Tematy zadań  arkusze maturalne 6-10.
1. Zestaw 6
Arkusz1  poziom podstawowy
1) Wyznacz wszystkie liczby x " R , które spełniają nierówność x2 < 4x , ale nie
" <
" <
" <
spełniają nierówności x + 2 < 3 .
+ <
+ <
+ <
2) Dany jest wykres pewnej funkcji y = f(x) określonej dla x " - 6,3 .
= " -
= " -
= " -
Określ:
a) zbiór wartości i miejsca zerowe funkcji,
b) przedziały monotoniczności,
c) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
3) Wyznacz liczbę składników w sumie 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 449 i oblicz tę sumę.
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
4) Rysunek przedstawia kształt obszaru zakreślonego przez wycieraczkę szyby
samochodu. KÄ…t AOC ma miarÄ™ 2,5 radiana oraz |OB|=20cm, a ramiÄ™ BA
wycieraczki ma długość 30cm. Oblicz pole obszaru, który czyści wycieraczka.
5) Spośród wszystkich ścian ostrosłupa sześciokątnego wybieramy losowo trzy.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych ścian znajdzie się podstawa
tego wielościanu?
x e" 0
e"
Å„Å‚ e"
Å„Å‚ e"
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
6) Oblicz pole figury wyznaczonej przez układ nierówności: y + x d" 5
+ d"
+ d"
+ d"
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚2y - x e" 4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
- e"
- e"
- e"
ół
ół
ół
ół
7) Każdą z 20 kobiet zapytano o liczbę posiadanych dzieci. Otrzymane wyniki
przedstawiono na histogramie. Oblicz średnią liczbę dzieci posiadanych przez
jednÄ… kobietÄ™ oraz odchylenie standardowe liczby dzieci.
8) Przed ulokowaniem 400 000 euro masz do wyboru propozycje dwóch banków:
Bank A proponuje kwartalnÄ… kapitalizacjÄ™ odsetek przy oprocentowaniu 8% w
skali roku, natomiast Bank B proponuje rocznÄ… kapitalizacjÄ™ odsetek w
wysokości 9%.
W którym banku korzystniej jest złożyć pieniądze na rok?
Ile euro zyskałeś wybierając odpowiedni bank?
9) Pewna parabola o wierzchołku W = (2,5) przecina oś OY w punkcie A = (0,4) .
= =
= =
= =
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest ta parabola.
Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.
10) W trapezie prostokątnym dłuższa przekątna ma długość 12cm i tworzy z
dłuższym ramieniem kąt o mierze 300, natomiast z krótszym ramieniem kąt o
mierze 600. Oblicz pole tego trapezu.
11) PodnoszÄ…c liczbÄ™ dodatniÄ… 3 - 5 do kwadratu otrzymamy:
-
-
-
2
(3 - 5) = 14 - 6 5 . Stąd otrzymujemy ciekawą równość 14 - 6 5 = 3 - 5 .
( - ) = - - = -
( - ) = - - = -
( - ) = - - = -
Zaproponuj analogiczną równość dotycząca liczby 11 + 4 7 . Uzasadnij
+
+
+
zaproponowaną równość.
Arkusz2  poziom rozszerzony
2 1
12) Dane są prawdopodobieństwa warunkowe P: P(A / B) = , P(A / B') = , oraz
= =
= =
= =
5 2
1
P(B) = . Oblicz P(A) oraz P(A )" B) .
= )"
= )"
= )"
3
13) W kulę o promieniu R = 4 wpisano sześcian. Oblicz, jaki procent objętości kuli
=
=
=
stanowi objętość sześcianu. Podaj wynik z zaokrągleniem do 1%.
14) Dla jakich wartości parametru m równanie - x2 + 4x = m ma dwa pierwiastki, z
- + =
- + =
- + =
których każdy jest większy od 1?
15) Określ dziedzinę funkcji f (x) = log0,5(x2 - 5x + 4) - log0,5(5x - 5) + 1
= - + - - +
= - + - - +
= - + - - +
16) Dany jest ciąg określony rekurencyjnie:
a1 = 2
=
Å„Å‚ =
Å„Å‚ =
Å„Å‚
Å„Å‚
òÅ‚a = 3 Å" an + 2, dla n " N+
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
+
+
+
= Å" + "
= Å" + "
= Å" + "
ół n+1
ół +
ół +
ół +
Oblicz pięć początkowych wyrazów tego ciągu. Udowodnij metodą indukcji
matematycznej, że powyższy ciąg można wyrazić wzorem ogólnym
+
+
+
an = 3n - 1 dla n " N+ .
= - "
= - "
= - "
17) Dana jest funkcja f (x) = x4 .
=
=
=
f(2 + h) - f(2)
+ -
+ -
+ -
a. Oblicz wartość wyrażenia dla h=0,1.
h
f(2 + h) - f(2)
+ -
+ -
+ -
b. Do jakiej liczby dąży wartość wyrażenia , gdy wartość h
h
dąży do zera?
1 1
18) Rozwiąż równanie = , x " - Ą,Ą .
= " - Ä„ Ä„
= " - Ä„ Ä„
= " - Ä„ Ä„
sinx sin4x
19) Dwa krótsze boki trójkąta rozwartokątnego mają długości 5cm i 6cm. Jakie
wartości może przyjmować długość trzeciego boku?
20) Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek układu
współrzędnych i stycznych do okręgu o środku w punkcie S = (4,0) i promieniu
=
=
=
równym 2.
2
21) Uzasadnij, że funkcja f(x) = x2 + przyjmuje dla dodatnich argumentów
= +
= +
= +
x
wartości nie mniejsze od 3.
2. Zestaw 7
Arkusz1  poziom podstawowy
1) Średnia arytmetyczna liczb: 11,12,8,11,x,3,4,6,8,8 jest równa 8,5.
a) Wyznacz x.
b) Wyznacz medianÄ™ tych liczb.
2) W układzie współrzędnych zacieniowano obszar w kształcie trójkąta.
a. Napisz układ nierówności liniowych opisujących ten obszar.
b. Oblicz pole i obwód tego obszaru.
3) W okrąg o promieniu 6cm wpisano w sposób symetryczny cztery przystające
okręgi. Oblicz ich promień.
4) Pewna planeta obiega słońce w ciągu 365 dni. Orbita tej planety, to w
przybliżeniu okrÄ…g o Å›rednicy 3 Å" km. Wyznacz prÄ™dkość tej planety. Wynik
Å"108
Å"
Å"
podaj w kilometrach na godzinę w zaokrągleniu do tysięcy kilometrów na
godzinÄ™.
5) Dany jest trójmian kwadratowy y = 3x2 - 5x - 2 .
= - -
= - -
= - -
a) Wyznacz pierwiastki tego trójmianu.
b) Rozłóż trójmian na czynniki liniowe.
c) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tego
trójmianu.
6) Cena płaszcza kolejno malała najpierw o 20%, a następnie o 30% i wtedy
kosztował on 700 złotych. Jaka była cena płaszcza przed obniżkami?
1
( )
( )
7) Wzór na objętość stożka ściętego ma postać V = Ą(R2 + Rr + r2)H , gdzie R
= Ä„( + + )
= Ä„ + +
= Ä„ + +
3
oznacza promień dolnej podstawy stożka, r  promień górnej podstawy stożka i
H  wysokość stożka ściętego.
Pewne naczynie ma kształt stożka ściętego, w którym R=4, r=2 oraz H=6.
Naczynie zostało wypełnione wodą do połowy wysokości. Jaki procent objętości
całego naczynia stanowi objętość wody? Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,1%.
8) W nieskończonym ciągu arytmetycznym czwarty wyraz jest równy 17, a suma
wyrazów trzeciego i szóstego wynosi 39.
a) Wyznacz różnicę i pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu.
9) Uzasadnij, że punkty: A = (-1,1) , B = (1,5) , C = (1000,2003) należą do jednej
= - = =
= - = =
= - = =
prostej.
10) W równoległoboku mamy dane (patrz rysunek):
a) Oblicz długość dłuższej wysokości równoległoboku.
b) Oblicz długość krótszej przekątnej równoległoboku.
11) Z drutu o długości 48cm wykonano szkielet ostrosłupa czworokątnego
prawidłowego o wszystkich krawędziach równych.
a) Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.
b) Oblicz objętość ostrosłupa.
Arkusz2  poziom rozszerzony
12) Bogdan pierwszą część drogi do szkoły szedł, a drugą biegł (patrz wykres).
Oblicz, z jaką prędkością szedł, a jaką biegł i jaka była jego średnia prędkość na
całej trasie. Wyniki podaj w kilometrach na godzinę.
13) Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie spełniające nierówność
x3 + 90 d" 2(x + 5)2 .
+ d" +
+ d" +
+ d" +
14) Górną podstawę kwadratu podzielono na trzy równe części i skonstruowano
kwadrat, następnie górną podstawę kwadratu górnego podzielono na trzy równe
części i znów skonstruowano kolejny kwadrat, (patrz rysunek) itd.
a) Oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.
b) Oblicz sumę pól wszystkich kwadratów.
15) Boki trójkąta mają długości 5,3 2 , 13 . Wyznacz miarę kąta znajdującego się
naprzeciw najkrótszego boku oraz pole trójkąta.
16) Na jednej prostej dane są 4 różne punkty, na innej prostej równoległej do niej 6
różnych punktów. Ile istnieje:
a) trójkątów,
b) czworokątów,
których wierzchołkami są dane punkty?
4
17) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f(x) = x + .
= +
= +
= +
x2
18) Dane jest równanie 2x2 - 13x + m = 0 . Wyznacz te wartości parametru m, dla
- + =
- + =
- + =
których jeden z pierwiastków jest dwa razy większy od drugiego.
19) Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = 2log0,5 x + 8 .
= +
= +
= +
a) Określ dziedzinę tej funkcji.
+ =
b) Rozwiąż równanie 2log0,5 x + 8 = log0,5 x .
+ =
+ =
20) Oblicz pole przekroju sześcianu o krawędzi a płaszczyzną zawierająca przekątna
jednej ściany i środki dwóch krawędzi przeciwległej ściany.
21) Uzasadnij, że jeśli liczby x,y,z tworzą ciąg arytmetyczny rosnący, to liczby
- - -
- - -
- - -
23-5x ,23-5y ,23-5z tworzÄ… ciÄ…g geometryczny malejÄ…cy.
3. Zestaw 8
Arkusz1  poziom podstawowy
15
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
1) Dana jest liczba a = ìÅ‚ ÷Å‚ .
= ìÅ‚ ÷Å‚
=
=
ìÅ‚12÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
a) Sprawdz
, czy liczba a dzieli siÄ™ przez 5.
b) Sprawdz
, czy liczba 2 jest dzielnikiem liczby a.
c) Wyznacz liczbę wszystkich dzielników naturalnych liczby a.
2) Dana jest funkcja f o wzorze f(x) = -3x + 3 .
= - +
= - +
= - +
a) Wyznacz wzór funkcji g, wiedząc, że jej wykres jest równoległy do wykresu
funkcji f oraz przechodzi przez punkt A = (1,3) .
=
=
=
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f i g.
c) W jednym układzie współrzędnych narysuj wykresy funkcji f i g.
d) Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji f i g oraz osiami układu
współrzędnych.
3) Podczas skoku z samolotu spadochroniarz przez pewien czas spadał swobodnie, a
dopiero potem otworzył spadochron. Pomiar dostarczył następujących danych o
tym spadaniu:
Czas t spadania [s] 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Wysokość h [m] 0 0,75 3 6,75 12 18,75 27 31 35 39 43
a) Po ilu sekundach spadochroniarz otworzył spadochron?
b) Oblicz średnią prędkość spadania skoczka między pierwszą, a trzecią
sekundÄ….
c) Wyraz
wzorem zależność między czasem spadania, a wysokością w
początkowych sekundach, jeżeli wiadomo, że jest ona funkcją kwadratową.
ax + b
+
+
+
4) AsymptotÄ… pionowÄ… wykresu funkcji f o wzorze f(x) = , jest prosta o
=
=
=
x + d
+
+
+
równaniu x=2, a asymptotą poziomą  prosta o równaniu y=1. Wyznacz wzór
funkcji f.
Ä…
5) Niech ą będzie kątem ostrym, różnym od 450. Uzasadnij, że zachodzi tożsamość:
Ä…
Ä…
tgÄ… + 1 1 + ctgÄ…
Ä… + + Ä…
Ä… + + Ä…
Ä… + + Ä…
= .
=
=
=
tgÄ… - 1 1 - ctgÄ…
Ä… - - Ä…
Ä… - - Ä…
Ä… - - Ä…
6) Według prostej zasady utworzono z zapałek pewien ciąg figur.
a) Ile zapałek potrzeba do utworzenia pięćdziesiątej figury w tym ciągu?
b) Ile początkowych figur tego ciągu można ułożyć ze 147 zapałek?
7) Dane są cztery okręgi parami styczne (jak na poniższym rysunku). Promień
największego okręgu o środku O jest równy 2.
a) Oblicz długość promienia najmniejszego okręgu.
b) Oblicz pole zacieniowanego obszaru.
8) W klasie jest trzynaście dziewcząt i trzynastu chłopców. Wychowawca przydzielił
uczniom losowo miejsca w trzynastu ławkach dwuosobowych tak, że w każdej
ławce siedział po prawej stronie chłopak, a po lewej dziewczyna. Zuzia chciała
koniecznie siedzieć z Jackiem. Oblicz prawdopodobieństwo, że marzenie Zuzi się
spełni.
9) Objętość prostopadłościanu jest równa 30 cm2. O ile zmieni się jego objętość,
jeżeli długość prostopadłościanu zwiększymy czterokrotnie, szerokość
zmniejszymy dwukrotnie, a wysokość zmniejszymy trzykrotnie?
10) Punkty A = (-1,3) , B = (2,-1) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku.
= - = -
= - = -
= - = -
Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków, wiedząc, że przekątne tego
równoległoboku są równoległe do osi układu współrzędnych.
11) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego
czworokątnego, którego pole podstawy jest równe 81 cm2, a kąt między
przekątną ściany bocznej i krawędzią podstawy ma miarę 600.
Arkusz2  poziom rozszerzony
5 - 2 5 2 - 5
- -
- -
- -
12) Dane są liczby: 6 - 5 , 6 + 5 , , . Zbadaj, czy wśród tych
- +
- +
- +
5
5
liczb jest para liczb przeciwnych i czy jest wśród nich para liczb odwrotnych.
x - 1 1 - x
- -
- -
- -
13) Rozwiąż równanie: = 4 -
= -
= -
= -
2
1 + x
+
+
+
14) Dane sÄ… funkcje: f (x) = 9 - 8x - x2 oraz g(x) = 3x - 3 .
= - - = -
= - - = -
= - - = -
a) Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji f.
b) Rozwiąż równanie f(x) = g(x) .
=
=
=
c) Rozwiąż nierówność g(x) Å" f(x) e" 0 .
Å" e"
Å" e"
Å" e"
15) Uzasadnij, że prostokąt o polu 2500 ma obwód co najmniej równy 200.
16) Pole figury ograniczonej okręgiem opisanym na sześciokącie foremnym i
brzegiem sześciokąta jest równe 4Ą - 6 3 (patrz rysunek).
Ä„ -
Ä„ -
Ä„ -
Wyznacz:
a) Długość boku tego sześciokąta foremnego.
b) Długość tego okręgu.
17) Na podstawie wykresu funkcji y = logc x :
=
=
=
a) Wyznacz wartość c podstawy logarytmu.
b) Wyznacz zbiór argumentów funkcji, dla których przyjmuje ona wartości
dodatnie.
18) Pewne przedsiębiorstwo ma trzy miejskie numery telefoniczne.
3
Prawdopodobieństwo, iż w danej chwili korzysta się z danego numeru wynosi .
5
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:
a) co najmniej jeden numer jest wolny,
b) dokładnie dwa numery są wolne.
19) Punkty A = (-2,3) , B = (1,2) i C = (2,-1) są kolejnymi wierzchołkami rombu
= - = = -
= - = = -
= - = = -
ABCD.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
b) Wyznacz równanie prostej zawierającej jego przekątną BD.
c) Oblicz jego obwód i pole.
20) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym a1 = log3 x i iloraz
=
=
=
q = log3 x . Oznaczmy przez f(x) sumÄ™ tego ciÄ…gu.
=
=
=
a) Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji f.
b) Rozwiąż nierówność f(x) > 1 .
>
>
>
21) Dana jest funkcja f o wzorze f(x) = cos2x + 4cosx + 3.
= + +
= + +
= + +
a) Oblicz wartość f(Ą) .
Ä„
Ä„
Ä„
b) Wyznacz zbiór miejsc zerowych funkcji f.
22) Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe polu jego podstawy. Oblicz:
a) stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni bocznej stożka,
b) jaką częścią objętości stożka jest objętość kuli?
4. Zestaw 9
Arkusz1  poziom podstawowy
1) Zbiór A jest zbiorem tych wszystkich liczb rzeczywistych, które spełniają
nierówność x + 24 d" 96 , a zbiór B jest przedstawiony na osi liczbowej.
+ d"
+ d"
+ d"
a) Przedstaw zbiór A w postaci przedziału liczbowego.
b) Opisz zbiór B za pomocą nierówności z wartością bezwzględną.
c) Wykaż, że liczba 72 należy do zbioru A \ B .
2) Dwie siostry majÄ… razem 41 lat, a ich mama jest dwa razy starsza od starszej z
sióstr. Za pięć lat wszystkie razem będą miały 100 lat. Ile lat mają siostry, a ile
ich mama?
3) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej z przedziału (0,100) sumę
jej cyfr pomniejszonÄ… o 10.
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f.
b) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
c) Ile razy funkcja przyjmuje wartość 1?
d) Narysuj wykres funkcji f dla liczb naturalnych z przedziału 45,60 .
4) Opisz za pomocą układu nierówności zbiór punktów trójkąta PAM
przedstawionego na rysunku. Uzasadnij, że trójkąt PAM jest prostokątny.
5) Rozwiąż nierówność: - x3 + 2005x2 + 2x - 4010 e" 0 i uzasadnij, że ma ona w
- + + - e"
- + + - e"
- + + - e"
zbiorze liczb naturalnych mniej niż 2005 rozwiązań.
1 1
6) Wykresy funkcji f(x) = i g(x) = x przecinają się w punkcie, którego
= =
= =
= =
x k - 1
-
-
-
1
rzędna równa się .
3
a) Oblicz odciętą punktu przecięcia wykresów.
b) Oblicz k.
1
c) Dla obliczonego k rozwiąż równanie f(x) = g(x) .
=
=
=
4
7) Zbocze ma w przybliżeniu kształt przedstawiony na rysunku.
Oblicz długość drogi z punktu S do punktu M.
Ä… 250 400
sinÄ… 0,42 0,64
cosÄ… 0,90 0,77
8) Klient złożył w banku A 5000 zł na okres 2 lat z oprocentowaniem rocznym 5% i
roczną kapitalizacją odsetek. Okazało się póz
niej, że gdyby tę sama kwotę złożył
w banku B, to po dwóch latach miałby o 343 zł więcej. Oblicz jakie
oprocentowanie oferował bank B, jeśli kapitalizacja wkładów odbywała się w nim
co pół roku.
9) Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a trójkąt prostokątny ABC wpisany jest w
większy okrąg. Średnica małego okręgu ma długość równą połowie
przeciwprostokątnej trójkąta ABC.
a) Wyjaśnij, dlaczego trójkąty ABC i DBE są podobne i podaj skalę
podobieństwa.
b) Oblicz stosunek pól tych trójkątów.
10) W wyniku obrotu trójkąta o bokach długości 6,6,6 3 wokół wysokości
poprowadzonej do najdłuższego boku, otrzymujemy bryłę F. Oblicz objętość tej
bryły i wyznacz kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.
11) Dziecko bawi się klockami w trzech kolorach. Klocków czerwonych jest osiem
razy więcej, niż białych i cztery razy więcej, niż niebieskich. Oblicz
prawdopodobieństwo, że losowo wybrany przez dziecko klocek będzie koloru
niebieskiego.
Arkusz2  poziom rozszerzony
12) Liczby 0,(1) i 0,0(5) są pierwszym i drugim wyrazem nieskończonego ciągu
geometrycznego. Oblicz trzeci wyraz tego ciągu i zapisz go w postaci ułamka
okresowego.
3 2
13) Rozwiąż nierówność: d"
d"
d"
d"
x - 2 x + 3
- +
- +
- +
14) Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu
x2 + y2 - 14x + 2y + 41 = 0 względem prostej y=2x.
+ - + + =
+ - + + =
+ - + + =
15) Dane są punkty A=(5,2), B=(-2,4), C=(9,4) i D=(-2,1). Wyznacz współrzędne i
1
długość wektora u = AB + AC - 3BD
= + -
= + -
= + -
2
16) CzworokÄ…t jest wpisany w okrÄ…g. Udowodnij, że dla kÄ…tów Ä… i ² pokazanych na
rysunku zachodzi zwiÄ…zek 2sin2 ² - ctgÄ…sin 2² = 1
² - Ä… ² =
² - Ä… ² =
² - Ä… ² =
Å„Å‚ - 3 dla x < 4
Å„Å‚ - <
Å„Å‚ x - <
Å„Å‚ - <
17) Narysuj wykres funkcji f (x) = . Na podstawie wykresu
=
=
=
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
x dla x e" 4
e"
e"
e"
ół
ół
ół
ół
określ własności tej funkcji: monotoniczność, parzystość, różnowartościowość, i
ciągłość.
3
18) Funkcja f(x) = x3 + x2 - 6x - 2 przyjmuje dla argumentu p wartość 8, a jej
= + - -
= + - -
= + - -
2
pochodna ma dla argumentu p wartość 0.
a) Oblicz p.
b) Wyznacz ekstrema funkcji f.
c) Podaj przedziały monotoniczności funkcji f.
19) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole podstawy równa się 12 3 , a
pole narysowanego przekroju 20 3 . Oblicz sinus kąta nachylenia płaszczyzny
tego przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
+
+
+
20) Udowodnij indukcyjnie, że pochodna funkcji f(x) = xn dla n " N+ , jest równa
= "
= "
= "
- -
- -
- -
n Å" xn-1 , czyli (xn )'= n Å" xn-1 .
Å" = Å"
Å" = Å"
Å" = Å"
5. Zestaw 10
Arkusz1  poziom podstawowy
R1 Å" R2
Å"
Å"
Å"
1) Wzór R = jest używany w teorii elektryczności do wyznaczania
=
=
=
R1 + R2
+
+
+
wypadkowego oporu R obwodu elektrycznego, gdy oporniki o oporach R1 i R2 sÄ…
połączone równolegle. Opór wypadkowy pewnego obwodu elektrycznego, w
którym połączono równolegle dwa oporniki jest równy R = 4&! , a opór jednego z
= &!
= &!
= &!
nich jest równy 6&! . Jaki opór musi mieć drugi opornik?
&!
&!
&!
2) Dwa statki wypływają z portu w tym samym momencie. Jeden z nich płynie na
zachód z prędkością 17 mil na godzinę, a drugi na południe z prędkością 12 mil
na godzinę. Jeśli t oznacza czas w godzinach od momentu wypłynięcia statków z
portu, to wyraz
odległość d między statkami w dowolnym momencie jako funkcję
czasu t.
3) Huśtawkę dziecięca najpierw odciągnięto do punktu P, a następnie puszczono. W
pierwszym wahnięciu huśtawka pokonała drogę długości 2 m do punktu Q, a w
każdym następnym wahnięciu poruszała się po łuku, którego długość za każdym
4
razem malała do długości łuku z poprzedniego wahnięcia. Jaką długość łuku
5
zatoczyła huśtawka w piątym wahnięciu, a jaką długość drogi pokonała ona do
tego czasu od momentu puszczenia?
4) W pewnej firmie zakupiono dwie drukarki. Pierwsza kosztowała 1000 zł, a druga
1200 zł. Okazało się, że jeden wydruk uzyskany z pierwszej drukarki kosztuje 5
gr, a z drugiej 4 gr. Dla jakich x całkowity koszt (łącznie z ceną zakupu)
wykonania x wydruków na pierwszej drukarce będzie bardziej opłacalny, niż
całkowity koszt wykonania x wydruków na drugiej z nich?
5) Chcemy wyprodukować 10000 kurtek młodzieżowych o numerach od 1 do 6.
Wyniki ankiety przeprowadzonej w pewnej grupie młodzieży na pytanie  Jaki
numer kurtki nosisz? , w przeliczeniu na procenty, przedstawia poniższa tabela:
numer kurtki 1 2 3 4 5 6
częstość w % 5% 10% 50% 20% 10% 5%
Oblicz, ile kurtek w każdym rozmiarze należy uszyć?
6) Przemieszczenie s (w metrach) pewnego ciała jest funkcją czasu t (w sekundach)
opisaną wzorem: s(t) = t2 + 6t + 10 . Oblicz średnią prędkość tego ciała w czasie
= + +
= + +
= + +
t " 4,7 .
"
"
"
7) Wysokość szklanego akwarium otwartego od góry, ma długość 30 cm (jak na
rysunku), a jego objętość jest równa 54 dm3. Oblicz powierzchnię szkła (grubość
szkła pomijamy) potrzebną na wykonanie tego akwarium, jeśli wiadomo, że
stosunek długości do szerokości jego dna wynosi 2:1.
8) Aby wyznaczyć wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniających równanie:
xy = x - y + 3 , można postąpić następująco:
= - +
= - +
= - +
Krok 1. Najpierw przekształcamy to równanie do postaci: (xy - x) + y = 3 .
- + =
- + =
- + =
Krok 2. Następnie z pierwszego składnika sumy po lewej stronie tego równania,
czyli z nawiasu, wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, a drugi składnik
sumy uzupełniamy do wyrażenia, które występuje w nawiasie, tak, by równania
pozostały równoważne: x(y - 1) + (y - 1) = 3 - 1 .
- + - = -
- + - = -
- + - = -
Krok 3. Lewą stronę otrzymanego równania zapisujemy w postaci iloczynowej
przez wyłączenie wspólnego czynnika (y-1) przed nawias: (y - 1)(x + 1) = 2 .
- + =
- + =
- + =
Krok 4. Ponieważ lewa strona tego równania jest iloczynem dwóch czynników
całkowitych, więc jego prawą stronę, czyli liczbę 2 również przedstawiamy w
postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych:
(y - 1)(x + 1) = 2 = 1Å" 2 = 2 Å" = -1Å" (-2) = -2 Å" (-1) .
- + = = Å" = Å"1 = - Å" - = - Å" -
- + = = Å" = Å" = - Å" - = - Å" -
- + = = Å" = Å" = - Å" - = - Å" -
Krok 5. Porównujemy obie strony równania i zapisujemy je w postaci
alternatywy czterech układów równań (bo tyle otrzymaliśmy rozkładów liczby 2
w postaci iloczynu liczb całkowitych):
îÅ‚ + = + = - Å„Å‚
îÅ‚ + = - Å„Å‚ - Å‚Å‚
îÅ‚ x + 1 = 1 x + 1 = 2 x + 1 = -1 x + 1 = -2Å‚Å‚
îÅ‚ + = Å„Å‚ + = Å„Å‚ + = + =
+ =
+ =
Å„Å‚ + = + = Å„Å‚ - Å„Å‚ - Å‚Å‚
Å„Å‚ + = Å„Å‚ Å„Å‚
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚ - Å‚Å‚
Å„Å‚ Å„Å‚
[(x + 1)(y - 1) = 2] Ô! (" (" ("
[ + - = ] Ô! (" (" ("
[ + - = ] Ô! (" (" ("
[ + - = ] Ô!
òÅ‚
òÅ‚
ïÅ‚òÅ‚y - 1 = 2 (" òÅ‚ òÅ‚y - 1 = -2 (" òÅ‚ śł
ïÅ‚òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
ïÅ‚ òÅ‚y - 1 = 1 (" òÅ‚ òÅ‚y - 1 = -1śł
ïÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ śł
śł
- = - = - = - - = -
- = - = - = - - = -
- = - = - = - - = -
ół ół ół ół
ół ół ół ół
ół ół ół ół
ół ół ół ół
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Krok 6. Rozwiązujemy powyższe układy równań:
x = 0 x = 1 x = -2 x = -3
= = = =
= =
= =
Å„Å‚ = Å„Å‚ = Å„Å‚ - Å„Å‚ -
Å„Å‚ = Å„Å‚ = Å„Å‚ - Å„Å‚ -
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚ - Å„Å‚ -
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
(" (" ("
(" (" ("
(" (" ("
òÅ‚ òÅ‚y = 2 (" òÅ‚ òÅ‚
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
òÅ‚y = 3 (" òÅ‚ òÅ‚y = -1 (" òÅ‚
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
= = = - =
= = = - y = 0
= = = - =
=
ół ół ół ół
ół ół ół ół
ół ół ół ół
ół ół ół ół
Krok 7. Na koniec wyciągamy wniosek, że jedynymi parami liczb całkowitych
spełniającymi wyjściowe równanie są pary liczb: (0,3), (1,2), (-2,-1), (-3,0).
Postępując analogicznie, wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniających
równanie: xy = 2x - y + 5 .
= - +
= - +
= - +
9) Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu o promieniu długości 2
cm jest równy 20 cm. Oblicz długości boków i pole trapezu.
10) Ze zbioru cyfr {1,2,3,5,7} układamy wszystkie możliwe liczby 3-cyfrowe o
różnych cyfrach. Z liczb tych wybieramy losowo jedną. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że będzie ona wielokrotnością liczby 65?
Arkusz2  poziom rozszerzony
11) Chemicy używają wielkości pH do mierzenia stężenia wodoru w roztworze. Woda
ma pH równe 7, kwas ma pH mniejsze od 7, natomiast pH zasady jest większe od
+
+
+
7. Wielkość pH roztworu można opisać formułą: pH = - log H+ , gdzie H+ oznacza
= -
= -
= -
liczbę jonów wodoru w roztworze w molach na litr. Oblicz pH próbki pewnej
-
-
-
gleby, w której liczba jonów wodoru H+ jest równa 2,3 Å"10-7 moli na litr i na
Å"
Å"
Å"
podstawie otrzymanego wyniku zdecyduj, jakie pH ma ta gleba. Wyniki podaj w
zaokrągleniu do 0,1. Przyjmij, że log 2,3 H" 0,4 .
H"
H"
H"
12) Z punktu A widać słup telefoniczny pod kątem o mierze 640. Słup jest odchylony
od pionu o kąt miary 90 w kierunku drogi na powierzchni ziemi, na którą słońce
rzuca cień (jak na rysunku). Długość cienia słupa jest równa 6,4 m. Oblicz w
zaokrągleniu do 1 m długość tego słupa.
13) Udowodnij, że jeśli B jest takim zdarzeniem w pewnej przestrzeni &! zdarzeń
elementarnych, że P(B)>0, to dla każdego zdarzenia A ‚" &! prawdziwa jest
‚" &!
‚" &!
‚" &!
P(A) + P(B) - 1 P(A)
+ -
+ -
+ -
podwójna nierówność: d" P(A / B) d"
d" d"
d" d"
d" d"
P(B) P(B)
14) Dwa ciała poruszają się ruchem jednostajnym po dwóch prostych przecinających
się pod kątem ostrym o mierze ą = 600 ku punktowi P ich przecięcia (jak na
Ä… =
Ä… =
Ä… =
rysunku). W pewnym momencie zmierzono odległości tych ciał od punktu P i
okazało się, że jedno z nich było oddalone o 10 m od punktu P, a drugie o 6 m.
m
Pierwsze z nich porusza się z prędkością v1 = 4 , a drugie z prędkością
=
=
=
s
m
v2 = 2 . Oblicz dokładnie odległość tych ciał od siebie w chwili dokonania
=
=
=
s
pomiaru i odległość tych ciał po dwóch sekundach ich ruchu od momentu
wykonania pierwszego pomiaru.
15) Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f i g opisane
-
-
-
wzorami: f (x) = 2x-1 i g(x) = 2x + 1 , oraz na podstawie ich wykresów odczytaj
= = +
= = +
= = +
liczbę rozwiązań równania f(x)=g(x).
16) Z ciÄ…gu liczb naturalnych (1,2,3,4,5,...) wybrano sto kolejnych takich liczb, z
których każda ma tę własność, że jeżeli podzielimy ją przez 3, to otrzymamy
resztę 1. Wyznacz najmniejszą z nich, wiedząc, że suma wszystkich tych liczb jest
równa 17950.
17) W pewnym zakładzie stosuje się dwa warianty technologii produkcji. W
pierwszym wariancie koszt wyprodukowania jednej jednostki produktu jest
równy 2 zł, a koszty stałe całej produkcji wynoszą 25 000 zł. W drugim wariancie
koszt produkcji jednostki produktu jest równy 3 zł, a koszty stałe całej produkcji
wynoszą 18 000 zł. Zbadaj monotoniczność funkcji, która jest ilorazem funkcji
całkowitego kosztu produkcji t jednostek produktu w pierwszym wariancie do
funkcji całkowitego kosztu produkcji t jednostek produktu w drugim wariancie.
18) Sprawdz
, czy przekształcenie P płaszczyzny opisane wzorem
( )= + -
P((x,y)) = (y + 2,x - 1), gdzie (x,y) jest dowolnym punktem płaszczyzny, jest
( ) = + -
( )= + -
Å" =
izometriÄ…. Wyznacz równanie obrazu hiperboli x Å" y = 2 w przeksztaÅ‚ceniu P.
Å" =
Å" =
19) Dla jakich wartości parametru m " C , pierwiastki funkcji kwadratowej zadanej
"
"
"
2
x1 + x2
+
+
+
2
wzorem f (x) = x2 - 3x + m + 1 spełniają nierówność > 1?
= - + + >
= - + + >
= - + + >
x1x2
20) W stożek, którego wysokość ma długość H=12 dm, a promień jego podstawy ma
długość R=4 dm, wpisano walec (jak na rysunku).
Jakie powinny być wymiary walca, aby jego objętość była największa?