1 Macierze
1.1 Podstawowe definicje
Definicja 1.1 Niech D = {(i, k) : i = 1, 2, ..., m, k = 1, 2, ..., n}. Wówczas każda
funkcje f : D R nazywamy macierza prostokatna o wymiarach m × n,
przy czym liczby
f(i, k) = aik gdzie i = 1, 2, ..., m, k = 1, 2, ..., n
nazywamy elementami macierzy.
Zbiór D możemy utożsamić z  ramka na liczby o m wierszach i n kolum-
nach, a konkretna macierz to wypelnienie tej  ramki liczbami.
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn
Macierze oznaczać bedziemy literami: A, B, C, . . . i zapisywać A = [aik]m×n.
W skrócie zapis Am×n bedzie oznaczal macierz o m wierszach i n kolumnach.
Szczególne przypadki macierzy:
1. Jeżeli m = n to mówimy o macierzy kwadratowej. Wtedy n oznacza
stopień macierzy. Elementy a11, a22, ..., ann tworza glówna przekatna tej
macierzy.
2. Macierz kwadratowa A, w której PONIŻEJ glównej przekatnej sa zera,
nazywamy macierza trójkatna górna. Definicja macierzy trójkatnej
dolnej jest analogiczna.
3. Macierz, która jest jednocześnie trójkatna górna i trójkatna dolna, nazy-
wamy diagonalna.
4. Macierz, której wszystkie elementy sa równe 0 nazywamy macierza ze-
rowa.
1
5. Macierz uzyskana z macierzy A przez zamiane wierszy na kolumny nazy-
wamy a
îÅ‚macierzÅ‚Å‚ transponowana do A i oznaczamy AT .
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1
ïÅ‚ śł
1 0 3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
A = ïÅ‚ śł AT =
0 2
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 2 1
3 1
1.2 Dzialania na macierzach
Aby dwie macierze można bylo dodać lub odja ć, musza mieć TE SAME wy-
miary. Wówczas:
Definicja 1.2 Suma macierzy A = [aik]m×n i B = [bik]m×n nazywamy macierz
C = [cik]m×n taka, że cik = aik + bik, gdzie i = 1, ..., m, k = 1, ..., n
Definicja 1.3 Różnica macierzy A = [aik]m×n i B = [bik]m×n nazywamy ma-
cierz
C = [cik]m×n taka, że cik = aik - bik gdzie i = 1, ..., m, k = 1, ..., n
Definicja 1.4 Iloczynem liczby t " R przez macierz A = [aik]m×n nazywamy
macierz C = [cik] taka, że cik = t · aik, gdzie i = 1, ..., m; k = 1, ...n.
Definicja 1.5 Iloczynem macierzy A = [aik]m×n i B = [bik]n×p nazywamy
macierz C = [cik]m×p taka, że
cik = ai1b1k + ai2b2k + · · · + ainbnk gdzie i = 1, ..., m; k = 1, ..., p.
W skrócie
n
cik = aiubuk.
u=1
Mnożenie macierzy Am×n i Bp×q można wykonać, jeÅ›li ilość kolumn macierzy
A jest równa ilości wierszy macierzy B, czyli gdy n = p. Wynikowa macierz
bedzie wówczas miala wymiary m × q.
2
Przyklad 1.1
îÅ‚ Å‚Å‚Wykonać mnożenie macierzy AB oraz BA jeÅ›li:
îÅ‚ Å‚Å‚
3 -1
ïÅ‚ śł
2 -1 0
ûÅ‚
A=ïÅ‚ 2 0 śł B=ðÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 1
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
5 -3 -1
ïÅ‚ śł
AB=ïÅ‚ 4 -2 0 śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3 -1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
4 -2
ûÅ‚
BA=ðÅ‚
4 0
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, czyli nie musi zachodzić AB = BA.
Definicja 1.6 Macierz diagonalna, w której na glównej przekatnej stoja ele-
menty równe 1 nazywa sie jednostkowa, oznaczamy ja przez I. Przyklady
macierzy jednostkowych:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 0 ïÅ‚ 0 1 0 0 śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
[1], , ïÅ‚ śł , ,...
0 1 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
0 1 0 0 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1
0 0 0 1
Uwaga 1.1 Niech Am×n - dowolna macierz, In, Im - macierze jednostkowe
wymiarów odpowiednio n i m. Wtedy
ImAm×n = Am×nIn = Am×n.
3
1.3 Wyznacznik macierzy
Dla każdej macierzy kwadratowej A możemy wyznaczyć liczbe detA zwana wy-
znacznikiem macierzy A (ang. determinant). Jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 ... a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ a21 a22 ... a2n śł
ïÅ‚ śł
A =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
... ... ... ...
ðÅ‚ ûÅ‚
an1 an2 ... ann
to wyznacznik macierzy A oznaczamy przez detA lub symbolem
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
Wyznacznik zdefiniujemy przy pomocy nastepujacej rekurencji:
Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n.
" Jeżeli n = 1 to detA = |a11| = a11.
" Jeżeli n > 1, to
detA = ai1(-1)i+1Wi1 + ai2(-1)i+2Wi2... + ain(-1)i+nWin
gdzie przez Wij rozumiemy wyznacznik macierzy, powstalej z macierzy A
przez usuniecie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Powyższy wzór nazywany
jest rozwinieciem Laplace a wzgledem i-tego wiersza.
Analogicznie można wyznacznik macierzy A przedstawić jako rozwiniecie
wzgledem j-tej kolumny:
detA = a1j(-1)1+jW1j + a2j(-1)2+jW2j + ... + anj(-1)n+jWnj.
Ta definicja pozwala np. wyznacznik 5-go stopnia rozbić na 5 wyznaczników
4 stopnia, każdy z nich na 4 wyznaczniki 3-go stopnia, itd. (W sumie 120
skladników.)
Wlasności wyznaczników:
4
1. detA = detAT
2. Jeśli w macierzy przestawimy dwa wiersze (kolumny), to wartość wyznacz-
nika zmieni sie na przeciwna.
3. Jeżeli macierz posiada chociaż jeden wiersz (lub kolumne) skladajacy sie
tylko z zer, to wyznacznik wynosi 0.
4. Jeżeli elementy pewnego wiersza (kolumny) sa proporcjonalne do innego
wiersza (kolumny), to wyznacznik macierzy jest równy 0.
5. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) danej macierzy po-
mnożymy przez liczbe t, to wartość wyznacznika też zostanie pomnożona
przez liczbe t.
6.
a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n a21 a22 ... a2n a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
+
=
ak1 ak2 ... akn bk1 bk2 ... bkn ck1 ck2 ... ckn
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... ann an1 an2 ... ann an1 an2 ... ann
o ile
[ak1, ak2, ..., akn] + [bk1, bk2, ..., bkn] = [ck1, ck2, ..., ckn].
7. detAB = detA · detB.
Definicja 1.7 Macierz, której wyznacznik jest równy 0 nazywamy osobliwa,
każda inna macierz kwadratowa nazywamy nieosobliwa.
5
1.4 Macierz odwrotna
Definicja 1.8 Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa i detA = 0, (A jest

nieosobliwa) to istnieje dokladnie jedna macierz B taka, że
AB = BA = I.
Macierz te nazywamy macierza odwrotna do A i oznaczamy przez A-1.
Zanim podamy sposób obliczenia macierzy odwrotnej, jeszcze jedna defini-
cja:
Definicja 1.9 Niech A bedzie macierza kwadratowa. Przez Wij oznaczmy wy-
znacznik macierzy, powstalej z macierzy A przez usuniecie i-tego wiersza i
j-tej kolumny. Wówczas liczbe
"
Wij = Wij · (-1)i+j
nazwiemy dopelnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A.
Sposób szukania macierzy odwrotnej. Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 ... a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ a21 a22 ... a2n śł
ïÅ‚ śł
A = .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
... ... ... ...
ðÅ‚ ûÅ‚
an1 an2 ... ann
" 1 krok: Sprawdzamy, czy detA = 0.

" 2 krok: Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
" " "
W11 W12 ... W1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
" " "
ïÅ‚ W21 W22 ... W2n śł
"
ïÅ‚ śł
[Wik] = .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
... ... ... ...
ðÅ‚ ûÅ‚
" " "
Wn1 Wn2 ... Wnn
" 3 krok:
1
"
A-1 = · [Wik]T .
detA
6
1.5 Rzad macierzy
Definicja 1.10 Niech A bedzie macierza (niekoniecznie kwadratowa). Każdy
wyznacznik, powstaly przez usuniecie z A pewnych kolumn lub (i) wierszy, na-
zwiemy minorem macierzy A.
Definicja 1.11 Rzedem macierzy nazwiemy najwiekszy stopień niezerowego
minora tej macierzy. Rzad macierzy A oznaczamy przez R(A).
Twierdzenie 1.1 Rzad macierzy nie zmieni sie, gdy:
1. transponujemy macierz A,
2. przestawimy dwa wiersze (lub dwie kolumny),
3. pomnożymy elementy pewnego wiersza (kolumny) przez te sama liczbe
różna od zera,
4. do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wier-
sza (kolumny) pomnożone przez te sama liczbe różna od zera,
5. pominiemy wiersz (kolumne) zlożona z samych zer,
6. pominiemy jeden z dwu wierszy (jedna z dwóch kolumn) o elementach
proporcjonalnych.
2 Uklady równań liniowych
Uklad
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = c1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = c2
. . . . .
ôÅ‚
. . . . .
ôÅ‚
. . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = cm
7
nazywamy ukladem m równań liniowych o n niewiadomych. Ten sam uklad
może być przedstawiony nastepujacym równaniem macierzowym:
AX = C,
gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
x1 c1
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x2 c2
ïÅ‚ a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A = , X = ïÅ‚ śł , C = ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł . .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. .
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
. .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn
xn cm
Definicja 2.1 Uklad równań liniowych AX = C, gdzie A jest macierza kwa-
dratowa nieosobliwa, nazywamy ukladem Cramera.
Twierdzenie 2.1 Niech AX = C bedzie ukladem Cramera. Oznaczmy detA =
W. Niech Wi oznacza wyznacznik macierzy powstalej z macierzy A przez zastapienie
i-tej kolumny kolumna wyrazów wolnych C (dla i = 1 . . . n). Wówczas jedynym
rozwiazaniem ukladu jest
îÅ‚ Å‚Å‚
W1
W
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
W2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ W śł
X = ïÅ‚ śł .
.
ïÅ‚ śł
.
.
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Wn
W
Rozważmy uklad AX = C, przy czym macierz A (zwana macierza glówna
ukladu) nie musi być kwadratowa. Macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n c1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ a21 a22 . . . a2n c2 śł
ïÅ‚ śł
B = [A|C] = ,
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn cm
8
powstala przez dolaczenie do A kolumny wyrazów wolnych C bedziemy nazywać
macierza rozszerzona ukladu.
Twierdzenie 2.2 (Kroneckera - Capelliego) Powyższy uklad ma rozwiazanie
wtedy i tylko wtedy, gdy rzedy macierzy glównej i rozszerzonej sa równe. Co
wiecej, jeżeli
R(A) = R([A|C]) = n,
gdzie n jest ilościa niewiadomych ukladu, wówczas zbiór rozwiazań jest jedno-
elementowy.
2.1 Wektory i wartości wlasne macierzy
Definicja 2.2 Wielomian Wn() = det(A-I) nazywamy wielomianem cha-
rakterystycznym macierzy A.
Równanie det(A - I) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym
macierzy.
Pierwiastki równania charakterystycznego nazywamy pierwiastkami cha-
rakterystycznymi macierzy.
Uwaga 2.1 Liczba 0 jest pierwiastkiem równania charakterystycznego macierzy
A wtedy i tylko wtedy, gdy detA = 0.
Uwaga 2.2
1. Symetryczna macierz rzeczywista n-tego stopnia ma n pierwiastków rze-
czywistych (z uwzglednieniem krotności).
2. Pierwiastki macierzy diagonalnej sa równe jej elementom diagonalnym.
3. Jeżeli  jest pierwiastkiem charakterystycznym macierzy A, to p jest
pierwiastkiem charakterystycznym macierzy Ap.
9
4. Jeżeli  jest pierwiastkiem charakterystycznym nieosobliwej macierzy A,
to -1 jest pierwiastkiem charakterystycznym macierzy A-1.
5. Jeżeli 1, 2, . . . , n sa pierwiastkami równania charakterystycznego ma-
cierzy A, to detA = 1 · 2 · . . . · n.
Definicja 2.3 Jeżeli  jest pierwiastkiem charakterystycznym macierzy A, to
niezerowe wektory x i y spelniajace równanie
A · x =  · x
oraz
yT · A =  · yT
nazywamy odpowiednio prawostronnym i lewostronnym wektorem wlasnym
macierzy A.
10