Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 15
Zadania zamknięte
Numer Poprawna
Wskazówki do rozwiązania zadania
zadania odpowiedz

2
1. A.
ëÅ‚ öÅ‚
a = 4 + 7 - 4 + 7 = 4 + 7 - 2 (4 + 7)(4 - 7)+ 4 - 7 Ò!
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ò! a = 8 - 2 16 - 7 = 8 - 6 = 2
2. B.
23 24 46 48
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
, = ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
25 25 50 50
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3. B. 6 30
a = log3 + log3 5 = log3
15 15
4. B. Skorzystaj z interpretacji graficznej wartości bezwzględnej.
5. C. x  cena kurtki przed obni\
kami,
0,8 Å" 0,85x = 408 Ò! x = 600 .
6. B. 3(x + 2) 3x + 6
W = =
(x - 2)(x + 2) x2 - 4
7. A.
x + y 3 6 2 + 3
= =
x - y 7
2 2 -1
8. B. Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba x = -1 (równanie
x2 + 25 = 0 jest sprzeczne).
9. C. Tata ma 16 + 32 = 48 lat, zatem 3 razy więcej od Jacka.
10. D. x + 3 e" 0 '" x - 7 e" 0 Ò! x e" -3 '" x e" 7 Ò! x e" 7
11. C.
Dziedziną funkcji jest zbiór R \{- 2, 2}, zatem miejscami zerowymi są
liczby (-1) i 1.
12. D. Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc funkcja jest rosnąca w
4
przedziale (xW , + "), xW = = 2 .
2
13. D.
5
ëÅ‚ öÅ‚
Miejscem zerowym pierwszej funkcji jest liczba - ÷Å‚
, zaÅ› miejscem
ìÅ‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
1
zerowym drugiej funkcji jest liczba . Otrzymujemy więc równanie
a
1
5 1 3
- = Ò! a = - .
3 a 5
14. A. Skorzystaj z zasady przesuwania wykresów funkcji.
15. D. Wartości funkcji wykładniczej są dodatnie.
16. C. Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem dziedziną funkcji
jest zbiór (- ", - 3)*" (3, + ").
17. B.
a4 = 64, a5 = -160 Ò! a4 - a5 = 64 +160 = 224
18. C.
a1 = 16
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚a q2 = 4 ôÅ‚
1
Ò! Ò! a2 = -8
òÅ‚ òÅ‚ 1
ôÅ‚ -2
q3 =
óła1 ôÅ‚q = - 2
ół
19. D. Ciąg z przykładu D jest arytmetyczny, gdy\
wyrazy ró\
niÄ… siÄ™ o 2 .
20. A. 1 1
< Ò! sinÄ… < sin 30 Ò! Ä… < 30
6 2
21. C. 2 9
2
(sinÄ… + cosÄ…) = sin2 Ä… + 2sinÄ… cosÄ… + cos2 Ä… = 1+ = Ò!
7 7
9 3 7
Ò! sinÄ… + cosÄ… = =
7 7
22. C.
"ADC = 180 -142 = 38 Ò! "AOC = 76 .
23. C. 6 9 12
= =
4 6 8
24. B. 4 + 6
m = Ò! m = 5
2
= =
25. C.
&! = 52, A = 19 , gdy\
suma zbioru asów, dam i trefli jest zbiorem
dziewiętnastoelementowym.
Zadania otwarte
Numer Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania Liczba
zadania punktów
26. - 5 - 5 +19 Å" r 1
Zapisanie równania: Å" 20 = 1230
2
Rozwiązanie równania: r = 7 . 1
2
27. 1
Wyznaczenie miary kÄ…ta AOD : "AOD = 20 .
Wyznaczenie miary kÄ…ta DAO i wykazanie tezy zadania: 1
"DAO = 80 Ò! "ACB = 180 - 2 Å"80 = 20 .
28. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: 1
1 1
x1 = - , x2 = .
4 5
1
ëÅ‚- 1 1
öÅ‚
Rozwiązanie nierówności: x " , .
ìÅ‚ ÷Å‚
4 5
íÅ‚ Å‚Å‚
29. Zapisanie sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych i 1
wykorzystanie wzorów skróconego
2 2
mno\
enia: s = n2 + (n +1) + (n + 2) Ò! s = 3n2 + 6n + 5 , n " N .
1
Wykazanie tezy zadania: s = 3(n2 + 2n +1)+ 2  zapis liczby, która
3
przy dzieleniu przez daje resztÄ™ 2 .
30. 1
R + r = 19
Å„Å‚
Zapisanie układu równań: .
òÅ‚
ółR - r = 5
1
R = 12
Å„Å‚
Rozwiązanie układu równań: .
òÅ‚
ółr = 7
31. 1
Zapisanie równania: 33 - 4 Å" 32 - 3m + 36 = 0 .
Rozwiązanie równania: m = 9 . 1
1
Pogrupowanie wyrazów wielomianu: W (x) = (x2 - 9)(x - 4).
1
Wyznaczenie pierwiastków wielomianu: x1 = 3 (dany pierwiastek),
x2 = -3, x3 = 4 .
32. Zapisanie współrzędnych środka okręgu za pomocą jednej 1
zmiennej: S = (x, x - 2).
2 2 2 1
Zapisanie równania: x2 + (x - 5) = (x - 4) + (x - 7) .
Rozwiązanie równania i zapisanie współrzędnych środka okręgu: 1
10 4
ëÅ‚ öÅ‚
S = , .
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
1
125
Wyznaczenie długości promienia okręgu: r = .
9
3
2 2
1
10 4 125
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Zapisanie równania okrÄ™gu: x - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
+ y = .
ìÅ‚
3 3 9
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
33. Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych 1
oznaczeń:
a  krawędz
podstawy,
h  wysokość podstawy,
H  wysokość ostrosłupa,
ą  kąt nachylenia krawędzi SA do płaszczyzny podstawy
ostrosłupa.
Wyznaczenie wysokości podstawy: h = 10 . 1
1
20 3
Wyznaczenie krawędzi podstawy: a = .
3
Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: H = 10 . 1
1
1000 3
Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = .
9
Wyznaczenie kąta nachylenia krawędzi SA do płaszczyzny 1
H
podstawy ostrosÅ‚upa: tgÄ… = Ò! tgÄ… = 3 Ò! Ä… = 60 .
1
a
2
4