transformata osiąga
ekstremum rys.1.1 oraz rys.1.2. AnalizujÄ…c rys.1.3, rys.1.4 oraz rys.1.5 mo\
emy w dość łatwy
sposób zinterpretować zespoloną pulsację chwilową (ZPCh). Zwróćmy uwagę, \
e względna
szybkość skracania się wskazu jest stała w czasie (rys.1.3) i odpowiada części rzeczywistej
zespolonej pulsacji chwilowej ( Re s t = -b = -30 ). Natomiast stała (dodatnia) wartość
( )
( )
składowej urojonej zespolonej pulsacji chwilowej (rys.1.4) oznacza niezmienną wartość
chwilową kątowej prędkości obrotu wskazu w kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara).
Przykład 6
Wyznaczyć zespoloną pulsację chwilową sygnału zespolonego
w t = exp 2 + sin 2t Å"exp j 8t + 4t2 dla t e" 0
( ) ( ( )
) ( )
( )
Postępując analogicznie jak w przykładzie 5 otrzymujemy następującą postać zespolonej
pulsacji chwilowej:
s t = 2cos 2t + j 8 + 8t
( ) ( ) ( )
20
20
15
15
a t
( )
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-a t
( )
-20 -10 0 10 20
real
-20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
t
Rys.2.1 Składowa rzeczywista-kolor niebieski, Rys.2.2 Sygnał analityczny na płaszczyz
nie
składowa urojona-kolor czerwony, amplituda zespolonej
chwilowa-kolor zielony.
2
50
1.5
1
40
0.5
30
0
-0.5
20
-1
10
-1.5
0
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
t t
Rys.2.3 Składowa rzeczywista zespolonej pulsacji Rys.2.4 Składowa urojona zespolonej pulsacji
chwilowej chwilowej
imag
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 11/13
50
0
-50
-50 0 50
real
Rys.2.5 Zespolona pulsacja chwilowa na płaszczyz
nie
zespolonej
Dokonując podobnej analizy, jak w poprzednim przykładzie, trajektorii zespolonej pulsacji
chwilowej na płaszczyz
nie zespolonej (rys.2.5) mo\
na wyciągnąć następujące wnioski: wskaz
sygnału analitycznego (rys.2.2) obraca się w kierunku dodatnim (dodatnia półpłaszczyzną osi
urojonej rys.2.5) z liniowo narastającą prędkością kątową (rys. 2.4 i rys.2.5). Kształt
składowej rzeczywistej zespolonej pulsacji chwilowej wskazuje na okresowe wydłu\
anie siÄ™
(dodatnia półpłaszczyzna osi rzeczywistej) lub skracanie długości wskazu (ujemna
półpłaszczyzna osi rzeczywistej).
2.3 Reprezentacje czasu dyskretnego: sygnał analityczny i zespolona częstotliwość
chwilowa.
Rozwa\
my sytuację, w której, dysponując ciągiem próbek sygnału analitycznego (2)
(35)
u[n] = u(t) = x[n]+ jy[n], n = 0, 1, ... ,
Ć
t=nT
gdzie T jest okresem próbkowania, zaś n jest bie\
ącym numerem próbk.
Obwiednie zespolonÄ… mo\
emy wyrazić następująco
(36)
w[n] = w(t) = u n exp j2Ä„ fcn , n = 0, 1, ... ,
Ć
[ ] [-
]
t=nT
W celu określenia przebieg zespolonej pulsacji chwilowej sygnału analitycznego.
wykorzystajmy zale\
ności (30), (33), (34). Mo\
emy wrazić składowe CIF dla czasu
dyskretnego w następujący sposób (zakładając okres próbkowania T = 1):
n n
2
u (t)dt
%5Å„[n] =
(37)
+"s(t)dt = +"
u(t)
n-1 n-1
oraz jej poszczególne składowe
n n
2 2
x(t)Å" x (t)+ y(t)Å" y (t)dt
Ć
Ã[n] = (t)dt =
(38)
+"Ã +"
x2(t)+ y2(t)
n-1 n-1
imag
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 12/13
n n
2 2
x(t)Å" x (t)- y(t)Å" y (t)dt
Ć
É[n] =
(39)
+"É(t)dt = +"
x2(t)+ y2(t)
n-1 n-1
Ze względu na operację ró\
niczkowania składowych kartezjańskich sygnału analitycznego, w
dyskretnej implementacji dÄ…\
ymy do jak najlepszej aproksymacji operatora ró\
niczkowania
analogowego przyczynowym filtrem cyfrowym . Ze względu na ograniczenia czasowe
laboratorium i treści zadań, nie zostały przedyskutowane w wprowadzeniu: estymatory
zespolonej pulsacji chwilowej oraz pojecie dyskretnej fazy chwilowej. InformacjÄ™ na ten
temat mo\
na znalez
ć m.in. w pracach [3], [4], [5] i [6].
Cytowana literatura:
1. S. L. Hahn: Teoria modulacji i detekcji, WPW, 1981
2. J. Sztabin: Przetwarzanie sygnałów, http://www.ise.pw.edu.pl/~szabatin/index.html
Literatura związana z tematem ćwiczenia:
3. E. Hermanowicz, M. Rojewski, A. Sobociński: Cyfrowy demodulator częstotliwości w
oparciu o filtry ró\
niczkujące i opóz
niające typu FIR: badanie jakości aproksymacji.
4. E. Hermanowicz, M. Rojewski, G.D. Cain, A. Tarczyński: On an instantaneous frequency
estimator with FIR filters having maximally flat frequency response error magnitude. Signal
Processing, vol. 81, 2001 pp. 1491-15
5. M. Rojewski: Nowa definicja i bezbłędna estymacja dyskretnej zespolonej pulsacji
chwilowej. X Krajowe Sympozjum Telekomunikacji: KST 94, Bydgoszcz 7-9 września
1994, tom B, str. 5-13
6. M. Rojewski: Maper przebiegu zespolonej pulsacji chwilowej zespolonego sygnału
rzeczywistego z rekursywnym rozwijaczem przebiegu fazy chwilowej. Materiały VII
Krajowego Sympozjum Nauk Radiowych-URSI 93 Gdańsk 1993, str 123-126
3. Zadania laboratoryjne
1) Określ na podstawie obserwacji trajektorii zadanych zespolonych sygnałów
biharmonicznych ( x[n]= a1 exp(j(É1n +Õ1))+ a2 exp( j(É2n +Õ ))), które z nich sÄ… sygnaÅ‚ami
2
hilbertowskimi. Wybór uzasadnij. Dla zidentyfikowanych w ten sposób sygnałów
hilbertowskich określ, równie\
na podstawie ich trajektorii, dla których z nich składowa o
ni\
szej czÄ™stotliwoÅ›ci ma wiÄ™kszÄ… amplitudÄ™ ( a1 > a2 dla É1 < É ).
2
trajekt(nr), gdzie nr=1,2,...10, lub trajekt(nr,time) gdzie time oznacza
czas (w sekundach) wyświetlania całego sygnału (domyślnie time=10)
KLAWISZ DZIAA
ANIE
Enter - przełączenie w tryb krokowy
- następny krok
+ zwiększenie szybkości rysowania
- zmniejszenie szybkości rysowania
Laboratorium KAS Ćw. 5. Zespolona reprezentacja sygnałów. 2006-11-14 13/13
Q lub ESC zakończenie rysowania
dowolny klawisz wyłączenie trybu krokowego  wznowienie
rysowania
2) Dla czterech danych sygnałów rzeczywistych dobrać ich transformaty Hilberta spośród
zadanych sygnałów. Podać zastosowane kryteria wyboru.
zad2(nr_r,nr_i)  wyrysowanie składowej rzeczywistej sygnału oraz sygnału
kandydującego na transformatę Hilberta wybranego sygnału rzeczywistego
nr_r = 1,2,3,4  numer sygnału rzeczywistego
nr_i = 1,2,...,8  numer sygnału kandydującego na transformatę Hilberta
sygn=zad2(nr_r,nr_i)  zwraca w zmiennej sygn sygnał zespolony. Pozwala to
na u\
ycie skryptu np. w polu definiującym sygnał w narzędziu periodograf.
sygn_r = zad2real(nr_r)  zwraca sygnał rzeczywisty
sygn_i = zad2imag(nr_i)  zwraca sygnał kandydujący na transformatę
Hilberta
3) Dostępne są sygnały rzeczywiste. Dobrać obwiednie zespolone tych sygnałów spośród
zadanych sygnałów.
zad3(nr_r, nr_oz)
nr = 1,2,...,5 - numer sygnału rzeczywistego
nr_oz = 1,...,11  numer sygnału zespolonego typowanego na obwiednię
zespolonÄ…
sygn_r = zad3real(nr_r) - zwraca sygnał rzeczywisty
sygn_obz = zad3obz(nr_oz)  zwraca sygnał kandydujący na obwiednię
zespolonÄ…
4) Dla trzech danych sygnałów analitycznych dobrać ich zespolone pulsacje chwilowe (CIF -
Complex Instantenous Frequency). Uzasadnić wybór.
zad4(nr_u, nr_cif)
nr_u = 1,2,3 - numer sygnału analitycznego,
nr_cif = 1,...,3 - numer zespolonej pulsacji chwilowej.
5) Dla sygnałów modulacji PSK (BPSK, QPSK, Ą/4-QPSK) uzasadnić przebieg trajektorii
zespolonych pulsacji chwilowych (na płaszczyz
nie zespolonej) tych sygnałów.
zad5(sygnał)
sygnał:  BPSK ,  QPSK ,  pi/4-QPSK .